廣東省佛山市南海區2024-2025學年中考數學四模試卷含解析一、選擇題1.已知二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，對稱軸為x=-1，且經過點（0，2）。則下列選項中，正確的是：A.a>0，b<0，c=2B.a>0，b>0，c=2C.a<0，b<0，c=2D.a<0，b>0，c=22.在直角坐標系中，點A（-3，4），點B（3，0），點C（0，-3）構成一個三角形，則該三角形的面積是：A.36B.18C.9D.123.已知正數a，b，c滿足a+b+c=6，則a^2+b^2+c^2的最小值是：A.18B.21C.24D.274.在平面直角坐標系中，拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（2，-3），且與x軸交于點A（1，0）和點B（4，0），則下列方程中正確的是：A.y=ax^2+bx-3B.y=ax^2+bx+3C.y=ax^2-bx-3D.y=ax^2-bx+35.在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AB=6，則BC的長度是：A.2√3B.4√3C.3√3D.2二、填空題6.若二次方程2x^2-3x+1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2的值是______。7.已知等差數列{an}的前三項分別為3，5，7，則該數列的公差是______。8.在△ABC中，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，若AB=AC=1，則BC的長度是______。9.在平面直角坐標系中，點A（1，2），點B（-3，1），則線段AB的中點坐標是______。10.已知函數f(x)=x^2-4x+4，則f(2)的值是______。三、解答題11.（1）若二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，對稱軸為x=-1，且經過點（0，2），求該函數的解析式。（2）已知正數a，b，c滿足a+b+c=6，求a^2+b^2+c^2的最小值，并給出求解過程。12.（1）已知等差數列{an}的前三項分別為3，5，7，求該數列的通項公式。（2）在等差數列{bn}中，b1=2，b3=10，求該數列的公差。13.（1）在△ABC中，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，若AB=AC=1，求BC的長度。（2）在平面直角坐標系中，點A（1，2），點B（-3，1），求線段AB的長度。14.（1）已知函數f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的圖像與x軸的交點坐標。（2）已知函數g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(1)=3，g(2)=7，求該函數的解析式。四、應用題要求：運用所學知識解決實際問題。15.某商品原價為x元，打八折后的價格是y元。已知打八折后的價格比原價低40元，求該商品的原價和打折后的價格。16.小明騎自行車從家到學校需要30分鐘，若以每小時10公里的速度行駛，小明需要多少時間才能到達學校？17.某班級有男生m人，女生n人，男生和女生的比例是3:2，求該班級的總人數。五、解答題要求：運用所學知識解答問題。18.（1）已知正數a，b，c滿足a+b+c=9，求a^3+b^3+c^3的最小值，并給出求解過程。（2）在等差數列{an}中，a1=3，公差d=2，求前10項的和S10。19.（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=5，求AC的長度。（2）已知點A（-1，2），點B（3，-1），求線段AB的中點坐標。20.（1）已知函數f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在區間[1，3]上的最大值和最小值。（2）已知函數g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(-1)=2，g(1)=5，求該函數的解析式。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決綜合問題。21.（1）某商店銷售一批商品，前三天共銷售了200件，第四天銷售了150件，第五天銷售了120件。求這五天平均每天銷售商品的數量。（2）已知等差數列{an}的前三項分別為3，5，7，求該數列的前n項和Sn，其中n為任意正整數。22.（1）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax^2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（2，-3），且與x軸交于點A（1，0）和點B（4，0），求該函數的解析式。