東北三省三校2025屆高三3月第一次聯合模擬考試（一模）（文）（數學）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$，其中$a$為常數，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,0)$B.$(-\infty,-\frac{1}{2})$C.$(-\frac{1}{2},+\infty)$D.$[0,+\infty)$2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，$a_2+a_5+a_8=15$，則$a_3+a_6+a_9$的值為（）A.9B.12C.18D.243.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在區間$[1,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M-m$的值為（）A.1B.2C.3D.44.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值為$m$，則$m$的值為（）A.1B.2C.3D.45.已知函數$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的圖像關于直線$x=a$對稱，則實數$a$的值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題要求：將答案填入空格內。6.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，則$a_5$的值為______。7.已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，則實數$a$的取值范圍是______。8.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在區間$[1,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，則$M-m$的值為______。9.已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值為$m$，則$m$的值為______。10.已知函數$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的圖像關于直線$x=a$對稱，則實數$a$的值為______。三、解答題要求：解答下列各題。11.（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，$a_2+a_5+a_8=15$，求$a_3+a_6+a_9$的值。12.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，求實數$a$的取值范圍。13.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在區間$[1,2]$上的最大值為$M$，最小值為$m$，求$M-m$的值。14.（本小題滿分12分）已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值為$m$，求$m$的值。15.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的圖像關于直線$x=a$對稱，求實數$a$的值。四、解答題要求：解答下列各題。16.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=2x^3-3x^2+4$，求函數$f(x)$的極值點，并判斷函數的單調性。17.（本小題滿分12分）已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\frac{n^2-1}{n}$，求該數列的前$n$項和$S_n$。18.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數$f(x)$的定義域，并求出函數的導數$f'(x)$。五、解答題要求：解答下列各題。19.（本小題滿分12分）已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求該數列的首項$a_1$和公差$d$。20.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，求實數$f(1)$的值。21.（本小題滿分12分）已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=\frac{2^n}{n!}$，求該數列的前$n$項和$S_n$。六、解答題要求：解答下列各題。22.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x}$，求函數$f(x)$的導數$f'(x)$。23.（本小題滿分12分）已知數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n+1$，若$a_{n+1}-a_n$的最大值為$M$，求$M$的值。24.（本小題滿分12分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求函數$f(x)$的圖像在$[-2,2]$區間內的凹凸性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：函數$f(x)=\lnx+ax^2+1$在$(0,+\infty)$上單調遞增，即$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax>0$對所有$x>0$成立。由于$\frac{1}{x}>0$，所以$2ax>0$，即$a>0$。因此，實數$a$的取值范圍是$(-\frac{1}{2},+\infty)$。2.D解析：由等差數列的性質，$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，$a_7=a_1+6d$。因此，$a_3+a_6+a_9=a_1+2d+a_1+5d+a_1+8d=3a_1+15d$。又因為$a_1+a_4+a_7=3a_1+12d=9$，$a_2+a_5+a_8=3a_1+15d=15$，解得$a_1=1$，$d=1$。所以$a_3+a_6+a_9=3(1)+15(1)=24$。3.C解析：函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$[1,2]$上的最大值和最小值出現在區間端點或導數為0的點。計算$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$。計算$f(1)=2$，$f(2)=2$，所以$M-m=2-2=0$。4.B解析：數列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n-2$，則$a_{n+1}-a_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3$。因此，$a_{n+1}-a_n$的最小值為$3$。5.B解析：函數$f(x)=x^2-2ax+a^2$的圖像關于直線$x=a$對稱，意味著對稱軸$x=a$是函數的極值點。計算$f'(x)=2x-2a$，令$f'(x)=0$得$x=a$。因此，實數$a$的值為$1$。二、填空題6.5解析：由等差數列的性質，$a_5=a_1+4d$。又因為$a_1+a_4+a_7=3a_1+12d=9$，解得$a_1=1$，$d=1$。所以$a_5=1+4(1)=5$。7.$(-\frac{1}{2},+\infty)$解析：同選擇題第1題解析。8.3解析：同選擇題第3題解析。9.3解析：同選擇題第4題解析。10.1解析：同選擇題第5題解析。三、解答題11.24解析：同選擇題第2題解析。12.$(-\frac{1}{2},+\infty)$解析：同選擇題第1題解析。13.0解析：同選擇題第3題解析。14.3解析：同選擇題第4題解析。15.1解析：同選擇題第5題解析。四、解答題16.極值點：$x=1$和$x=2$，單調性：在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上單調遞增，在$(1,2)$上單調遞減。解析：計算$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$。計算$f''(x)=12x-6$，$f''(1)=6>0$，$f''(2)=-6<0$。因此，$x=1$是局部極小值點，$x=2$是局部極大值點。17.$S_n=n^2$解析：由數列的通項公式$a_n=\frac{n^2-1}{n}=n-\frac{1}{n}$，得到$S_n=1+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{3}+\cdots+n+\frac{1}{n}$。通過分組求和，得到$S_n=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}=\frac{n^2}{2}-\frac{1}{2n}+1$。18.定義域：$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$，$f'(x)=\frac{2x^2-4x+4}{(x-2)^2}$解析：函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定義域為所有$x$值，使得分母不為0。因此，$x\neq2$，所以定義域為$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。計算導數$f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x-2)-(x^2-4)(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+4}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}$。五、解答題19.首項$a_1=3$，公差$d=6$解析：由等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到$S_n=\frac{n}{2}(a_1+3n^2+2n)$。由于$S_n=3n^2+2n$，解得$a_1=3$，$d=6$。20.$f(1)=-1$解析：由于$f(x)=x^3-3x^2+2$在$x=1$處取得極值，計算$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=1$。計算$f(1)=1^3-3(1)^2+2=-1$。21.$S_n=2^n$解析：由數列的通項公式$a_n=\frac{2^n}{n!}$，得到$S_n=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}$。通過錯位相減法，得到$S_n-S_n/2=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}-\frac{2^1}{1!}-\frac{2^2}{2!}-\frac{2^3}{3!}-\cdots-\frac{2^n}{n!}=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}-2^n=1$。因此，$S_n=2^n$。六、解答題22.$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$解析：計算$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。23.$M=3$解析：由數列的通項公式$a_n=3n+1$，得到$a_{n+1}-a_n=3(n+1)+1-(3n+