第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)北京師范大學(xué)天津生態(tài)城附屬學(xué)校高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是(

)A.(cos2x)′=?2sin2x 2.在研究成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性時(shí)下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.樣本相關(guān)系數(shù)為r，則|r|越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

B.用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)中心(x,y)

C.3.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，給出下列命題：①?2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；②1是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；③y=f(x)的圖象在x=0處切線的斜率小于零；④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?2,2)上單調(diào)遞增．則正確命題的序號是

A.①③ B.②④ C.②③ D.①④4.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=ia(i=1,2,3,4)，則PA.25 B.12 C.355.對甲、乙兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖(左圖為甲，右圖為乙)，下列結(jié)論正確的是(

)

A.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)大于零 B.甲組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度比乙強(qiáng)

C.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比甲組的更接近1 D.乙組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比甲小6.某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入金額x(單位：萬元)與該產(chǎn)品的收益y(單位：萬元)的5組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.由表中數(shù)據(jù)用最小二乘法求得投入金額x與收益y滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=2.5x+a，則下列結(jié)論不正確的是x578911y1622242731A.x與y有正相關(guān)關(guān)系

B.a=4

C.當(dāng)新產(chǎn)品投入金額為6萬元時(shí)，該產(chǎn)品的收益大約為19萬元

D.當(dāng)x=11時(shí)，殘差為0.5(殘差=觀測值?預(yù)測值)7.已知甲箱中有6個(gè)籃球，2個(gè)足球，乙箱中有5個(gè)籃球，3個(gè)足球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件A1,A2表示由甲箱取出的球是籃球、足球，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件B表示“由乙箱取出的兩球都為籃球”，則A.512 B.55144 C.25728.對一個(gè)四棱維各個(gè)頂點(diǎn)著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)不能著相同的顏色，則不同的著色方法有(????)種．A.120 B.360 C.420 D.2409.若函數(shù)f(x)=ex?a,x>A.(?∞,1] B.(–∞,e]二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N1,σ2，若P(ξ>3)=0.3，則11.袋子中裝有8球，其中6個(gè)黑球，2個(gè)白球，若依次隨機(jī)取出2個(gè)球，則在第一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的概率為

；若隨機(jī)取出3個(gè)球，記取出的球中白球的個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=

．12.二項(xiàng)式x?1xn展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,n=

；該展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為13.甲、乙兩射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為23和12，且各次射擊的結(jié)果互不影響．則甲射擊3次，擊中目標(biāo)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

；甲、乙兩射手各射擊2次，至少有1人擊中目標(biāo)的概率為

．14.某兒童樂園有甲、乙兩個(gè)游樂場，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂場游玩的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.6；如果第一天去乙游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.5，則小王同學(xué)第二天去甲游樂場的概率為

；若第二天去了乙游樂場，則第一天去甲游樂場的概率為

；15.已知函數(shù)f(x)=x2?3x+3+aex有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”.現(xiàn)有3名男生(甲、乙、丙)和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．(列出算式，并計(jì)算出結(jié)果)(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？(2)男生甲坐第一個(gè)，女生都不坐最后一個(gè)的坐法有多少種？(3)甲不坐第一個(gè)，乙不坐第三個(gè)的坐法有多少種？(4)男生有兩人相鄰且都不與第三位男生相鄰的坐法有多少種？17.已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+2，滿足f(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．18.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AA1=3，E，

