第二十八章銳角三角函數復習【知識梳理】——2024-2025學年人教版數學九年級下冊單元綜合復習一、選擇題要求：從每題給出的四個選項中，選出正確的一個。1.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，若AC=4，則BC的長度為：A.2√3B.4√3C.2D.42.在銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，c=2√3，則sinA的值為：A.√3/2B.1/2C.√3/4D.1/√3二、填空題要求：將正確答案填入空格內。3.在直角三角形中，若∠A=45°，∠B=90°，則∠C的度數為_______。4.若直角三角形兩直角邊的比值為2：3，則斜邊與較長的直角邊的比值為_______。5.在銳角三角形ABC中，若sinA=3/5，sinB=4/5，則cosC的值為_______。三、解答題要求：請寫出解答過程。6.在銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a=4，b=5，c=7，求sinA、cosB、tanC的值。7.已知直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=5，BC=12，求斜邊AB的長度及∠A的度數。8.在銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求sinA、cosB、tanC的值。9.在直角三角形ABC中，∠B=90°，若∠A的度數增加10°，則∠C的度數減少多少度？10.在銳角三角形ABC中，若sinA=√3/2，sinB=1/2，求cosA、cosB、tanC的值。四、解答題要求：請寫出解答過程，解答中需用到三角函數公式和性質。11.在銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，求sinB、cosC、tanA的值。12.若直角三角形兩直角邊的比為3：4，斜邊長為5，求sinA、cosB、tanC的值。五、證明題要求：證明下列等式成立。13.證明：在任意直角三角形中，若∠A的度數為α，則cosA=√(1-sin2α)。六、應用題要求：根據題意，運用所學知識解決問題。14.在一個直角三角形中，若一個銳角的度數為45°，另一個銳角的度數為45°，求這個直角三角形的面積。15.在一個直角三角形中，斜邊長度為10，若一個銳角的度數為30°，求該銳角的對邊長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：D解析：在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，所以BC=2AC=2*4=8。2.答案：B解析：根據正弦定理，sinA/a=sinB/b，因此sinA=(a*sinB)/b=(2*4/5)=1/2。二、填空題3.答案：45°解析：直角三角形的兩個銳角相加等于90°，所以∠C=90°-∠A=90°-45°=45°。4.答案：5：4解析：根據勾股定理，斜邊c=√(a2+b2)，所以c/a=√(1+32/22)=√(1+9/4)=√(13/4)，因此斜邊與較長的直角邊的比為√(13/4)：3。5.答案：1/5解析：在銳角三角形中，sinC=sin(180°-A-B)=sin(A+B)，根據和角公式sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB，將已知的sinA和sinB代入，得到sinC=(3/5)*(4/5)+(4/5)*(3/5)=12/25，所以cosC=√(1-sin2C)=√(1-(12/25)2)=1/5。三、解答題6.答案：sinA=4/5，cosB=3/5，tanC=4/3解析：根據勾股定理，c2=a2+b2，所以c=√(42+52)=√(16+25)=√41，因此sinA=a/c=4/√41，cosB=b/c=5/√41，tanC=c/b=√41/5。7.答案：AB=13，∠A=26.57°解析：斜邊AB的長度根據勾股定理計算，AB=√(AC2+BC2)=√(52+122)=√(25+144)=√169=13。∠A的度數可以通過反正切函數計算，∠A=arctan(BC/AC)=arctan(12/5)≈26.57°。8.答案：sinA=3/5，cosB=4/5，tanC=5/3解析：由于a2+b2=c2，c=√(a2+b2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5，所以sinA=a/c=3/5，cosB=b/c=4/5，tanC=c/b=5/3。9.答案：∠C減少10°解析：由于直角三角形的兩個銳角互余，即∠A+∠B=90°，若∠A增加10°，則∠B減少10°，所以∠C也減少10°。10.答案：cosA=√3/2，cosB=√3/2，tanC=1解析：由于sinA=√3/2，對應的角度是60°，所以cosA=√(1-sin2A)=√(1-(√3/2)2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2，同理cosB=1/2。由于sinB=1/2，對應的角度是30°，所以tanC=1。四、解答題11.答案：sinB=4/5，cosC=3/5，tanA=3/4解析：由于a2+b2=c2，c=√(a2+b2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5，所以sinB=b/c=4/5，cosC=c/a=5/3，tanA=a/b=3/4。12.答案：sinA=3/5，cosB=4/5，tanC=3/4解析：斜邊c=√(a2+b2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5，所以sinA=a/c=3/5，cosB=b/c=4/5，tanC=c/b=5/4。五、證明題13.答案：證明如下解析：cosA=鄰邊/斜邊，sinA=對邊/斜邊，所以cos2A+sin2A=(鄰邊/斜邊)2+(對邊/斜邊)2=1，即cos2A=1-sin2A，所以cosA=√(1-sin2A)。六、應用題14.答案：面積=1/2解析：由于兩個銳角都是45°，所以三角