成人高考數學（文）真題再現：2025全真模擬卷（數列與等差數列考點解析）一、選擇題1.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，則數列{an}的通項公式為：A.an=nB.an=n^2C.an=n(n+1)/2D.an=n(n-1)/22.在等差數列{an}中，若公差d=2，且a1+a5=20，則該數列的前10項和S10為：A.100B.110C.120D.130二、填空題3.在等差數列{an}中，若a1=3，公差d=2，則第n項an=______。4.數列{an}的前n項和為Sn，若an=2n-1，則S10=______。三、解答題5.（1）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求證：數列{an}為等差數列，并求出公差d。（2）在等差數列{an}中，若a1=1，公差d=3，求證：數列{an}的前n項和S10為等差數列，并求出公差。6.（1）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an=Sn-Sn-1，若a1=1，求出數列{an}的前10項。（2）在等差數列{an}中，若a1=1，公差d=2，求出數列{an}的前10項。四、應用題要求：根據以下條件，解決實際問題。7.已知某等差數列的前5項和為35，第3項和第5項的和為20，求該數列的通項公式。8.某公司計劃每年投資于研發，第一年投資額為10萬元，以后每年比上一年增加5%，求10年內公司累計投資總額。五、證明題要求：證明以下等式或性質。9.證明等差數列{an}的任意兩項之差等于首項與末項之差除以項數減1。10.證明對于任意等差數列{an}，其前n項和S_n可以表示為S_n=n/2*(a1+an)，其中a1為首項，an為第n項。六、綜合題要求：綜合運用數列相關知識解決以下問題。11.某商店銷售某種商品，每件商品的進價為20元，售價為30元。已知銷售數量與售價之間的關系為：銷售數量y與售價x的平方成反比，且當售價為25元時，銷售數量為50件。求該商品的銷售數量與售價之間的函數關系，并求出該商品在售價為40元時的銷售數量。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.an=n(n-1)/2解析：由題意知an=Sn-Sn-1，代入a1=1，得a1=S1-S0，因為S0=0，所以a1=1。對于n≥2，有an=Sn-Sn-1=(S1+(n-1)d)-S1=(n-1)d，其中d為公差。因此，數列{an}的通項公式為an=n(n-1)/2。2.A.100解析：由等差數列的性質，a1+a5=a1+(a1+4d)，其中d為公差。代入a1+a5=20，得2a1+4d=20，解得a1=3，d=2。前10項和S10=10/2*(2a1+9d)=5*(6+18)=100。二、填空題3.an=2n+1解析：由等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得an=3+(n-1)*2=2n+1。4.S10=55解析：由數列的前n項和公式Sn=n/2*(a1+an)，代入an=2n-1，得Sn=n/2*(a1+2n-1)。代入n=10，得S10=10/2*(3+19)=55。三、解答題5.（1）證明：由題意知an=Sn-Sn-1，代入a1=1，得a1=S1-S0，因為S0=0，所以a1=1。對于n≥2，有an=Sn-Sn-1=(S1+(n-1)d)-S1=(n-1)d，其中d為公差。因此，數列{an}的通項公式為an=n(n-1)/2，滿足等差數列的定義，所以數列{an}為等差數列，公差d=1。（2）證明：由等差數列的性質，a1+a5=a1+(a1+4d)，其中d為公差。代入a1+a5=20，得2a1+4d=20，解得a1=3，d=2。前n項和S10=10/2*(2a1+9d)=5*(6+18)=100。因為S10是等差數列，所以公差d=100/9。6.（1）an=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10解析：由題意知an=Sn-Sn-1，代入a1=1，得a1=S1-S0，因為S0=0，所以a1=1。對于n≥2，有an=Sn-Sn-1=(S1+(n-1)d)-S1=(n-1)d，其中d為公差。因此，數列{an}的前10項為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。（2）an=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19解析：由等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，得an=1+(n-1)*2=2n-1。因此，數列{an}的前10項為1,3,5,7,9,11,13,15,17,19。四、應用題7.an=7n-6解析：由等差數列的性質，a1+a5=a1+(a1+4d)，其中d為公差。代入a1+a5=20，得2a1+4d=20，解得a1=3，d=2。前5項和S5=5/2*(2a1+4d)=5/2*(6+8)=25。由等差數列的前n項和公式S5=5/2*(2a1+4d)，解得a1=7，d=1。因此，數列{an}的通項公式為an=7n-6。8.累計投資總額=10*(1+1.05+1.05^2+...+1.05^9)解析：由題意知每年投資額比上一年增加5%，即每年投資額構成一個公比為1.05的等比數列。利用等比數列的前n項和公式S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=10，q=1.05，n=10，得累計投資總額=10*(1+1.05+1.05^2+...+1.05^9)。五、證明題9.證明：由等差數列的性質，an=a1+(n-1)d，其中d為公差。則an-an-1=(a1+(n-1)d)-(a1+(n-2)d)=d。因此，等差數列{an}的任意兩項之差等于首項與末項之差除以項數減1。10.證明：由等差數列的性質，an=a1+(n-1)d，其中d為公差。則S_n=n/2*(a1+an)=n/2*(a1+a1+(n-1)d)=n/2*(2a1+(n-1)d)。因此，等差數列{an}的前n項和S_n可以表示為S_n=n/2*(a1+an)。六、綜合題11.函數關系y=1200/x，銷售數量