2025年應用數學基礎考試卷及答案一、選擇題（每題2分，共12分）

1.下列哪個函數屬于一元二次函數？

A.\(f(x)=3x+2\)

B.\(f(x)=x^2-4x+4\)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)

D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

答案：B

2.若\(a^2+b^2=25\)且\(a-b=3\)，則\(ab\)的值為：

A.4

B.8

C.12

D.16

答案：A

3.在直角坐標系中，點\(A(2,3)\)關于\(x\)軸的對稱點坐標為：

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,-3)

D.(-2,-3)

答案：A

4.若\(\sin^2x+\cos^2x=1\)，則\(\tanx\)的值為：

A.0

B.1

C.不存在

D.無法確定

答案：B

5.下列哪個數是無理數？

A.\(\sqrt{4}\)

B.\(\sqrt{2}\)

C.\(\sqrt{9}\)

D.\(\sqrt{1}\)

答案：B

6.下列哪個函數是奇函數？

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=\sqrt{x}\)

D.\(f(x)=x^3\)

答案：D

二、填空題（每題4分，共24分）

7.函數\(f(x)=2x^2-4x+1\)的頂點坐標為________。

答案：\((1,-1)\)

8.若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)在第二象限，則\(\cos\theta\)的值為________。

答案：\(-\frac{4}{5}\)

9.在等差數列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，則第10項\(a_{10}\)的值為________。

答案：21

10.圓的方程\(x^2+y^2-4x-6y+9=0\)表示的圓的半徑為________。

答案：2

11.若\(\log_28=a\)，則\(a\)的值為________。

答案：3

12.在直角三角形\(ABC\)中，若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，則\(\cosB\)的值為________。

答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

三、解答題（每題12分，共36分）

13.已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+4x-1\)，求函數的極值。

答案：

-求導得\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。

-令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。

-當\(x<\frac{2}{3}\)或\(x>1\)時，\(f'(x)>0\)，函數單調遞增；

-當\(\frac{2}{3}<x<1\)時，\(f'(x)<0\)，函數單調遞減。

-因此，\(x=\frac{2}{3}\)為極大值點，\(x=1\)為極小值點。

-計算得極大值為\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}\)，極小值為\(f(1)=1\)。

14.解方程組\(\begin{cases}2x+3y=6\\x-y=1\end{cases}\)。

答案：

-將第二個方程乘以2，得到\(2x-2y=2\)。

-將兩個方程相減，得到\(5y=4\)，解得\(y=\frac{4}{5}\)。

-將\(y\)的值代入第二個方程，得到\(x-\frac{4}{5}=1\)，解得\(x=\frac{9}{5}\)。

-因此，方程組的解為\(x=\frac{9}{5},y=\frac{4}{5}\)。

15.求解不等式\(2x^2-5x+2<0\)。

答案：

-求解方程\(2x^2-5x+2=0\)，得到\(x=\frac{1}{2}\)或\(x=2\)。

-畫數軸，根據根的分布，不等式的解集為\(\frac{1}{2}<x<2\)。

四、應用題（每題12分，共24分）

16.某公司計劃投資一項項目，現有兩種投資方案，方案一投資\(10000\)元，年利率為\(5\%\)；方案二投資\(20000\)元，年利率為\(4\%\)。問多少年后兩種投資方案的收益相同？

答案：

-設\(n\)年后收益相同，則\(10000\times(1+0.05)^n=20000\times(1+0.04)^n\)。

-解得\(n\approx10.5\)年。

17.某商品原價為\(500\)元，打\(8\)折后的價格再打\(9\)折，求現價。

答案：

-打\(8\)折后的價格為\(500\times0.8=400\)元；

-再打\(9\)折后的價格為\(400\times0.9=360\)元。

五、證明題（每題12分，共12分）

18.證明：對于任意實數\(a\)和\(b\)，都有\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。

