廣西玉林、貴港、梧州2016屆高三下學期聯合考試理數試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，若存在實數a，使得f(a)=0，則a的取值范圍是（）A.（-∞，-1）B.（-1，1）C.（1，+∞）D.（-∞，+∞）2.已知等差數列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，則前n項和S_n=（）A.n^2+2nB.n^2+3nC.n^2+4nD.n^2+5n二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.設函數f(x)=x^2-2ax+1，若f(x)在區間[1,3]上單調遞增，則a的取值范圍是______。4.在等差數列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，則該數列的公差d=______。三、解答題要求：請寫出詳細的解答過程。5.（1）已知數列{a_n}是等比數列，且a_1=2，a_3+a_5=18，求該數列的通項公式。（2）已知數列{b_n}是等差數列，且b_1=3，b_4=11，求該數列的前n項和S_n。6.（1）已知函數f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的導函數f'(x)。（2）若函數f(x)在區間[0,1]上單調遞增，求實數a的取值范圍。四、證明題要求：證明下列各題中的結論。7.已知數列{a_n}是等比數列，且a_1=1，公比q=-2，證明：數列{a_n}的項數n為偶數時，所有項的和S_n為負數。五、應用題要求：解答下列各題，并說明解題思路。8.一個長方體的長、寬、高分別為x、y、z，已知體積V=8xyz，表面積S=2(xy+yz+zx)。求長方體的最大體積和最小表面積，并求出對應的x、y、z的值。六、解答題要求：請寫出詳細的解答過程。9.（1）已知函數f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的圖像與x軸的交點坐標。（2）設函數g(x)=f(x)-x，求g(x)的零點，并分析g(x)在實數范圍內的單調性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：因為f(x)=x^3-3x+1，所以f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。當x<-1時，f'(x)>0；當-1<x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。所以f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上單調遞增，故選B。2.A解析：由等差數列的通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，得a_n=3+2(n-1)=2n+1。前n項和S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(3+2n+1)=n^2+2n。二、填空題3.a≤1或a≥3解析：由f(x)=x^2-2ax+1，求導得f'(x)=2x-2a。令f'(x)=0，解得x=a。當x<a時，f'(x)<0；當x>a時，f'(x)>0。所以f(x)在x=a處取得極小值。因為f(x)在區間[1,3]上單調遞增，所以a的取值范圍是a≤1或a≥3。4.4解析：由等差數列的通項公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=10，得2+4d=10，解得d=4。三、解答題5.（1）a_n=2*(-2)^(n-1)解析：由a_1=2，a_3+a_5=18，得2*(-2)^2+2*(-2)^4=18，解得(-2)^2=9，所以公比q=-2。通項公式a_n=a_1*q^(n-1)=2*(-2)^(n-1)。（2）S_n=3n+(n(n-1))/2*4=2n^2+n解析：由b_1=3，b_4=11，得3+3d=11，解得d=4。前n項和S_n=n/2*(b_1+b_n)=n/2*(3+(n-1)*4)=2n^2+n。6.（1）f'(x)=6x^2-6x+2解析：由導數的定義，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。代入f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，得f'(x)=6x^2-6x+2。（2）a≤1或a≥3解析：由f(x)在區間[0,1]上單調遞增，得f'(x)=6x^2-6x+2≥0。解不等式得x≤1或x≥3，結合區間[0,1]，得a≤1或a≥3。四、證明題7.證明：數列{a_n}的項數n為偶數時，所有項的和S_n為負數。解析：由a_1=1，公比q=-2，得a_n=1*(-2)^(n-1)。當n為偶數時，a_n=(-2)^n。因為n為偶數，所以(-2)^n<0。數列{a_n}的前n項和S_n=a_1+a_2+...+a_n=1+(-2)+4-8+...+(-2)^(n-1)。因為每一項都是負數，所以S_n<0。五、應用題8.最大體積V=8，最小表面積S=24，對應x=1，y=2，z=4解析：由V=8xyz，得xyz=1。由S=2(xy+yz+zx)，得xy+yz+zx=12。利用均值不等式，得(x+y+z)^2≥3(xy+yz+zx)，即(x+y+z)^2≥36。因為xyz=1，所以x+y+z≥6。當x=y=z=2時，V取得最大值8，S取得最小值24。六、解答題9.（1）交點坐標為(1,0)和(3,0)解析：令f(x)=0，得x^2-4x+3=0。分解因式得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。所以交點坐標為(1,0)和(3,0)。（2）零點為x=2，g(x)在實數范圍內單調遞減解析：由g(x)=f(x)-x，得g(x)=x^2-5x+3。令g(x)=0，得x^2-5x+3=0。分