滬科版2017-2018學年八年級數學下冊

全冊導學案

目錄

16.1二次根式課后拓展練習

16.2二次根式的運算課后拓展練習

17.1一元二次方程課后拓展練習

17.2一元二次方程的解法課后拓展練習

17.3一元二次方程的根的判別式課后拓展練習

17.4一元二次方程的根與系數的關系課后拓展練習

17.5一元二次方程的應用課后拓展練習

18.1勾股定理課后拓展練習

18.2勾股定理的逆定理課后拓展練習

19.1多邊形的內角和課后拓展練習

19.2平行四邊形課后拓展練習

19.3矩形菱形正方形課后拓展練習

19.4綜合與實踐多邊形的鑲嵌課后拓展練習

20.1數據的頻數分布課后拓展練習

20.2數據的集中趨勢與離散程度課后拓展練習

20.3綜合與實踐體重指數課后拓展練習

16.1二次根式

學習目標：

1.理解二次根式的概念和基本性質；

2.經歷觀察，比較，總結二次根式的基本性質的過程，發展學生的歸納概括能力；

3.經歷觀察，比較，總結和應用等數學活動，感受數學活動充滿了探索性和創造性，體

驗發現的快樂，并提高應用的意識。

學習重點：二次根式的概念和性質；

學習難點：二次根式的基本性質的靈活運用。

一.學前準備

1.叫平方根；

____________________________________________________叫算術平方根；

2.平方根的性質有以下幾個內容：(1)正數有;

(2)負數;(3)0的.

3.絕對值的性質有以下幾個內容：(1)正數的;

(2)負數的;(3)0的.

—.探究活動

獨立思考解決問題

1.已知一個正方形的面積是(b-3)an?,則這個正方形的邊長是

1

2.已知一個圓的面積是16cw2,則它的半徑是;

師生探究?合作交流

議一議：

1.上面的代數式有哪些共同點的特點呢？你知道什么是二次根式了嗎？

2.結合上面的特點你能判斷一個式子是不是二次根式了嗎？

3.下面各式是二次根式嗎？(填“是”或“否”)

網()()V25()yja2+2a+\()

(〃<1)()4a()\la2+2()

2

變式訓練1X為何值時，下列各式在實數范圍內有意義？

(1)田可;(2)-^―;(3)二^

\2x-l1-Vx

小組互動?發現規律

1.我們知道，0是2的算術平方根，根據平方根的意義，應有(、巧)2=2,類似地，計算

2

則，一般地，有性質1(&)2=—(CZ>0).

2.療=囪=3,J(-3)2=M=3,類似地，計算

后二—，7^57=一,府二

則，一般地，有性質2，了二

練一練：

1.計算

⑴02;(2)(今；⑶(3石尸；(4)79;⑸斤護；(6)7256

2.已知Jx+y-2+VT^=()，求x和y的值

3.在實數范圍內分解因式；

(1)X2-2;(2)5-4a2;(3)x4-4;(4)a3b2-5ab2

三.自我測試：

1.用代數式表示：

(1)面積是S的圓，它的半徑r=

3

(2)正方形的面積是8/,它的周長c二

2.如果后二是二次根式,則x的取值范圍是________.

3.當m滿足______時，式子曲1”有意義。

m+4

4.計算：(1)(J)2=_______;(2)(-8>/6)2=_______;

⑶J(3-百產=(4)J(萬-3.1416尸=

5.(—石門的平方根是()

A.75B.±75C.-V51).不存在

6.若C=(&)2,則a的取值范圍是()

A.a^OB.a*0C.aWOD.任意實數

四.應用與拓展：

h若J2x-1+j3y+6=0,求4x-y的平方根

2、若J2x-1+J1-2尤+y=6,求4x+y的立方根

五.數學日記

日期年月一日預習時的疑難解決了

心情：_______嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？_________________老師我想對你說：

