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福建省福州市師范大學(xué)附中2020屆高三上學(xué)期期中試題理(數(shù)學(xué)解析版)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。A.(0,1)遞增,(1,+∞)遞減B.(0,1)遞減,(1,+∞)遞增C.(0,1)和(1,+∞)都遞增D.(0,1)和(1,+∞)都遞減2.若等差數(shù)列{an}的公差為d,且滿足a1+a2+a3=12,a4+a5+a6=24,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:A.an=3nB.an=4n-2C.an=6nD.an=8n-43.設(shè)向量a=(1,2),向量b=(2,-1),求向量a與向量b的夾角余弦值。A.0B.1/2C.1D.-1/24.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S1=1,S2=3,S3=7,求a4的值。A.5B.6C.7D.85.若函數(shù)g(x)=(x-1)^2-4x+3在區(qū)間[0,2]上的最大值為2,則g(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最大值為:A.2B.4C.6D.8二、填空題6.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(3,0),則該函數(shù)的對(duì)稱軸方程為______。7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S1=1,S2=4,S3=9,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______。8.若向量a=(2,3),向量b=(1,-2),則向量a與向量b的夾角余弦值為______。9.已知函數(shù)g(x)=(x-1)^2-4x+3在區(qū)間[0,2]上的最大值為2,則g(x)在區(qū)間(-∞,0)上的最大值為______。10.若等差數(shù)列{an}的公差為d,且滿足a1+a2+a3=12,a4+a5+a6=24,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為______。三、解答題11.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S1=1,S2=4,S3=9,求a4的值。四、解答題13.設(shè)向量a=(3,4),向量b=(2,-1),求向量a與向量b的模長(zhǎng)及向量a與向量b的點(diǎn)積。14.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且滿足a1=2,a3=16,求該數(shù)列的公比及前10項(xiàng)和。五、解答題15.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2,求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),并找出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。16.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=n^2+n,求an的表達(dá)式,并證明該數(shù)列是等差數(shù)列。六、解答題17.已知函數(shù)g(x)=x^2-4x+3,求函數(shù)g(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。18.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,且滿足a1=5,a10=45,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式及前100項(xiàng)和。本次試卷答案如下:一、選擇題1.答案:A解析:求導(dǎo)數(shù)f'(x)=lnx+(x-1)/x,令f'(x)=0,得x=1。當(dāng)x<1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0。因此,f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增。2.答案:C解析:由a1+a2+a3=12,得a1+(a1+d)+(a1+2d)=12,解得a1=2,d=2。因此,an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=6n。3.答案:B解析:向量a與向量b的夾角余弦值為cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(2*1+3*(-2))/(√(2^2+3^2)*√(2^2+(-1)^2))=-1/2。4.答案:A解析:由S1=1,S2=3,S3=7,得a2=S2-S1=2,a3=S3-S2=4,a4=S4-S3=7,因此a4=7。5.答案:C解析:函數(shù)g(x)=(x-1)^2-4x+3在區(qū)間[0,2]上的最大值為2,所以x=1時(shí)取得最大值。由于g(x)是二次函數(shù),開口向上,因此在(-∞,0)區(qū)間上,g(x)的最大值為g(0)=(0-1)^2-4*0+3=4。二、填空題6.答案:x=2解析:對(duì)稱軸方程為x=-b/2a,對(duì)于函數(shù)f(x)=x^2-4x+3,有a=1,b=-4,所以對(duì)稱軸方程為x=2。7.答案:an=3n^2解析:由S1=1,S2=4,S3=9,得a2=S2-S1=3,a3=S3-S2=5,a4=S4-S3=7,因此an=3n^2。8.答案:-1/2解析:同第三題解析,向量a與向量b的夾角余弦值為-1/2。9.答案:4解析:同第五題解析,函數(shù)g(x)在(-∞,0)區(qū)間的最大值為4。10.答案:an=6n解析:同第二題解析,an=6n。三、解答題11.答案:f(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增。解析:同第一題解析。12.答案:a4=7解析:同第四題解析。四、解答題13.答案:|a|=5,|b|=√5,a·b=-5解析:|a|=√(3^2+4^2)=5,|b|=√(2^2+(-1)^2)=√5,a·b=3*2+4*(-1)=-5。14.答案:公比q=4,前10項(xiàng)和S10=1024解析:由a1=2,a3=16,得a1*q^2=16,解得q=4。前10項(xiàng)和S10=a1*(1-q^n)/(1-q)=2*(1-4^10)/(1-4)=1024。15.答案:f'(x)=3x^2-3,極值點(diǎn)為x=1解析:求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-3,令f'(x)=0,得x=1。f''(x)=6x,f''(1)=6>0,所以x=1是極小值點(diǎn)。16.答案:an=n+1,證明過程略解析:由Sn=n^2+n,得a1=S1=2,an=Sn-Sn-1=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n,即an=n+1。五、解答題17.答案:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(3,0)解析:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))=(2,f(2))=(2,-1)。與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為解方程x^2-4x+3=0,得x=1或x=3。18.答案:an=5+4(n-1),前100項(xiàng)和S
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