答案：

-展開左邊的式子：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。

-與右邊的式子相同，因此原命題成立。

六、論述題（每題12分，共12分）

19.論述函數的單調性與極值的關系。

答案：

-函數的單調性指的是函數在其定義域內，隨著自變量的增大或減小，函數值也相應地增大或減小。

-極值是指函數在其定義域內取得的最大值或最小值。

-函數在單調區間內不會取得極值，但在極值點處函數可能不單調。

-例如，函數\(f(x)=x^3\)在整個定義域內單調遞增，沒有極值點；

-函數\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處取得極小值，但在該點處函數不是單調的。

本次試卷答案如下：

一、選擇題

1.B

解析思路：一元二次函數的一般形式為\(ax^2+bx+c\)，其中\(a\neq0\)。選項B符合這個形式。

2.A

解析思路：利用平方差公式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)，得到\(a^2-2ab+b^2=25\)。再利用\(a-b=3\)，解得\(ab=4\)。

3.A

解析思路：點\(A(2,3)\)關于\(x\)軸的對稱點坐標是將\(y\)坐標取相反數，即\((2,-3)\)。

4.B

解析思路：根據三角恒等式\(\sin^2x+\cos^2x=1\)，可以得到\(\cos^2x=1-\sin^2x\)。由于\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}=\pm\frac{4}{5}\)。在第二象限，\(\cos\theta\)為負，所以\(\cos\theta=-\frac{4}{5}\)。

5.B

解析思路：無理數是不能表示為兩個整數比的數。選項B中的\(\sqrt{2}\)不能表示為兩個整數的比，因此是無理數。

6.D

解析思路：奇函數滿足條件\(f(-x)=-f(x)\)。選項D中的\(f(x)=x^3\)滿足這個條件。

二、填空題

7.\((1,-1)\)

解析思路：一元二次函數的頂點坐標可以通過公式\(\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)求得。對于\(f(x)=2x^2-4x+1\)，有\(a=2\)，\(b=-4\)，代入公式得到頂點坐標。

8.\(-\frac{4}{5}\)

解析思路：已知\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，利用三角恒等式\(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\)，計算得到\(\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}=\pm\frac{4}{5}\)。在第二象限，\(\cos\theta\)為負。

9.21

解析思路：等差數列的通項公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)。代入\(a_1=3\)，\(d=2\)，\(n=10\)得到\(a_{10}=3+(10-1)\times2=21\)。

10.2

解析思路：圓的標準方程為\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)，其中\((h,k)\)是圓心坐標，\(r\)是半徑。將方程\(x^2+y^2-4x-6y+9=0\)化簡，得到\((x-2)^2+(y-3)^2=2^2\)，所以半徑\(r=2\)。

11.3

解析思路：由對數的定義，\(\log_28=a\)意味著\(2^a=8\)。由于\(8=2^3\)，所以\(a=3\)。

12.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

解析思路：在直角三角形中，\(\sinA\)和\(\cosB\)是互余角，即\(\sinA=\cos(90^\circ-A)\)。由于\(\sinA=\frac{1}{2}\)，則\(A=30^\circ\)，所以\(B=60^\circ\)，\(\cosB=\cos60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

三、解答題

13.極大值為\(\frac{7}{27}\)，極小值為\(1\)。

解析思路：首先求導\(f'(x)=3x^2-6x+4\)，令\(f'(x)=0\)得到\(x=1\)和\(x=\frac{2}{3}\)。通過一階導數的符號變化判斷極值點，計算得到極大值和極小值。

14.\(x=\frac{9}{5},y=\frac{4}{5}\)。

解析思路：將兩個方程相減消去\(y\)，解得\(x\)，再將\(x\)的值代入任一方程解得\(y\)。

15.解集為\(\frac{1}{2}<x<2\)。

解析思路：先求根，然后根據根的分布畫出數軸，判斷不等式的解集。

四、應用題

16.10.5年

解析思路：設\(n\)年后收益相同，列出等式\(1000