16.2二次根式的運算

學習目標：

1.能夠利用積的算術平方根的性質進行二次根式的化簡與運算。

2.會進行簡單的二次根式的乘法運算。

3.讓學生進一步了解數學知識之間是相互聯系的。

4.培養學生努力探索事物之間內在聯系的學習習慣。

學習重點：會利用積的算術平方根的性質化簡二次根式，會進行簡單的二次根式的乘法

運算

學習難點：二次根式的乘法與積的算術平方根的關系及應用。

-.學前準備

1.算術平方根的定義___________________________________________________

2.二次根式的兩個基本性質：____________________________________________

3計算：”=___,V25=____,VlOO=JO.25=

二.探究活動

(-)獨立思考解決問題

觀察：計算下列各題，觀察有何規律？

⑴“x底二“x25=

⑵舟內二―,

(3)73725xVioo=,Vo.25x100=

猜想：當aNO,bNO,有信訪=

5

(二)師生探究?合作交流

性質3:如果a>0,b>0,有石豆=

用語言敘述為：;

你能證明這個性質嗎？

,/(6班)2=(石汽而2=-----------------

又&N0,現N0,

/.是ab的_____

艮阿=/麗(a>0,/?>0)

由等式對稱性，性質3也可寫成而=>0,Z?>0)

教材例1

練習并計算：⑴收x收；(2)73x屈;

例2:化簡：

(1)716x81;⑵J4a2b3(.>0,/?>0);

自我測試

1.化簡：

6

(1)712x76;⑵2出x4疝(3)

2.化簡：

(1)749x121;(2)粕4W"；(3)78/;

3.一個矩形的長和寬分別是JiUcm和2萬cm,求這個矩形的面積。

四.應用與拓展

1.觀察下式及其變形過程:

2晨號耳早.后

(1)按上述等式及其驗證過程的基本思路，猜想3小：的變形結果并進行驗證；

(2)針對上述各式反映的規律，寫出用n(n為自然數，nN2)表示的等式并證明；

(3)仿照上面的規律，寫出用n表示下列各式的規律

29卜13舄=—「.(不要求證明)

7

2.先閱讀，再解答：

有這樣一類題目：將Ja±2〃化簡,若你能找到詼個數m,n,使勿2+〃2=a,且

mn=\[b則將a±2&?變成勿？+n-土2nm即變或(勿±??)"從而使得Ja土2〃

化簡，例如

5±2指=3+2±2、值=(6戶+(也爐±2xV3xV2=(V3±舟,所以

15土2瓜—±亞I=應±亞

請仿照上例解答下列問題：

(1)小+4后;(2)《7-2而.

五.數學日記

HIj

<Q日期：年月一日預習時的疑難解決了

心情：嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？_________________老師我想對你說:

17.1一元二次方程

學習目標：

1.通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義；

2.一元二次方程的一般形式及其有關概念；

3.使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式；

4.通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情。

學習重點：

一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關概念解決問題

學習難點：

通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方

程的概念。

-.學前準備：

1.叫方程；

_______________________________________________叫一元一次方程O

2.我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實際問題，利用一元一次方程解決

實際問題的步驟是：

二.探究活動

(-)獨立思考解次問題

9

1.剪一塊面積為150。/的長方形鐵片，師它的長比寬多5cm,這塊鐵皮該怎么剪呢？如

果鐵皮的寬為x(cm),那么鐵皮的長為_____cm.

根據題意，可得方程是：_______________________

2.一個數比另一個數小打，且這兩數之積為6,求這兩個數。設其中較小的一個數位x,

請列出滿足題意的方程.

3.正方形的面積是2d,求它的邊長？

3.矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍得柵欄的總長度是19m,如果花圃的面積是24/,

求花圃的長和寬。

(二)師生探究?合作交流

議一議：1.上面的方程有哪些共同的特點呢？你知道什么是一元二次方程了嗎？

2.結合上面的方程的特點你能夠用一個式子表示一元二次方程的一般形式嗎？

3.ax2+bx+c=0(aW0)其中_____叫做二次項，a叫做_______,bx叫做

_,b叫做_______.C是常數項。

10

4.下面是一元二次方程嗎？(填“是”或“否”)

—2x~-3x+2=0()%2+——3=0()

x

2/-31=0()-5/=0()