（2）已知函數f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的圖像與直線y=2的交點坐標。23.（1）某工廠生產一批產品，每天生產的產品數量是前一天的2倍。已知前5天共生產了320件產品，求該工廠生產這批產品需要的天數。（2）已知函數g(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且g(0)=1，g(2)=5，求該函數的解析式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.a>0，b>0，c=2解析：因為二次函數的圖象開口向上，所以a>0。對稱軸為x=-1，所以b=-2a。又因為圖象經過點（0，2），所以c=2。所以答案是B。2.A.36解析：三角形ABC的面積可以用海倫公式計算，也可以直接用底乘以高除以2。因為∠A=90°，所以BC是直角邊，AC是另一條直角邊，所以面積是(1/2)*AC*BC=(1/2)*1*3=1.5，所以面積是36。3.C.24解析：由柯西不等式(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，得到a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3。因為a+b+c=6，所以a^2+b^2+c^2≥24。4.A.y=ax^2+bx-3解析：因為頂點坐標是（2，-3），所以對稱軸是x=2，即b=-2a。又因為拋物線與x軸交于點A（1，0）和點B（4，0），所以1和4是方程ax^2+bx-3=0的根，根據韋達定理，1+4=-b/a，1*4=-3/a，解得a=1，b=-2，所以答案是A。5.B.4√3解析：因為∠A=90°，∠B=30°，所以∠C=60°。在直角三角形中，對邊長度是斜邊長度的一半乘以根號3，所以BC=AB/2*√3=6/2*√3=3√3，答案是4√3。二、填空題6.3/2解析：根據韋達定理，x1+x2=-b/a，對于方程2x^2-3x+1=0，a=2，b=-3，所以x1+x2=-(-3)/2=3/2。7.2解析：等差數列的公差是相鄰兩項的差，所以公差d=5-3=2。8.√2解析：在等腰直角三角形中，兩條直角邊相等，所以BC=AC=1。9.(-1,1.5)解析：線段AB的中點坐標是兩個端點坐標的平均值，所以中點坐標是((-3+1)/2,(1+2)/2)=(-1,1.5)。10.0解析：將x=2代入函數f(x)=x^2-4x+4，得到f(2)=2^2-4*2+4=0。三、解答題11.（1）y=(x+1)^2-3解析：因為對稱軸是x=-1，所以頂點坐標是(-1,-3)。所以函數的解析式是y=(x+1)^2-3。12.（2）a^2+b^2+c^2的最小值是36解析：因為a+b+c=6，所以(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc。根據柯西不等式，a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3，所以a^2+b^2+c^2≥36。13.（1）等差數列的通項公式是an=a1+(n-1)d，所以an=3+(n-1)*2=2n+1。14.（2）公差d=(b3-b1)/(3-1)=8/2=4。15.（1）AB=AC=1，所以BC=√(AB^2+AC^2)=√(1^2+1^2)=√2。16.（2）線段AB的長度是√((-3-1)^2+(1-2)^2)=√(16+1)=√17。17.（1）f(x)的圖像與x軸的交點坐標是x^2-4x+4=0的解，即(x-2)^2=0，所以交點坐標是(2,0)。18.（2）g(x)的解析式是g(x)=ax^2+bx+c，根據條件g(1)=3，g(2)=7，得到a+b+c=3，4a+2b+c=7，解得a=1，b=2，c=0，所以g(x)=x^2+2x。四、應用題15.商品的原價是100元，打折后的價格是80元。解析：設商品原價為x元，則打折后的價格是0.8x元，根據題意0.8x=x-40，解得x=100。16.小明需要15分鐘才能到達學校。解析：以每小時10公里的速度行駛，30分鐘就是0.5小時，所以行駛的距離是10*0.5=5公里，小明需要行駛5公里到達學校。17.班級總人數是5m。解析：男生和女生的比例是3:2，所以男生人數是3m，女生人數是2m，總人數是3m+2m=5m。五、解答題18.（1）a^3+b^3+c^3的最小值是216解析：因為a+b+c=9，所以(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)。根據柯西不等式，a^3+b^3+c^3≥(a+b+c)^3/3，所以a^3+b^3+c^3≥216。19.（2）前10項的和S10=110解析：等差數列的前n項和公式是Sn=n/2*(a1+an)，所以S10=10/2*(3