放縮法(1)

復習目標：掌握已知通項公式的放縮方法

復習過程

一、知識梳理

1.定義：所謂放縮法，要證明不等式A<3成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中

間量，如將A放大成C,即A<C,后證。<5,這種證法便稱為放縮法.

2.思考：在數列的和型不等式中，什么情況下要進行放縮？放縮時最容易出現的問題是什么，如

何解決？

3.在已知數列通項公式的條件下，常見的放縮技巧有

若%是關于〃的多項式，則可在分式中放大或縮小分子或分母；

若凡是關于”的指數式，則可(1)構造等比數列進行放縮；(2)構造裂項條件進行放縮;

(3)應用公式匕竺〉2(a>b>0,m>0)進行放縮.

a+ma

4.熟悉下列放縮技巧

111111

(z1)—=--->--------；—=----<-------

n"n-nn(n+1)nn-n(〃一1)〃

111111

(2)-=--------------<---------------=-(--------------)

(2〃—Ip(2〃—1)(2〃—1)(2n-l)(2?-3)22n-32n-l

11111、

------------>-------------=-(z------------)

(2n-l)2(2n-l)(2n-l)(2?-l)(2n+l)22n-l2n+l

111

=I<==1(J—1)

(2H-1)24n2-4H+14H2-4n4n(n-1)4n-1n

(5)—=----1—―<——(p>q>°，p>l)

p—qPP-q

,p

(6)——<-------=(i+q)?--

p—qp-q+qp

+1-n+1

ip-qp

(7)-,<?,再裂項

Pn-q(pn—qM'—q)(p〃—/(p〃+J/

二、典型例題

口4Tli113

例1:求證:「7—T~1--T+-------T<-

223242(〃+1)24

例2：數列｛%｝的通項公式為%=4〃(〃+1),試證明：對一切正整數〃，有

11112

-----+-----+-----++-----<—

Q]—1%—]—1Cln—17

例4：求證：-^―+,1.+,1,+13

H--------<一(n.eN*)

3-232-2233-233"—2'2

作業

1.求證:2(A/zz+1_1)<1+d—+++d—<2yjn(〃wN*)

---------1-------FH------------<一

2-122-l2,!-l3

12

3.已知數列｛%｝的通項凡=?，5“=%+4++???求證：S〃<￡

一1)(，一1)3

4.設〃eN*,x［是曲線>=犬”+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標.

(I)求數列｛%｝的通項公式；

(H)記<=玉2后篇“一證明：Tn>^~

4〃

5.已知數列｛q｝的前〃項和為S“，若4s“=(2〃—l)a“+i+l,且%=1.

(I)求證：數列｛a“｝是等差數列，并求其通項公式;

i3

(II)設2=—?=,數列也｝的前〃項和為證明：Tn<-.

冊32

2

答案：(I)an=2n-l,Sn=n

(II)b=--------<--------

n〃(2〃—1)2n2—n

+大中

6.已知數列｛q｝滿足+婕+，〃wN'

(I)求數列｛4｝的通項公式;

(II)證明：對任意的“eN*，都有‘++———<4

20j