5.方程：3x(x-l)=2(x+2)+8

(1)是一元二次方程嗎？如果是一元二次方程請將它轉化成一般形式。

(2)如果是，請分別說出它的二次項，一次項，常數項和它各項的系數。

/-~b±\lb2-\ac4H

(3)試求------------------的值。

2a

練一練：

1.下面的方程式一元二次方程嗎？如果是，請說出方程中的a,b,c分別是多少？

Y2+Y-1=0-y2-3x+4=0

2.把下列的方程先轉化為一元二次方程的一般形式，再分別寫出它各項的系數。

X2+x-1=0一才2-3才+4=0

三.自我測試

11

2

1.將才2-3=-3x化為ax+，x+c=O,a,b,c的值分別為()

A.0,-3,-3B.1.-3,3C.1,3,-3D.1,-3,-3

2.若方程牙2卬+3=5是一元二次方程，則出的值是（）

A.—B.—C.-----D.-----

2323

3.已知方程：①5x+2=1；②2x2+y=4；③x2+3x-2=0；@

941

『一馬=0;⑤4x2-3=0；其中一元二次方程的個數是（）

3xx3

A.0B.1C.2D.3

2

4.把方程勿/一〃*+mx+nx=q-p5+n羊0）化成一元二次方程的一般形

式，再求出它的二次項系數與一次項系數的和。

四.應用與拓展

1.下列方程中，無論a取何值，總是關于x的一元二次方程的是（）

A.ax2++c=0B,ax2+1=/一>

2

C.0+I”_-I）*二0D.X=—i--------a

x+3

2.若一3/?"+2=0是關于x的一元二次方程，求m,n的值。

3.當m取任意實數時，判斷關于x的方程（/〃-1）*2+（/〃+1）*―/〃=。的類型。

12

五.數學日記_________Q

日期年月一日預習時的疑難解決了

心情：______嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？_________________老師我想對你說:

y

13

17.2一元二次方程的解法

學習目標：

1.理解一元二次方程降次的轉化思想；

2.會利用直接開平方法對形如（X+/￥=/7（/7>0）的一元二次方程進行求解；

3.發現不同方程的轉化式，運用已有知識解決新問題。

學習重點：運用開平方法解形如（X+/）2=〃5>0）的方程；

9

學習難點：通過根據平方根的意義解形如X=〃的萬程，知識遷移到根據平方根的意義

解形如（X+m）2=/?（7?>0）的方程。

--學前準備：

1.9的平方根是—，用符號表示為__________;

2.25的平方根是—,用符號表示為________;

3.a的平方根是_______;（H±Z?）2=

二.探究活動：

（-）獨立思考?解決問題

1.解方程：⑴/=9;⑵/=25;

2.解方程：⑴3--48=0;(2)(2x-3)2=49

(二)師生探究?合作交流

議一議：

14

1.上述解一元二次方程的方法是什么？它的理論依據是是什么？

2.方程/=-36有實數解嗎？為什么？

3.由第2題你能得到用直接開平方法解一元二次方程需要注意什么呢？

4.我們又如何檢驗我們所解得方程是否正確呢？

5.練一練：

解方程：⑴--0.81=0;(2)3(x+I)2=48;(3)2(%-2)2-4=0

6.小明同學在解方程(x-I)2=15時是這樣解的，請同學們看看他的解法對嗎？如果是

你解，該如何解呢？

解：/一1二15

/=16

x=±4

三.自我測試：

15

1.方程X?=1的實數根的個數是(

A.1B.2C.0D.以上答案都不對

2.方程3萬2_1=o的根是()

A.X=i-B.X=±3C.x=±-D.x=±^3

33

3.方程(x—a)?=b[b>0)的根是()

A.a±\[bB.±(a+4b)C.±a+>fbD.±at±b

4.方程*2-V16=0的根是

2

5.若方程X-n]=0有整數根，則m的值可以是______(只填一個)

6.當n_____時，方程(X-夕尸+/?=0有根，其根為

7,已知一元二次方程(X-2)2=(2%+5)2,試用直接開平方法解這個方程。

8.一塊石頭從20川高的塔上落下石頭離地面的高度h(m)和下落時間x(s)大致有如下關系：

h=-5x2+20,則石頭經過多長時間落到地面？

16

四.應用與拓展:

32

已知公式a，-b=(a—6)(a?+ab+Z?)o根據上述公式解答下題：

/-1

已知a是方程2a2-18=0的根，求一--------；的值。

a+d+1

五.數學日記

________________________

日期年月一日預習時的疑難解決了

心情：嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？____________________老師我想對你說：

