第7章三角函數【過知識】（課件）高一數學單元復習（滬教版2020必修第二冊）-課件下載一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選出正確的一個。1.已知函數\(y=\sinx\)在區間\([0,\pi]\)上的圖象如下，則\(\sin\frac{\pi}{6}\)的值是（）A.0.5B.0.866C.0.25D.12.在直角坐標系中，點\(P(0,-2)\)關于直線\(y=x\)的對稱點\(Q\)的坐標是（）A.(0,2)B.(2,0)C.(-2,0)D.(0,-2)3.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，則\(\tan\alpha\)的值是（）A.1B.-1C.0D.不存在4.若\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，則\(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha\)的值是（）A.2B.1C.0D.不存在二、填空題要求：請將正確答案填寫在題中的橫線上。5.若\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\sin\alpha\)的值是_______。6.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\cos\alpha\)的值是_______。三、解答題要求：請解答下列各題。7.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)的終邊在第二象限，求\(\cos\alpha\)、\(\sin\alpha\)、\(\tan\alpha\)的值。四、證明題要求：證明下列等式成立。8.證明：\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)。五、計算題要求：計算下列各題。9.計算下列三角函數的值：a.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)的終邊在第一象限，求\(\cos\alpha\)、\(\tan\alpha\)的值。b.若\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)的終邊在第三象限，求\(\sin\alpha\)、\(\tan\alpha\)的值。六、應用題要求：解決下列實際問題。10.一根繩子長10米，將其一端固定在地面上的一個點，另一端繞過固定在地面上的一個光滑的圓環，繩子在圓環上的長度為6米。求繩子與地面所成的角度（用弧度表示）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：在\([0,\pi]\)區間內，\(\sin\frac{\pi}{6}\)的值為正弦函數在該區間的\(\frac{\pi}{6}\)處的函數值，根據正弦函數的性質，\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)。2.B解析：點\(P(0,-2)\)關于直線\(y=x\)的對稱點\(Q\)的坐標可以通過交換\(P\)點的橫縱坐標得到，即\(Q(2,0)\)。3.A解析：由\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)可得\(\sin\alpha=\sqrt{2}-\cos\alpha\)。因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，代入得\((\sqrt{2}-\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\)，解得\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，因此\(\tan\alpha=1\)。4.B解析：由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)和\(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha=\tan^2\alpha+\frac{1}{\tan^2\alpha}\)可得\(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha=\tan^2\alpha+\frac{1}{\tan^2\alpha}=1+2=3\)，因此\(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha=3\)。二、填空題5.\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)解析：由\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)和\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)可得\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)，所以\(\sin\alpha=\pm\frac{1}{2}\)。由于\(\alpha\)的終邊在第二象限，\(\sin\alpha\)為正，因此\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)。6.\(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}\)解析：由\(\tan\alpha=2\)可得\(\sin\alpha=2\cos\alpha\)。因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，代入得\((2\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\)，解得\(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}\)。三、解答題7.解：已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)的終邊在第二象限，所以\(\cos\alpha\)為負。由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)可得\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因為\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)。四、證明題8.證明：由三角函數的定義，\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，\(\cos\alpha=\frac{x}{r}\)，其中\((x,y)\)是單位圓上對應于角度\(\alpha\)的點的坐標，\(r\)是半徑。因為\((x,y)\)在單位圓上，所以\(x^2+y^2=r^2\)。代入\(\sin\alpha\)和\(\cos\alpha\)的定義，得\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2=\frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}=\frac{x^2+y^2}{r^2}=\frac{r^2}{r^2}=1\)。五、計算題9.解：a.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)的終邊在第一象限，所以\(\cos\alpha\)為正。由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)可得\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，所以\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。因為\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\)。b.已知\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)的終邊在第三象限，所以\(\sin\alpha\)為負。由\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)可得\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}\)，所以\(\sin\alpha=-\frac{3}{5}\)。因為\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{-\frac{3}{