2025年考研數學（一）概率與數理統計歷年真題專項模擬卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，則E(X^2)的值為（）A.λB.λ^2C.2λD.2λ^22.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，則P{X>μ+σ}的值為（）A.0.5B.0.3173C.0.6827D.0.5-0.31733.設隨機變量X～B(3,0.5)，則P{X=2}的值為（）A.0.375B.0.3125C.0.25D.0.1254.設隨機變量X～U(0,1)，則P{0.2<X<0.8}的值為（）A.0.6B.0.4C.0.2D.0.85.設隨機變量X～N(0,1)，則P{|X|<1.96}的值為（）A.0.95B.0.975C.0.99D.0.9956.設隨機變量X～P(λ)，則E(X)的值為（）A.1/λB.1C.λD.λ^27.設隨機變量X～E(λ)，則E(X)的值為（）A.1/λB.1C.λD.λ^28.設隨機變量X～χ^2(n)，則P{X>n-1}的值為（）A.0.5B.0.3173C.0.6827D.0.5-0.31739.設隨機變量X～F(n1,n2)，則P{X>1}的值為（）A.0.5B.0.3173C.0.6827D.0.5-0.317310.設隨機變量X～T(n)，則P{|X|<1.96}的值為（）A.0.95B.0.975C.0.99D.0.995二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，則E(X)=______，D(X)=______。2.設隨機變量X～B(n,p)，則E(X)=______，D(X)=______。3.設隨機變量X～P(λ)，則E(X)=______，D(X)=______。4.設隨機變量X～U(a,b)，則E(X)=______，D(X)=______。5.設隨機變量X～N(0,1)，則P{X>1.96}=______。三、解答題（本大題共2小題，共25分）1.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，求P{μ-2σ<X<μ+2σ}。2.設隨機變量X～B(n,p)，求P{X=k}的表達式。四、計算題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）1.設隨機變量X～U(0,2)，求X的分布函數F(x)。2.設隨機變量X～N(0,1)，求P{X^2<1}。3.設隨機變量X～P(λ)，求E(X^3)。五、應用題（本大題共1小題，共15分）1.某批產品的次品率為0.03，現從這批產品中隨機抽取10件，求：（1）恰好有2件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率。六、證明題（本大題共1小題，共15分）1.證明：若隨機變量X～N(μ,σ^2)，則Y=aX+b（a,b為常數）也服從正態分布，并求出Y的期望和方差。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：泊松分布的期望和方差均為λ，因此E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2=λ^2。2.B解析：標準正態分布N(0,1)的累積分布函數值為0.4772，因此P{X>μ+σ}=1-P{X≤μ+σ}=1-0.4772=0.5228。3.A解析：二項分布B(n,p)的概率質量函數為P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，代入n=3,p=0.5,k=2，得P{X=2}=C(3,2)*0.5^2*0.5^(3-2)=3*0.25*0.5=0.375。4.A解析：均勻分布U(a,b)的概率密度函數為f(x)=1/(b-a)，對于0.2<X<0.8，概率為(0.8-0.2)/(1-0)=0.6。5.B解析：標準正態分布N(0,1)的累積分布函數值為0.975，因此P{X>1.96}=1-P{X≤1.96}=1-0.975=0.025。6.A解析：泊松分布的期望和方差均為λ，因此E(X)=λ。7.A解析：指數分布E(λ)的期望和方差均為1/λ，因此E(X)=1/λ。8.B解析：卡方分布χ^2(n)的累積分布函數值為0.5，因此P{X>n-1}=1-P{X≤n-1}=1-0.5=0.5。9.B解析：F分布F(n1,n2)的累積分布函數值為0.5，因此P{X>1}=1-P{X≤1}=1-0.5=0.5。10.B解析：t分布T(n)的累積分布函數值為0.975，因此P{|X|<1.96}=0.975。二、填空題1.μ，σ^2解析：正態分布的期望為μ，方差為σ^2。2.np，np(1-p)解析：二項分布的期望為np，方差為np(1-p)。3.λ，λ解析：泊松分布的期望和方差均為λ。4.(a+b)/2，(b-a)^2/12解析：均勻分布的期望為(a+b)/2，方差為(b-a)^2/12。5.0.025解析：標準正態分布N(0,1)的累積分布函數值為0.975，因此P{X>1.96}=1-0.975=0.025。三、解答題1.解析：根據正態分布的性質，P{μ-2σ<X<μ+2σ}=P{|X-μ|<2σ}=P{X-μ<2σ}-P{X-μ<-2σ}=0.9544-0.0456=0.9088。2.解析：P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中n=3,p=0.5，代入得P{X=k}=C(3,k)*0.5^k*0.5^(3-k)。四、計算題1.解析：X的分布函數F(x)=P{X≤x}=0，當x<0；F(x)=x/2，當0≤x<1；F(x)=1，當x≥1。2.解析：P{X^2<1}=P{-1<X<1}=P{X≤1}-P{X≤-1}=0.8413-0.1587=0.6826。3.解析：E(X^3)=∫x^3*f(x)dx，其中f(x)為X的概率密度函數。五、應用題1.解析：（1）P{X=2}=C(10,2)*0.03^2*0.97^8=0.044。（2）P{至少有1件次品}=1-P{沒有次品}=1