(1)證明：平面CEF⊥平面AC(2)求B1到平面ECF(3)求直線AC1與平面CF19.當(dāng)前新能源汽車已經(jīng)走進(jìn)我們的生活，主要部件是電池，一般地電池的生產(chǎn)工藝和過程條件要去較高，一般一塊電池充滿電后可連續(xù)正常工作的時(shí)間(小時(shí))X～N(20,16)，若檢測到X≥18則視為產(chǎn)品合格，否則進(jìn)行維護(hù)，維護(hù)費(fèi)用為3萬元/塊，近一年來由于受極端天氣影響，某汽車制造公司技術(shù)部門加急對生產(chǎn)的一大批汽車電池隨機(jī)抽取10個(gè)進(jìn)行抽樣檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)P(X≥22)=0.3．(1)求出10個(gè)樣品中有幾個(gè)不合格產(chǎn)品；(2)若從10個(gè)樣品中隨機(jī)抽取3件，記抽到的不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ，求其分布列；(3)若以樣本頻率估計(jì)總體，從本批次的產(chǎn)品中再抽取200塊進(jìn)行檢測，記不合格品的個(gè)數(shù)為Y，預(yù)計(jì)會(huì)支出多少維護(hù)費(fèi)η元？20.已知函數(shù)f(x)=x(lnx?1),g(x)=ax+b(a,b(1)若a=1時(shí)，直線y=g(x)是曲線f(x)的一條切線，求b的值；(2)b=?3，且f(x)≥g(x)恒成立，求(3)令φ(x)=f(x)?g(x)，且φ(x)在區(qū)間e,e2上有零點(diǎn)，求a參考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.D

6.D

7.B

8.C

9.B

10.0.7

11.27

；

312.7；21

13.2；3514.0.54；815.?∞,?16.【詳解】(1)先將4名女生排在一起，有A4將排好的女生視為一個(gè)整體，再與3名男生進(jìn)行排列，共有A4由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A4(2)從剩下的2名男生中選一位坐在最后一個(gè)座位，有2種排法，因?yàn)槟猩鬃谝粋€(gè)，則剩下的5人進(jìn)行全排列，共有A5由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2×(3)7個(gè)人全排列，有A7甲坐第一個(gè)有A66種排法，乙坐第三個(gè)有A6所以甲不坐第一個(gè)，乙不坐第三個(gè)的坐法有A7(4)先排4名女生，有A4從3名男生中選出2名男生相鄰并看成一個(gè)整體，有A34名女生排好后產(chǎn)生5個(gè)空位，把男生整體和另一名男生插入5個(gè)空位中，有A5根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A417.【詳解】(1)由題意，f′(x)=lnx+1+a，又f(2)由(1)f(x)=xlnx?3x+2，且令f′(x)=0可得x=e2，故當(dāng)0<x<e2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x綜上f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為0,e2，單調(diào)遞增區(qū)間為e2

18.【詳解】(1)證明：取BC和B1C1的中點(diǎn)O和G，連接OA在正四棱柱ABC?A1B1C以O(shè)為原點(diǎn)，OB,OA,OG所在的直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得C(?1,0,0),A(0,則CF=(2,0,1),設(shè)平面CEF的法向量為n=(x,y,z)，則取x=?1，可得y=?設(shè)平面ACC1A1取b=?1，可得a=因?yàn)閙?n=?3+(2)由平面CEF的法向量為n=(?1,?3設(shè)直線FB1與平面CEF所成的角為可得sinθ=又因?yàn)镕B1=2，所以B1到平面(3)由?ABC為正三角形，且O為BC的中點(diǎn)，可得OA在正三棱柱ABC?A1B1C所以O(shè)A=(0,3,0)為平面又由A(0,3,0),設(shè)直線AC1與平面CFC可得sinα=則cosα=1013=

19.【詳解】(1)∵X～N(20,16)，且X<∴P(X<18)=P(X≥22)=0.3∴10×0.3=3，即(2)由(1)可知，10件樣品中有3件不合格產(chǎn)品，有7件合格產(chǎn)品；∴ξ的可能值為0，1，2，3.∴P(ζ=0)=CP(ζ=1)=CP(ζ=2)=CP(ζ=3)=C∴ξ分布列為：ξ

0123P

72421407401120(3)由(1)可知，不合格品的概率為P(X<∴不合格品的個(gè)數(shù)Y～∴200塊電池中，不合格品的個(gè)數(shù)為E(Y)=200×所以維修費(fèi)用η=60×30000=1800000

20.【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=x+b,f′(x)=因?yàn)間(x)=x+b是f(x)的一條切線，所以f′x0所以fx又切點(diǎn)A(e,0)在切線所以0=e+b，得b=?e(2)當(dāng)b=?3時(shí)，由