17.3一元二次方程的根的判別式

學習目標：1.了解掌握根的判別式；

2.不解方程能判定一元二次方程根的情況；

3.通過探究某些無解的一元二次方程得出一元二次方程的判別式

4.學生通過觀察，分析，討論相互交流，培養與他人交流的能力，通過觀察，

分析，感受數學的變化美，激發學生的探求欲望。

學習重點：用根的判別式解決實際問題；

學習難點：根的判別式的發現；

--預習思考

1.請同學們用公式法求解下列方程：

(1)3/-2%-5=0;(2)(2-%)2=0;(3)%2+x+2=0;

2.把_____叫做一元二次方程a/+bx+c=0GW0)的根的判別式，常用符號

_____來表示。

3.一般地，方程a/+4r+c=03工0)當____時，有兩個不相等的實數根；當

時，有兩個相等的實數根；當_______時，沒有實數根，反過來，也成立。

4.下列方程中，有兩個不相等實數根的是()

A.x~—2x—1=0B.%2—2A+3=0

18

C.x2—25/3^-3I).——4x+4=0

二,探究活動

(-)獨立思考解決問題

1.求根公式一"±W一是否對于每一個一元二次方程都適用？

2a

2.進一步觀察一元二次方程a/+Ax+c=0(a工0)

(1)當/-4ac>0時，儲=x9=

(2)當/-4ac=0時，儲=x=

(3)當/一4與。<0時，方程_________.

(二)師生探究?合作交流

1.定義：把〃一叫做一元二次方程a/+H+。=0(a=0)的根的判別式,通

常用符號'△”表示，即△=〃-4ac,一般地，方程a?+力/+。=0Q工0)

當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；

當A=0時，方程有兩個相等的實數根；

當△<()時，方程沒有實數根。

反過來，同樣成立，即

2.小英說r不解方程3/-2x+4=0"，我也知道它的根的情況，現在你知道她是怎么

19

做的了吧？那我們也來嘗試一下。

例1:不解方程，判別下列方程根的情況：

(1)/一2x+1=0;(2)%2-2%-1=0;(3)A2-2x+3=0

例2:m為何值時，關于x的一元二次方程力/-2(2/77+l)x+4m-1=0;

(1)有兩個相等實數根；

(2)有兩個不相等的實數根；

(3)無實數根。

三.自我測試

I.方程x2-ax+9=0有兩個相等的實數根，則a=

20

2.關于x的方程(m+Ox?-2x-(m-1)+0的根的判別式等于4,m=

3.已知a、b、c是aABC的三條邊，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0有兩個相等

的實數根，試判斷AABC的形狀.

4.當m為何值時,(1)關于x的方程mx2+(2ni-3)x+于+2)=0有兩個實數根。

(2)關于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實數根。

(3)關于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實數根。

四.應用與拓展

已知關于X的方程/+/X+%=0和*2+夕2*+%=0，且002=2(%十%),

證明：這兩個方程中至少有一個實數根。

五.數學日記____q

kC日期：年月一日預習時的疑難解決了

心情:_______嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

17.4一元二次方程的根與系數的關系

學習目標：1.通過觀察，歸納，猜想根與系數的關系，并證明此關系成立，使學生理解其理

論依據；

2.使學生會運用根與系數關系解決有關問題；

3.培養學生去發現規律的積極性及勇于探索的精神。

學習重點：根與系數的關系及推導

學習難點：正確理解根與系數的關系

一.學前準備

解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原

來的方程的系數有什么聯系？

⑴x2+2x=0⑵x2+3x-4=0(3)x2-5x+6=0

Xi+X

方程X1X22

Xi-X2

-.探究活動

(-)嘗試探索，發現規律：

1.若xi、x?為方程ax21bx?c=0(a*0)的兩個根，結合上表，說明xi夭與xi?X2與匕、b、

C有何關系？請你寫出關系式

22

2、請用文字語言概括一元二次方程的兩個解的和、積與原來的方程有什么聯系？

小結：

2

1.如果一元二次方程ax+bx+c=0（a*0）的兩個根是Xi,x2,那么Xi+X2=,XiX2=

22

2.如果方程x+px+q=0（p,q為已知常數,p-4q>0）的兩個根是Xi岡，那么xi+x2=_

X1X2=________；

以兩個數X.,X,為根的一元二次方程（二次項系數為1）是

注意：根與系數的關系使用的前提條件

（二）例題分析

例1.不解方程,求出方程兩根的和與兩根的積（直接口答）：

①x2+3x-1=0②乂2+6x+2=0

③3x2_4x+1=0（4”2+3x+3=0

例2.已知關于x的方程x：+kx-6=0的一個根是2?求另一個根及k的值

23

三.自我測試

1.若關于X的一元二次方程的兩個根為怎=1,々=2,則這個方程是()

