2025年高考數學模擬檢測卷（文科專用）——解析幾何與立體幾何綜合試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知點A（1，2）在拋物線y^2=4x上，點B在拋物線上，且AB的斜率為2，則點B的坐標為（）。A.（1，-2）B.（1，2）C.（2，-4）D.（2，4）2.在平面直角坐標系中，點P（2，3）關于直線y=x的對稱點為Q，則直線PQ的方程為（）。A.y=-x+5B.y=x+5C.y=-x-5D.y=x-5二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.已知橢圓的方程為x^2/4+y^2/9=1，則該橢圓的離心率為______。4.在空間直角坐標系中，已知點A（1，2，3），點B（4，5，6），則向量AB的坐標為______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（1）已知直線l：x-y+1=0，直線m：x+y-1=0，求直線l與直線m的交點坐標。（2）已知點P（2，3）在直線l上，直線l的斜率為2，求直線l的方程。6.（1）已知長方體的長、寬、高分別為a、b、c，求長方體的對角線長。（2）已知正方體的對角線長為d，求正方體的體積。四、解答題要求：解答下列各題。7.（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，且BC=6，底邊BC上的高AD=4，求三角形ABC的周長。（2）已知等邊三角形ABC的邊長為a，求三角形ABC的面積。五、解答題要求：解答下列各題。8.（1）在平面直角坐標系中，點P（2，3）為圓O的切點，圓O的半徑為5，求圓心O的坐標。（2）已知圓的方程為x^2+y^2-4x+6y+9=0，求圓的半徑和圓心坐標。六、解答題要求：解答下列各題。9.（1）已知空間直角坐標系中，點A（1，2，3），點B（4，5，6），點C（7，8，9），求向量AB和向量AC的夾角。（2）已知長方體ABCD-A1B1C1D1的棱長分別為a、b、c，求長方體對角線BD1的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.（1，-2）解析：由題意知，點A（1，2）在拋物線y^2=4x上，設點B的坐標為（x，y），則y^2=4x。又因為AB的斜率為2，所以有(y-2)/(x-1)=2，解得y=-2，代入y^2=4x得x=1，所以點B的坐標為（1，-2）。2.C.y=-x-5解析：點P（2，3）關于直線y=x的對稱點Q的坐標為（3，2）。直線PQ的斜率為（2-3）/（3-2）=-1，通過點P（2，3）的直線方程為y-3=-1(x-2)，整理得y=-x+5。二、填空題3.離心率e=√(1-b^2/a^2)=√(1-9/4)=√(1/4)=1/2解析：橢圓的離心率e的計算公式為e=√(1-b^2/a^2)，其中a是橢圓的半長軸，b是橢圓的半短軸。由題意知，a^2=4，b^2=9，代入公式計算得e=1/2。4.向量AB的坐標為（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）解析：向量AB的坐標可以通過終點坐標減去起點坐標得到，即AB=（4-1，5-2，6-3）=（3，3，3）。三、解答題5.（1）直線l與直線m的交點坐標為（-1，0）。解析：將直線l和直線m的方程聯立，得到方程組：x-y+1=0x+y-1=0解得x=-1，y=0，所以交點坐標為（-1，0）。（2）直線l的方程為y=2x-1。解析：已知點P（2，3）在直線l上，直線l的斜率為2，根據點斜式方程y-y1=m(x-x1)，代入點P的坐標和斜率得到直線l的方程為y=2x-1。6.（1）長方體的對角線長為√(a^2+b^2+c^2)。解析：長方體的對角線長可以通過勾股定理計算，即對角線長的平方等于長、寬、高各自平方的和，所以對角線長為√(a^2+b^2+c^2)。（2）正方體的體積為d^3/3。解析：正方體的對角線長d可以通過勾股定理計算，即d=√(a^2+a^2+a^2)=√(3a^2)=a√3。正方體的體積V=a^3，代入對角線長得到V=(d/√3)^3=d^3/3。四、解答題7.（1）三角形ABC的周長為12。解析：由等腰三角形的性質知，AD=BD=3，AC=AB=√(AD^2+CD^2)=√(4+3^2)=√(4+9)=√13。所以三角形ABC的周長為AB+BC+AC=√13+6+√13=2√13+6。（2）三角形ABC的面積為√3a^2/4。解析：等邊三角形的面積公式為S=(√3/4)a^2，代入邊長a得到三角形ABC的面積為√3a^2/4。五、解答題8.（1）圓心O的坐標為（7，-1）。解析：點P（2，3）為圓O的切點，圓O的半徑為5，所以圓心O到點P的距離等于半徑，即OP=5。設圓心O的坐標為（h，k），則有(h-2)^2+(k-3)^2=5^2，解得圓心O的坐標為（7，-1）。（2）圓的半徑為1，圓心坐標為（2，-3）。解析：將圓的方程x^2+y^2-4x+6y+9=0化為標準形式，得到(x-2)^2+(y+3)^2=1，所以圓的半徑為1，圓心坐標為（2，-3）。六、解答題9.（1）向量AB和向量AC的夾角為π/3。解析：向量AB和向量AC的點積為AB·AC=3*3+3*3+3*3=27，向量AB和向量AC的模分別為|AB|=√(3^2+3^2+3^2)=3√3，|AC|=√(3^2+3^2+3^2)=3√3。根據點積公式AB·AC=|AB||AC|cosθ，代入數值解得cosθ=1/2，所以夾角θ=π/3。（2）長方體