高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（12）15.如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.（1）求證：，，，四點共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合中位線定理得到，最后證明四點共面即可.（2）找到對應(yīng)二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】取，的中點分別為，，連接，，取，的中點分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為，的中點分別為，，所以所以，所以，所以，又因為，所以，因為，的中點分別為，，所以，所以，所以，，，四點共面；小問2詳解】連接，，且延長交于點，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設(shè)，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.16.隨著春季學期開學，某市市場監(jiān)管局加強了對學校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念．該市某中學有A，B兩個餐廳為老師與學生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學校就餐，近一個月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）王同學9天6天12天3天張老師

6天6天6天12天假設(shè)王同學、張老師選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（1）估計一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；（2）記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1）（2）分布列見解答，（3）證明見解答【解答】【分析】（1）運用古典概型求概率即可．（2）根據(jù)已知條件計算簡單離散型隨機變量的分布列及期望．（3）運用條件概率及概率加法公式計算可證明結(jié)果．【小問1詳解】設(shè)事件C為“一天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，因為30天中王同學午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，所以．【小問2詳解】由題意知，王同學午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.3，王同學午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，張老師午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4，記X為王同學、張老師在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為X12P0.10.9所以X的數(shù)學期望【小問3詳解】證明：由題知PN所以PNM所以PNM所以PNM即：PNM所以PNM即.17.已知且.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞增;（2）設(shè)，已知，有不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解答；（2）【解答】【分析】（1）在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)求最值的方法證明.（2）不等式恒成立，即，通過構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求最值的方法，求不等式恒成立時實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，令，則，兩邊取對數(shù)得設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以時，即時，，所以時恒成立，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】法一:，即，兩邊取對數(shù)得:，即.設(shè)，則問題即為：當時，恒成立.只需時，.，令得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.又因為，則，所以時，單調(diào)遞減，所以時，，所以即.設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，當時，，時，，所以的圖象與軸有1個交點，設(shè)這個交點為，因為，所以；所以當時，，即當時，不等式，所以當不等式在恒成立時，.即實數(shù)的取值范圍為.法二：，即，兩邊取對數(shù)得：，即設(shè)，令得，當時，，單調(diào)遞減.又因為，所以，在單調(diào)遞減，由，則在恒成立，即，上式等價于，即，由在單調(diào)遞減，所以.即實數(shù)的取值范圍為.【小結(jié)】方法小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.18.定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關(guān)于的“型函數(shù)”.（1）當時，求關(guān)于的“2型函數(shù)”在點處的切線方程；（2）若是關(guān)于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，（i）化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解；（ii）由題意，得到，設(shè)，，其中，化簡得到，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【小問1詳解】解：當時，可得，則，所以，所求切線方程為，即.【小問2詳解】解：由是關(guān)于的“型函數(shù)”，可得，即，（i）因為，當且僅當即時取得最小值.（ii）由，即，則，且，，可設(shè)，，其中，于是，記，可得，由，得，記，當時，當時，，則，所以.【小結(jié)】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.給定正整數(shù)，已知項數(shù)為且無重復(fù)項的數(shù)對序列：滿足如下三個性質(zhì)：①，且；②；③與不同時在數(shù)對序列中.（1）當，時，寫出所有滿足的數(shù)對序列；（2）當時，證明：；（3）當為奇數(shù)時，記的最大值為，求.【答案】（1）或（2）證明詳見解答（3）【解答】【分析】（1）利用列舉法求得正確答案.（2）利用組合數(shù)公式求得的一個大致范圍，然后根據(jù)序列滿足的性質(zhì)證得.（3）先證明，然后利用累加法求得.【小問1詳解】依題意，當，時有：或.【小問2詳解】當時，因為與不同時在數(shù)對序列中，所以，所以每個數(shù)至多出現(xiàn)次，又因為，所以只有對應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.【小問3詳解】當為奇數(shù)時，先證明.因為與不同時在數(shù)對序列中，所以，當時，構(gòu)造恰有項，且首項的第個分量與末項的第個分量都為.對奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個恰有項的序列，且首項的第個分量與末項的第個分量都為，那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：首先，對于如下個數(shù)對集合：，，……，，每個集合中都至多有一個數(shù)對出現(xiàn)在序列中，所以，其次，對每個不大于的偶數(shù)，將如下個數(shù)對并為一組：，共得到組，將這組對數(shù)以及，按如下方式補充到的后面，即.此時恰有項，所以.綜上，當