A./+3x-2=0B.x2—3z+2=0

C./_2x+3=0D.X，+3x+2=0

2.若方程x?+RY+。=0的兩根是2和-3,則p,q分別為()

A.2,-3B.-1,-6C.1,-6I).1,6

3.方程(-51+l)x+2/-1=0,當m=___E寸，此方程兩個根互為相反數；當

"_____時，兩根互為倒數。

4.如果-2和1是一元二次方程的兩根，那么該一元二次方程為__________;

4

5.一元二次方程/一*-3=0的兩根為x.x”、則」-+—=_____o

為巧

6.若小人是方程/+(4〃+l)x+24—1=0的兩根，且

(為-2)(4-2)=2A-3，求k的值。

24

7.關于X的方程a/+(k+2)x+-=0有兩個不相等的實數根。

4

(1)求女的取值范圍；

(2)是否存在實數k,使方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出k的值；若不存

在，說明理由。

四.應用與拓展

已知為，巧是方程/-2x+a=0的兩個實數根，且毛+2巧=3-亞。

求(1)求為，X］及a的值；

(2)求X；-+2x{+巧的值。

25

26

17.5一元二次方程的應用

學習目標：1.使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題.

2.進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生應

川數學的意識。

學習重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題

學習難點：有關增長率之間的數量關系.

一.學前準備

1.(1)原產量+增產量;實際產量.

(2)單位時間增產量二原產量X增長率.

(3)實際產量=原產量義(1+增長率).

2.(1)某工廠一月份生產零件1000個，二月份生產零件120()個，那么二月份比一月份增

產_個？增長率是多少o

(2)銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存1000元，存滿一年連本帶利的錢數

是O

(3)某廠第一個月生產了彩電m臺，第二個月比第一個月產量增長的百分率為x,,則第

二個月生產了______臺；第三個月比第二個月又增長了相同的百分率，則第三個月的

產量為___________臺。

—.探究活動

例1、某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產量為5000噸，3月上升到720()噸，這兩個月平均每

個月增長的百分率是多少？

分析：這兩個月平均每個月增長的百分率是x,則2月份比一月份增產________噸；2月份

的產量是噸3月份比2月份增產________噸；3月份的產量是

噸

解：

27

歸納：兩次增長后的■=原來的■0+增長率)2

反之，若為兩次降低，則平均降低率公式為：兩次降低后的■=原來的一(1-增長率)2

例.2某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百

分數相同，求每次降價的百分數？

分析：設每次降價的百分數為x.

第一次降價后，每件為600-600x=600(1-x)(元).

第二次降價后，每件為600(1-x)-600(1-x)-x=600(l-x)?(元).

解：

例3某人想把10000元錢存入銀行，存兩年。一年期定期年利率6%,兩年期定期年利率為

6.2%,哪一種存款更劃算？

例42009年我市實現國民生產總值為1600億元，計劃全市國民生產總值以后三年都以相

同的增長率一實現，并且2011年全市國民生產總值要達到1960億元.

28

（1）求全市國民生產總值的年平均增第率

（2）求2010年至2012年全市三年可實現國民生產總值多少億元？（精確到1億元）

小結：

（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x.

（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到、總共季度總和等詞語的關系.

（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開.

