階段測試卷（二）數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡即可.【詳解】．故選：B.2.設為虛數單位，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結合復數的四則運算，以及共軛復數的定義，即可求解．【詳解】，故，故選：D3.已知復數（為虛數單位），則復數在復平面上對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法運算化簡，即可根據共軛復數的定義,結合幾何意義求解.【詳解】，故，因此復數在復平面上對應的點為，位于第四象限，故選:D4若復數z滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用復數的乘方及除法運算求出復數，再利用復數模的意義求解.【詳解】由，得，所以.故選：D5.已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，結合向量的坐標運算求得m得取值范圍，再根據包含關系分析充分、必要條件.【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，可得，解得且，因為是真子集，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據誘導公式和余弦二倍角公式得到，化弦為切，代入求值即可.【詳解】，故.故選：A7.在△ABC中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若，則∠B的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據正弦定理，可得，令，，，再結合公式，列出關于的方程，解出后，進而可得到的大小.【詳解】解：∵，∴，即，令，，，顯然，∵，∴，解得，∴，B＝．故選：D.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化的應用，考查兩角和的正切，用k表示，，是本題關鍵8.已知函數在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】先化簡函數，利用換元法結合零點個數可得答案.【詳解】，令，因為，所以，令可得,因為在上有且僅有2個零點，所以，解得.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，以下說法正確的是（）A.z的實部是3 B.C. D.在復平面內對應的點在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根據復數實部的概念判斷A的真假；計算復數的模判斷B的真假；根據共軛復數的概念判斷C的真假；根據復數的幾何意義判斷D的真假.【詳解】對A：復數的實部為3，故A正確；對B：因為，故B正確；對C：根據共軛復數的概念，，故C正確；對D：因為在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限，故D錯誤.故選：ABC10.已知函數，則（）A.是偶函數 B.的最小正周期為C.最大值為 D.在上單調遞增【答案】AC【解析】【分析】由偶函數的定義可得選項A正確；根據可得選項B錯誤；根據，結合倍角公式可得選項C正確；當時，函數可化為，根據正弦型函數的性質可得選項D錯誤.【詳解】因為定義域為，，所以，為偶函數，選項A正確．因為，的最小正周期不為選項，B錯誤．，選項C正確．，，，時，，在上單調遞增，時，，在上單調遞減，選項D錯誤．故選：AC.11.已知為方程的根，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設，根據復數與一元二次方程根的關系，可得的關系，即可求得對應的值，逐項分析即可得結論.【詳解】設，因為為方程的根，且，則，所以，即，解得或，所以，則；，所以，故ACD正確，B錯誤.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，已知為方程的兩個根，則___________．【答案】##0.75【解析】【分析】根據方程根與系數的關系結合和角公式可得答案.【詳解】因為為方程的兩個根，所以；,故答案為：13.已知，且，則___________．【答案】【解析】【分析】先利用條件求出，結合平方關系及倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以，所以；因為，所以，所以，.故答案為：14.已知i為虛數單位，若復數滿足，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】利用復數模的幾何意義求解.【詳解】設復數，則，即，則點的軌跡為圓心在，半徑為的圓，，其表示點到點的距離，其最大值為到圓心的距離加上半徑，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復數．（1）若復數為純虛數，求實數的值；（2）若復數在復平面內對應點位于第二象限，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據純虛數的定義即可求解，（2）根據復數的幾何意義，結合第二象限點的特征即可求解.【小問1詳解】因為復數為純虛數，所以，解的解得，；【小問2詳解】因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以解之得得．所以實數的取值范圍為．16.化簡求值：（1）；（2）；（3）已知，，求的值．【答案】（1）4（2）1（3）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，利用兩角和與差的正弦公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式和誘導公式化簡即可得出答案；（3）利用同角三角函數的基本關系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案.【小問1詳解】.【小問2詳解】.【小問3詳解】已知，，，，所以，.17.近年來，六盤水市認真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態文明理念，圍繞良好的生態稟賦和市場需求，深挖冷水魚產業發展優勢潛力，現已摸索出以鰻、鱘魚等養殖為主方向．為擴大養殖規模，某鱘魚養殖場計劃在如圖所示的扇形區域內修建矩形水池，矩形一邊在上，點在圓弧上，點在上，且，米，設．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的表達式；（3）當為何值時，取得最大值，并求出這個最大值．【答案】（1）平方米（2），（3）時，最大值為【解析】【分析】（1）利用扇形的面積公式可求答案；（2）先求出矩形的長和寬，利用面積公式可得答案；（3）先確定的范圍，利用三角函數的性質可得最大值.【小問1詳解】因為，，所以，即扇形的面積為平方米.【小問2詳解】在直角三角形中，；在直角三角形中，，所以，所以，，.所以，其中.【小問3詳解】因為，所以，當時，即時，取到最大值.18.已知復數，，．（1）若，求角；（2）復數，對應的向量分別是，，（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）存在使等式成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用復數相等的性質和特殊角的三角函數值，結合角度的范圍即可求解；（2）（ⅰ）利用向量的數量積結合兩角差的正弦公式，再由角度的范圍即可求出的取值范圍；（ⅱ）利用向量數量積的坐標運算化簡等式，轉化為和三角函數得表達式，求出三角函數的整體范圍，進而計算的取值范圍.【小問1詳解】，，且，，，即，，又，故.【小問2詳解】（ⅰ）由復數的坐標表示可得，，，，又，則.當時，取最大值為，當時，取最小值為，的取值范圍為；（ⅱ），，，又，則，化簡得，，，由小問（ⅰ）的結論可知，，解得或，綜上所述，的取值范圍為：.19.已知函數．（1）求圖象的對稱中心、對稱軸，的單調遞增區間；（2）當時，求的最值；（3）當時，關于的不等式有解，求實數的取值范圍．【答案】（1）對稱中心為；對稱軸為，；增區間為.（2）最大值為1，最小值為（3）【解析】【分析】（1）先化簡函數，再利用函數性質可求答案