高中數學：定比點差法的應用

定比點差法原理

定比分點：若石7-M而.則稱點“為.43的入定比分點，若45.必）.86，4）則”」上上a

1+/1+X

若AM=xJSllZv=ANB.則稱M.V調和分割4A根據定義，那么A.B也調和分割,MN.

定理:在橢圓或雙曲線中，設43為桶圓或雙曲線上的兩點。若存在E。兩點，滿足.4產APB,AQ=AQB,

一定有三R-

ao

萬，麗則"上公"上空

證明：若陽.?).B(x,,y),

21+x1+A

4Al①

后加則。：（爺打鈴

有①一@得:

三誓出②

（X[+疝0）（』一/■”）+加一生?

?=1-萬即

b'

1X[+*]-后11必+如2Ji-辦hXpX。Vpy_,

f?——r2---:~:~±聲士下~p-1

1+A1-x

定比點差的原理謎整解開，就是兩個互相調和的定比分點坐標滿足有心曲線（橢圓和雙曲線有對稱中心,

故稱為有心曲線）的特征方程：空±上孕=1

"2b-

適用范圍分析

第一求弦長被坐標軸分界的兩段的比值范圍，這個最好情

【例"知橢吟+?.過定點心）的長線與橢圓―3E.合），求普螂期皿

刀

解：設/日.％15（毛,豆）,AP=APB則=5：一尸:但里31巫=(O.3>

PB1+41+4

4+左=1

94

.x,+AX=0+Av,=3(l+2)Kp

2笈+於=矛

94

??屋)得：工^I'二’+,1?-2X.1?2)=1—元即l'i———(1—A)

.?.必=；(1+4)+；(1-4)=5+釬?[-2,2]PA

?5

PB

注意：根據兩個調和定比分點的聯立，將坐標求出與比值的關系式。兩個分點式子齊上場才能解決問題,

這是定比點差法的核心。

2,2

【例2】己知橢網。:三+工亍=1（。>6>0）的上卜.兩個焦點分別為B、B，過點B與y軸垂直的直線交橢

a2b2

圓。于MN兩點，△小的面枳為石，橢圓。的離心率為日

（I）求橢圓C的標準方程；

（2）己知。為坐標原點，直線￡:y=Ax+m與/軸交「點尸，與橢圓。交「48兩個不同的點，若存在

實數2，使得豆+乂3=43，求加的取值范圍.

解：(I)x2+--=1.(n)當〃7=0時，A=—1,顯然成立；當〃700時,

4

....I.A.

OA+AOB=4OPOP=-OA+-OB,???4P,3三點共線,「?4=3；

44

4尸=3尸8.設4（不，必），8（々，%），

、片1

x：+—=1①

.{X.+3,X,y3y4

p1+2.,工必+3y2=4m

14-31+3

9x；+=9②

4

(乂+3%)(”-3%)=

①一②得：(％+3.x,)(.^-3X)+即

24

.8

乂-3.乃=一一

m

242

如圖，由于3更加靠近橢圓邊界，故取其作為參照點，.-.y=—H1+——€(—2,2)DI4—E(—3,3)解

233ni

得〃7E（—2,—DU（L2）綜上，7〃的取值范圍為（一2,-DU（L2）U{0}.

第二求證定比分店和調和分點的坐標乘積滿足橢圓和雙曲線的特征方程，這個在2008年安徽高考題出

現了，并且這些年在不斷重復。也是定比點差法的本質探究。

22

【例3】（2008安徽）設橢圓C:1"+==1,過點河（VL1）,左焦點為石（-、5,0）.

a2b1

（1）求橢圓。的方程.

（2）'與過點尸（4,1）的仃“線/9橢網C相交「48.在:線段上取點0滿足網網=園?網.證明：點0

在某定直線匕

X2V2

解：（1）—+^-=1.

42

再+疝2i再一疝2-

⑵￡=

AQ故令NP=ZP3AQ=-A.QB.故，1+41一4

PBQBH+生2一

.1+2-1—2=為

端-1

22

xy42

由于45在橢圓一十二一=1上,故4

42

42

^得.(再一疝2既+生)?伍-儀Vi+"2)_]即板+包=i即2x+”2=0

4(1-2X1+A)2(l-ZXl+2)42"

第三坐標軸為角平分線的題型，如2018年高考全國一卷

ADDF）

三角形的內角平分線定理：在△48C中，若3是4的平分線，則有絲="

ACDC

證明;作。EJ.4B交48于E,Z>F_L/C交4C于產，設3c邊上的高為九

易處DE=DF,2=AB.DE=X=處=嗎

SACDACDFDChACDC

22

定理：已知43交橢圓三+二=1（。>6>0）長軸（短軸）于點尸，氏,是橢

ab-

圓上關于長軸（短軸）對稱的兩點,直線W交長軸（短軸）『0，則

或

b2

2

【例4】（2018?全國卷I）設橢圓C:二+/=1的右焦點為尸，過F的《線/

2,

與C交A,B兩點，點M的坐標為（2.0）.