三.自我測試

1.某商品兩次價格上調后，單位價格從4元變為4.84元,則平均每次調價的百分率是（）

A、9%B、10%C.11%【）、12%

2.某商品連續兩次降價，每次都降20%后的價格為m元，則原價是（）

nJni

（A）——元（B）1.2〃？元（C）——元（D）0.8“"?元

1.220.82

3.一工廠計劃2007年的成本比2005年的成本降低15%;如果每一年比上一年降低的百分率

為x,那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是（）

A、（1-X）2=15%B、（l+x）=l+15%C、（1-X）2=1+15%D、（1-X）2=1-15%

29

4.某林場第一年造林200畝，第一年到第三年共造林723畝，若設每年增長率為x,則應列

出的方程是。

5..某工廠第一季度生產機床400臺，如果每季度比上一季度增長的百分數相同，結果第二

季度與第三季度共生產了1056臺機床，這個百分數是

6?.某工廠計劃兩年內把產量翻一番，如果每年比上一年提高的百分數相同，求這個百分數。

7..某廠1月份生產零件2萬個，一季度共生產零件7.98萬個，若每月的增長率相同，求

每月的增長率

四.應用與拓展

某服裝店花2000元進了批服裝，按5(n的利潤定價，無人購買。決定打折出售，但仍

無人購買，結果又一次打折后才售完。經結算，這批服裝共盈利430元。如果兩次打折相同，

每次打了幾折？

30

五.數學日記

_________Q

<0日期年月一日預習時的疑難解決了

心情：______嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？_________________老師我想對你說:

31

18.1勾股定理

學習目標：I.了解勾股定理的文化背景，體箱勾股定理的探索過程；

2.了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；

3.在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想；

4.通過對勾投定理歷史的了解，感受數學文化，激發學習熱情；

5.在探究活動中，體驗解決問題方法的多樣性，培養學生的合作交流意識和探

索精神。

學習重點：探索和驗證勾股定理；

學習難點：用拼圖的方法驗證勾股定理；

-.學前準備

1.畫一個直角邊為3cm和4cm的直角AABC,用刻度尺量出AB的長。

以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發現的，他說r把一根直尺折成直

角，兩端連接得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。”這句話意思是說一個直角三角形

較短直角邊（勾）的長是3,長的直角邊（股）的長是4,那么斜邊（弦）的長是5.

2.再畫一個兩直角邊為5cm和12cm的直角"BC,用刻度尺量出AB的長。

3.你是否發現于+4?與5?的關系，5?+122與13?的關系，即,________.

對于任意直角三角形也有這個性質嗎？

二.探究活動

32

(-)獨立思考?解決問題

【做一做】

2、這三個面積之間是否存在什么樣的

未知關系，如果存在，那么它們的關系

是是什么？

操作一：請大家將手中的四個全等的直角邊長分別為a、b,斜邊為c的直角三角形，拼

成如圖所示的正方形，并找出圖中的面積關系。

33

操作二：美國第20屆總統加菲爾德于1876年利用兩個全等直角三角形構造了一個如圖所示

的圖形，你能找出其中的面積關系嗎？

(-)師生探究?形成知識

通過上面的探究，你能發現直角三角形三邊的長之間有怎樣的關系嗎？

如果直角三角形的兩直角邊用a、力表示，斜邊用c表示，那么勾股定理可表示為

課堂練習：

34

I.在Rl△4%中，/C=90°,AB=c,BOa,AC=b.

(1)折6，/r8,求c;(2)爐8,c=\7,求b.

2.在Rl”優中，/企90°,a=3,A=4,求c.

3.在直角三角形中，已知兩邊的長為3和4,求第三邊的長.

三.自我測試

1.在MBC中，若4=90°,AB=6,BC=5,貝ijAC等于()

A.4B.7C.9D.VTT

2.下列說法正確的是()

A.若a,b,c是三角形的三邊長，則ci2+b2=c2

B.若a,b,c是直角三角形的三邊長，貝卜/+/=/

C.若a,b,c是直角三角形的三邊長，且4=90。，則

D.以上都不對

3.在Rt^ABC中,zACB=90°,CD1AB，垂足為D，設BC=a,AC=b，若AB=16,CD=6，則a-b=_

4.如圖，在"BC中，4=90。，DE是邊BC的垂直平分線，求證：AE2=BE2-AC2

35

A

D

四.數學日記

日期年月一日預習時的疑難解決了

心情：______嗎？

本節課你有哪些收獲？感受最深的

是什么？_________________老師我想對你說：

18.2勾股定理的逆定理

學習目標：|.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題逆命題逆定理的概念及關系。

學習重點：掌握勾股定理的逆定理；

學習難點：勾股定理逆定理的證明；

-.學前準備

1.復習：(])什么叫命題？O

(2對頂角相等'的逆命題是：,它是_____命題。

(3)勾股定理的內容是。

它的題設是，結論是

(4)寫出勾股定理的逆命題：

2、引導學生證明勾股定理的逆命題(具體證明過程見課本P58)

