高三數學大題規范訓練（10）15.若數列是公差為1的等差數列，且，點在函數的圖象上，記數列的前項和為.（1）求數列的通項公式;（2）設，記數列的前項和為，證明:.【答案】（1），（2）證明見解答【解答】【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，代入到中即可求解，（2）利用裂項求和即可求解.小問1詳解】由得，，點在函數的圖象上，【小問2詳解】,顯然數列為等比數列，首項為1，公比為3，則，16.如圖，在四棱臺中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.（1）證明：；（2）若M是棱BC上的點，且滿足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）先根據線面垂直的性質得，再根據線面垂直的判定定理得平面，從而利用線面垂直的性質定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出點的坐標，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可.【小問1詳解】在四棱臺中，延長后必交于一點，故四點共面，因為平面，平面，故，連接，因為底面四邊形為菱形，故，平面，故平面，因為平面，所以.【小問2詳解】過點A作的垂線，交與點N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖），設，則，由于，故，則，，則，，，記平面的法向量為，則，即，令，則，即，平面的法向量可取為，則.所以二面角的余弦值為.17.某企業對某品牌芯片開發了一條生產線進行試產.其芯片質量按等級劃分為五個層級，分別對應如下五組質量指標值：.根據長期檢測結果，得到芯片的質量指標值服從正態分布，并把質量指標值不小于80的產品稱為等品，其它產品稱為等品.現從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件作為樣本，統計得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據長期檢測結果，該芯片質量指標值的標準差的近似值為11，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值.若從生產線中任取一件芯片，試估計該芯片為等品的概率(保留小數點后面兩位有效數字)；(①同一組中的數據用該組區間的中點值代表；②參考數據:若隨機變量服從正態分布，則，.)（2）（i）從樣本的質量指標值在和[85，95]的芯片中隨機抽取3件，記其中質量指標值在[85，95]的芯片件數為，求的分布列和數學期望；（ii）該企業為節省檢測成本，采用隨機混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(1)的計算結果，試求的值，使得每箱產品的利潤最大.【答案】（1）（2）（i）分布列見解答，；（ii）【解答】【分析】（1）根據頻率分布直方圖求得樣本平均數，然后利用正態分布的對稱性求解概率.（2）（i）先求出取值，然后求出對應的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據二項分布的期望求出，然后構造函數，利用導數求出最大值時的即可.【小問1詳解】由題意，估計從該品牌芯片的生產線中隨機抽取100件的平均數為：．即，，所以，因為質量指標值近似服從正態分布，所以，所以從生產線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.【小問2詳解】（i），所以所取樣本的個數為20件，質量指標值在的芯片件數為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：，，，，隨機變量的分布列為：0123所以的數學期望.（ii）設每箱產品中A等品有件，則每箱產品中等品有件，設每箱產品的利潤為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調遞增，，，單調遞減，所以當時，取得最大值.所以當時，每箱產品利潤最大18.已知動圓與圓：和圓：都內切，記動圓圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點處的切線方程為：.試運用該性質解決以下問題：點為直線上一點（不在軸上），過點作的兩條切線，，切點分別為，.（ⅰ）證明：；（ⅱ）點關于軸的對稱點為，直線交軸于點，直線交曲線于，兩點.記，的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）證明見解答；（ii）.【解答】【分析】（1）根據橢圓的幾何定義求解動點的軌跡方程；（2）（i）根據題意中的性質求解出兩條切線方程，代入點坐標后，得出直線的方程，從而算出斜率，再去判斷與另一直線是否垂直；（ii）聯立直線的方程與橢圓的方程，由韋達定理得出，進而求解出直線與軸的交點的坐標，再用垂直關系又去設出直線的方程與橢圓的方程聯立，再用坐標去表示出，最后可由基本不等式得出結果.【小問1詳解】設動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為7，1，因為與，都內切，所以，，所以，又，，故，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設的方程為：，則，，所以，故的方程為：【小問2詳解】（i）證明：設，，，由題意中的性質可得，切線方程為，切線方程為，因為兩條切線都經過點，所以，，故直線的方程為：，可得直線的斜率為：而直線的斜率為：，因為，所以;（ii）由直線的方程為：，可改設直線的方程為：，聯立，整理得，由韋達定理得，又，所以直線的方程為，令得，，所以直線經過定點，又，再由，可設直線的方程為：，再聯立，整理得，設，，則由韋達定理得，因為，所以，所以，當且僅當時，即時取等號.又因為，所以【小結】方法小結：（1）利用兩圓相內切的幾何關系來推導出橢圓的幾何定義，從而求出軌跡方程；（2）利用曲線上某點的切線方程去推導出切點弦方程.19.若函數的定義域為，有，使且，則對任意實數k，b，曲線與直線總相切，稱函數為恒切函數.（1）判斷函數是否為恒切函數，并說明理由；（2）若函數為恒切函數.（i）求實數的取值范圍；（ii）當取最大值時，若函數為恒切函數，記，證明：.（注：是自然對數的底數.參考數據：）【答案】（1）是恒切函數，理由見解答（2）（i）；（ii）證明見解答【解答】【分析】（1）對求導，利用恒切函數的定義求出，即可判斷；（2）（i）根據恒切函數的定義解方程，用表示，再利用導數即可求解的取值范圍；（ii）由的值可得的值，從而可得的解答式，利用新定義，可得，令，求出的取值范圍，由，從而可得的取值范圍，從而得證.【小問1詳解】設函數為恒切函數，則有，使且，即，解得，故函數是恒切函數.【小問2詳解】（i）由函數為恒切函數可知，存在，使得且，即解得，，設，，當時，遞增；當時，遞減.，即實數的取值范圍是.（ii）當時，，函數為恒切函數.又，所以存在，使得，即.令，則，當時，遞減；當時，遞增.所以當時，，，故在上存在唯一，使得，即.又由，得，由得，所以.又，所以當時，有唯一零點，故由得，即..【小結】方法小結：1.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的