2025年日本數學奧林匹克（JMO）代數方程與幾何變換競賽模擬試題精講一、代數方程1.已知實數a、b、c滿足條件a+b+c=3，且abc=1。求證：方程x^3-3x^2+(a+b+c)x-abc=0有三個實數根。2.已知函數f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）。若f(x)在區間[-1,2]上單調遞增，且f(0)=2，f(1)=3，求a、b、c的值。二、幾何變換1.在平面直角坐標系中，點A（1，1），B（2，3），C（4，2）。求以A、B、C為頂點的三角形的外心坐標。2.已知平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（1，2），點B（3，4）。求點A關于直線OB的對稱點C的坐標。三、解析幾何1.在平面直角坐標系中，點A（2，3），點B（4，5）。求直線AB的方程。2.已知橢圓的方程為x^2/4+y^2/9=1，求橢圓的焦距。四、函數與不等式1.已知函數f(x)=2x^3-3x^2+4x+1。求函數f(x)的極值點。2.解不等式組：{x-2y>1,3x+4y≤12}。3.已知函數g(x)=|x-1|+|x+2|。求函數g(x)的最小值。五、數列與組合1.在等差數列{an}中，已知a1=2，公差d=3。求第10項an的值。2.從5個不同的球中取出3個球，求取出的球的不同組合數。3.有4名男生和5名女生參加一個籃球比賽，要求每隊有3名男生和2名女生，求可以組成的球隊數。六、概率與統計1.拋擲一枚公平的六面骰子兩次，求兩次拋擲結果之和為7的概率。2.一個班級有30名學生，其中有18名學生喜歡數學，12名學生喜歡物理，6名學生兩者都喜歡。求這個班級中至少喜歡一門學科的學生數。本次試卷答案如下：一、代數方程1.解析思路：首先，將方程x^3-3x^2+(a+b+c)x-abc=0簡化為x^3-3x^2+3x-1=0。由于a+b+c=3，且abc=1，可以驗證這個方程可以分解為(x-1)^3=0，因此有三個實數根x=1。2.解析思路：由于f(x)在區間[-1,2]上單調遞增，可以推斷出對稱軸x=-b/(2a)不在區間[-1,2]內，因此a>0。由f(0)=2和f(1)=3，可以建立方程組：a*0^2+b*0+c=2a*1^2+b*1+c=3解得a=1，b=0，c=2。二、幾何變換1.解析思路：首先，求出三角形ABC的中點D、E、F，然后求出垂直于BC的直線，找到與AC、AB的交點G、H，G和H即為外心的坐標。2.解析思路：直線OB的斜率為4/3，因此其垂直平分線的斜率為-3/4。利用點A和斜率求出垂直平分線的方程，然后求出與OB的交點C。三、解析幾何1.解析思路：直線AB的斜率為(5-3)/(4-2)=1，利用點斜式方程求出直線AB的方程為y-3=1(x-2)，即y=x+1。2.解析思路：橢圓的焦距可以通過計算焦距公式2c=2√(a^2-b^2)得到，其中a是橢圓的半長軸，b是半短軸。由橢圓方程x^2/4+y^2/9=1，得到a^2=4，b^2=9，因此焦距為2√(4-9)=2√(-5)，由于焦距不能為負數，這里可能存在錯誤，應該是2√(9-4)=2√5。四、函數與不等式1.解析思路：求函數f(x)的導數f'(x)=6x^2-6x+4，令f'(x)=0求解x，得到x=1/3。檢驗x=1/3是否為極值點，發現f''(1/3)=6>0，因此x=1/3是極小值點。2.解析思路：將不等式組轉化為線性規劃問題，畫出不等式的可行域，找到可行域內的角點，計算每個角點處的目標函數值，找到最大值和最小值。3.解析思路：由于|x-1|和|x+2|都是絕對值函數，需要分別討論x的取值范圍。當x≤-2時，g(x)=-(x-1)-(x+2)；當-2<x<1時，g(x)=-(x-1)+(x+2)；當x≥1時，g(x)=(x-1)+(x+2)。在每個區間內分別求g(x)的最小值。五、數列與組合1.解析思路：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2和d=3，得到an=2+3(n-1)。2.解析思路：從5個不同的球中取出3個的組合數為C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)。3.解析思路：每隊有3名男生和2名女生的組合數為C(4,3)*C(5,2)。六、概率與統計1.解析思路：拋擲兩次骰子，第一次拋擲有6種可能，第二次拋擲也有6種可能，總共有6*6=36種可能的結果。滿足兩次拋擲結果之和為7的組合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、