歸納：勾股定理的逆定理：,

3、是互逆定理。

-.探究活動

37

(-)自主探究掌握知識

1.學習例1判斷由線段ate組成的三角形是不是直角直角三角形:

(1)a=7,b24,c=25(2)a=713,b=8,c=ll

強調：運用勾股定理的逆定理判定個三角形是否是直向三角形的般步驟：①先判斷

那條邊最大。②分別用代數方法計算出a，b「和c：的值。③判斷a?+b二和，是否相等，若相

等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

例2：已知：在2BC中,zAzBzC的對邊分別是abc,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(r.>1)

求證：NC=90°。

分析：要證4=90°,只要證NBC是直角三角形，并且c邊最大。根據勾股定理的逆定

理只要證明wJ+bJc。即可。

38

歸納：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數稱為勾股數。

課堂練習：

1.判斷題。

⑴在一個三角形中加果一邊上的中線等于這條邊的一半那么這條邊所對的角是直角。

()

⑵勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是

直角三角形。()

(3)AABC的三邊之比是1：1：，則"BC是直角三角形。()

2.△ABC中NA/B/C的對邊分別是abc,下列命題中的假命題是()

A.如果NC?NB=NA,則”BC是直角三角形。

B.如果c2=b2—a2,則"BC是直角三角形，且”=90。。

C.如果(c+a)(c?a)方，則4ABC是直角三角形。

D.如果NA:zB：kC=5：2：3,則"BC是直角三角形。

3.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=V5,b=V3,c=V2D.a:b:c=2:3:4

4.已知：在&ABC中，zAzBzC的對邊分別是abc,分別為下列長度，判斷該三角形是

否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

(i)a=V3,b=2&,c=V5;(2)a=5,b=7,c=9;

⑶a=2,b=V3,c=V7；⑷a=5,b=2后，c=lo

課堂檢測：

1.填空題。

39

⑴任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有0

⑵“兩直線平行，內錯角相等。”的逆定理

是O

⑶在&ABC中，若a2=b2-c2,則"BC是三角形，是直角；若a2Vb?

-c2,貝LB是o

⑷若在^ABC中，a=m2-n~,b=2mn,c=/+1,則MBC是三角形。

3.若三角形的三邊是⑴1,J5,2;（2）1,1/;⑶32,『，52（4）9,40,41；則

345

構成的是直角三角形的有（）

A.2個B.3個C.4個D.1個

4.已知：在&ABC中，zAzBzC的對邊分別是abc,分別為下列長度，判斷該三角形是

否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

（i）a=9,b=41,c=40；⑵a=15,b=16,c=6；

⑶a=2,b=2>/3,c=4;⑷a=5k,b=12k,c=13k（k>01

三.自我測試

1.分別以下列四組數為一個三角形的邊長：（1）6、8、10;（2）13、12、5;

（3）1、2、3;（4）4、5、6.其中能構成直角三角形的有（）

A.4組B.3組C.2組D.1組

2.在7BC中，/ACB=，AC=3,BC=4,CD±AB于D,則CD等于（）

A.B.C.D.

3,下列數組中，能組成一個直角三角形的有（）

40

(1)15,20,25；⑵10,24,25；(3)9,80,81；(4)8,15,17

A.1組B.2組C.3組D.4組

4已知NBC的三邊為a、b、c,有下列各組條件，判斷"BC的形狀。

(1)a=41,b=40,c=9;

(2)a=25,b=20,c=15；

5在MBC中，AB=15,BD=14,AD=13,求BD邊上的高AC。

四：應用與拓展

在四邊形ABCD中，C是直角,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,求證：ADU犯

五.數學日記

___________Gy

日期：年月日預習時的疑難解決了

心情：嗎？

+—血。ikkilk:ttrc5B曰AM

19.1多邊形內角和

學習目標：i.了解多邊形、凸多邊形及多邊形的邊、頂點、內角、外角、對