廣東省廣州市天河區2021--2024-2025學年九年級上學期期末考試數學試題（無答案）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），若$\Delta=b^2-4ac=0$，則函數圖像與$x$軸的交點情況是（）。A.兩個不同的交點B.一個交點C.兩個相同的交點D.沒有交點2.在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$B$，則$B$的坐標是（）。A.$(-1,-2)$B.$(-2,-1)$C.$(1,-2)$D.$(2,-1)$3.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_5+a_9=24$，則$a_5$的值為（）。A.6B.8C.10D.124.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為（）。A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$5.已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1+a_2+a_3=27$，$a_4+a_5+a_6=81$，則$q$的值為（）。A.2B.3C.4D.6二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.若等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=10$，則$a_{10}$的值為______。7.在直角坐標系中，點$P(1,2)$關于原點的對稱點為$Q$，則$Q$的坐標為______。8.若等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=3$，$a_3=9$，則$q$的值為______。9.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，則$\cosB$的值為______。10.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像與$x$軸的交點為$(1,0)$和$(3,0)$，則$f(2)$的值為______。三、解答題要求：解答下列各題。11.（1）已知函數$f(x)=2x^2-3x+1$，求$f(-1)$的值。（2）若函數$g(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像與$x$軸的交點為$(1,0)$和$(3,0)$，求$g(2)$的值。12.（1）已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_5=10$，求$a_{10}$的值。（2）已知等比數列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=3$，$a_3=9$，求$q$的值。13.（1）在直角坐標系中，點$P(1,2)$關于直線$x+y=1$的對稱點為$Q$，求$Q$的坐標。（2）在直角坐標系中，點$A(2,3)$關于原點的對稱點為$B$，求$B$的坐標。14.（1）在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，求$\cosB$的值。（2）在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$的值。四、應用題要求：解答下列各題，要求步驟完整，格式規范。15.（1）某商店為促銷，對購買某種商品實行滿100元返10元現金的活動。如果小王同學原計劃花費600元購買這種商品，那么他可以省下多少錢？（2）如果小王同學想要通過這個活動獲得最大的現金返還，他至少需要花費多少錢？16.（1）某工廠生產一批產品，前三天生產了80件，之后每天比前一天多生產20件。求第5天生產的產品數量。（2）如果這個工廠每天生產的產品數量形成一個等差數列，且首項為80，公差為20，求第10天生產的產品數量。五、證明題要求：證明下列各題，證明過程要求嚴謹，步驟清晰。17.證明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，則$\angleC=90^\circ$。18.證明：等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。六、綜合題要求：解答下列綜合題，綜合運用所學知識。19.（1）某城市計劃修建一條從市中心到郊區的地鐵線路。已知市中心到郊區的直線距離為15公里，地鐵線路需要穿過一片森林和一片農田。森林內的地形復雜，不適合修建地鐵，農田內修建地鐵需要占用耕地。如果地鐵線路的寬度為5米，每公里地鐵線路的成本為1000萬元，那么修建這條地鐵線路的總成本是多少？（2）為了減少對農田的占用，設計師提出了一種優化方案：在市中心修建一個地鐵換乘站，然后在換乘站附近修建一條地下隧道，最后再修建一條地鐵線路連接到郊區。已知地下隧道的長度為10公里，每公里地鐵線路的成本為1500萬元，其他成本保持不變。請計算優化方案的總成本，并與原來的方案進行比較，說明哪種方案更經濟。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：當$\Delta=b^2-4ac=0$時，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有兩個相等的實數根，即函數圖像與$x$軸有一個交點。2.A解析：點$A(2,3)$關于直線$x+y=1$的對稱點$B$的坐標可以通過以下步驟求得：-首先，找到直線$x+y=1$的斜率，即$-1$。-然后，找到直線$x+y=1$的法線斜率，即$1$。-接著，通過點$A$和法線斜率寫出法線方程：$y-3=1(x-2)$，即$y=x+1$。-找到法線與直線$x+y=1$的交點$M$，解方程組$\begin{cases}x+y=1\\y=x+1\end{cases}$，得$M(0,1)$。-最后，通過點$A$和點$M$找到對稱點$B$，由于$A$和$B$關于$M$對稱，所以$B$的坐標為$(-1,-2)$。3.B解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_5=a_1+4d$。由$a_1+a_5+a_9=24$得$2a_1+8d=24$，解得$a_5=8$。4.A解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\cosA=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{3}{5}$。5.A解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，所以$a_3=a_1q^2$。由$a_1+a_2+a_3=27$得$a_1(1+q+q^2)=27$，由$a_4+a_5+a_6=81$得$a_1q^3(1+q+q^2)=81$。將兩個等式相除，得$q=2$。二、填空題6.18解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_{10}=2+9d$。由$a_5=10$得$2+4d=10$，解得$d=2$，代入得$a_{10}=2+9\times2=18$。7.(-1,-2)解析：點$P(1,2)$關于原點的對稱點$Q$的坐標為$(-1,-2)$，因為對稱點的橫坐標和縱坐標都是原點坐標的相反數。8.3解析：由等比數列的通項公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得$a_3=a_1q^2$。由$a_1=3$，$a_3=9$得$q^2=3$，解得$q=3$。9.$\frac{3}{5}$解析：由余弦定理，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。代入$a=5$，$b=7$，$c=8$，得$\cosB=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\times5\times8}=\frac{3}{5}$。10.8解析：由一元二次方程的根與系數的關系，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。已知$x_1=1$，$x_2=3$，所以$a+b+c=0$。代入$f(2)$得$f(2)=4a+2b+c=8$。三、解答題11.（1）$f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+1=2+3+1=6$解析：直接代入$x=-1$到函數$f(x)=2x^2-3x+1$中計算。12.（2）$q=3$解析：由等比數列的通項公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得$a_3=a_1q^2$。由$a_1=3$，$a_3=9$得$q^2=3$，解得$q=3$。13.（1）$Q(-1,-2)$解析：點$P(1,2)$關于直線$x+y=1$的對稱點$Q$的坐標可以通過以下步驟求得：-找到直線$x+y=1$的斜率，即$-1$。-找到直線$x+y=1$的法線斜率，即$1$。-通過點$P$和法線斜率寫出法線方程：$y-2=1(x-1)$，即$y=x+1$。-找到法線與直線$x+y=1$的交點$M$，解方程組$\begin{cases}x+y=1\\y=x+1\end{cases}$，得$M(0,1)$。-通過點$P$和點$M$找到對稱點$Q$，由于$P$和$Q$關于$M$對稱，所以$Q$的坐標為$(-1,-2)$。14.（1）$\cosA=\frac{4}{5}$解析：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$。代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\cosA=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{4}{5}$。四、應用題15.（1）小王可以省下$60$元。解析：小王原計劃花費$600$元，每滿$100$元返$10$元，所以可以省下$600\div100\times10=60$元。16.（1）第$5$天生產的產品數量為$120$件。解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_5=80+(5-1)\times20=120$。五、證明題17.證明：在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，則$\angleC=90^\circ$。解析：由勾股定理的逆定理，若$a^2+b^2=c^2$，則$\angleC=90^\circ$。18.證明：等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。解析：由等差數列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)$。將$S_n$乘以$2$，得$2S_n=2a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)$。將$2S_n$與$S_n$相減，得$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。六、綜合題19.（1）修建地鐵線路的總成本為$1.5$億元。解析：地鐵線路的長度為$15$公里，每公里成本為$1000$萬元，所以總成本為$15\times1000=15000$