（1）當I與x軸垂直時，求直線AM的方程:

（2）設。為坐標原點，證明：2OMA=NOMB.

解：（1）由已知得F（l,0）,/的方程為x=l.由已知可得

點4的坐標為（1,注）或（1,_

所以AM的方程為v=—走X+正或v=^x-VL

'22

（2）當/與工軸重合時，/。3=/。〃8=0。.當/與工軸垂直時，0M為

4s的垂直平分線，所以NOM4=NOMB.當/與無軸不重合也不垂直時，設

4（不，乂），8區，為），點、B關于x軸對稱的點3'（工2,-^2）根據幾何性質可

得：令ON為乙4NB的角平分線，與x軸交點為鳥，下面通過證明N

與朋■重合來證明NOM1=NOM3,根據角平分線定理有：坐二處=空,

1

F2BNBNB

令款=2而，則式廣+生,o]則.麗=Tl@o工a=1,如圖

\1+21-2

A"』①得：&+襖）（?一"2）

+（乂+把）（乂一。）=1-猶

2

^L+A2y-=A2②

即1.玉+網.％一應?0JT%_]=X/N

=lnN（2.0）

21+%1—A,1-22

即N與Af重合，所以NOA4t4=NQWB.綜上，Z.OMA=Z.OMB.

相交弦問題的定點定值，在2018年高考北京卷，特點是兩弦的交點通常在坐標軸上，若43過定點（一般

在兩調和分點的中點），則CD的斜率與AB比值為定值.

定比點差轉換定理：

在橢圓或雙曲線中，設為橢圓或雙曲線上的兩點。若存在尸，0兩點，滿足方=2麗，~AQ=-AQB,

x

~gzl

22（重點中的重點！！！）

若A(x1,%),5(勺.v2)一定有

xp4-x^Xp

X2=

222

XX

x,+AX2_P-Q.

XP+--------A

XPXQypyQl+AXj+AX2=xp(1+2)2

證明:+=1n<=><—y<

22X]-AX=XQ(1+2)

ab再-&2_2Xp-xQ

.1-A222~

【例5】（2018?北京文）已知橢網“：三+4=1（。＞6＞0）的離心率為逅，焦距為2亞.斜率為A■的百

a2b13

線/與橢網M有兩個不同的交點4、B.

（1）求橢圓”的方程；

（2）若k=1,求|43|的最大值：

（3）設尸（-2,0）,直線E4與橢閱A/的另?個交點為C，直線尸8與橢圓”的另?個交點為D若C,D

和點。（-wq）共線,求上

解：(1)由題意得2c=2,所以c=J^,又6=￡=，^,所以a=,所以/>'=a，—c-=1,

a3

X"2e

所以橢圓&f的標準方程為一+F=1.

3,

y=x+ni

（2）設直線AB的方程為,y=x+"/,由＜,消去y可得4x2+6nix+3nr-3=0,

+廣=1

3

則4=36〃/一4x4(3〃/-3)=48-12/〃2>0,即"/<4,設4(玉,必)，5(x2,y2),則玉+々二一三

2

XjX,=°”[一^,8'||AB|=yjl+k1Xj-x2|=J+F?&1+.4)2_4中2=

易得當〃『=0時，|4B|3x=指，故|4B|的最大值為幾.

⑴設/即必)，5(x2,.y2),C(x3,y3),D(x4,v4),

設人女尸:（曾,空利=卬）,六屈“：（安,記

=(-2-0)

&+y：=l①

冬）（再二川）+（乂+衩）（-也）=]

有(,?①~<D得：a+4—―=i.叩

等+萬貨=￡②3(1一矛)1-A2

再一八二3{1,7值-//.43(17

一1——占=—11--

(_2)(再_*)]1-2-2nl44③，同理~44

3(1-4)Xj+AX_7三+小=27

32產x=-j--

iTrr-i4t44"

4/1+〃4

必="

同時,-4,由于CD過定點0，故

4V-當

--

一〃

11

必一了2L_1

——i=——in-A4-A4=>乂一三=一!伊_4)⑥結合⑤⑥可得”包=1，即左=1.

77114不一x?

芭4---XAd-------

3444424〃

x222

【例6】已知橢圖+\=1(。>6>0)的離心率為上，半焦距為c(c>0),且o-c=l.經過橢圓的左

b23

焦點產,斜率為右(卷W0)的直線與橢圓交于4、8兩點,O為坐標原點.

(1)求橢圓r的標準方程：

(2)當月=1時，求$-8的值;

(3)設&(1,0),延長4R,E及分別與橢圓交卜C、。兩點，江線CD的斜率為用，求證：3■為定值.

—=—m=3x2v2

解：(1)由題意，得《43解得4???〃=〃2一。2=5故橢圓「的方程為一+2L=1.

1c=295

y=x+2

(2)由(I),知F(—2,0),.?.直線28的方程為y=x+2,由，/22

14x+36.x-9=0.ii