一、“逆向教學設計”和“倍”的內涵解讀（一）逆向教學設計逆向教學設計是一種目標導向、評價為先的教學設計模式。與傳統教學設計不同，它強調從“輸出端\"開始教學，更關注學生的“學”。新課標指出，教師要明確為什么教、教什么、怎么教、教到什么程度，切實注重“教一學一評”一致性的落實。逆向教學設計的提出實現了教學目標、教學評價、教學與學習行為之間的有機關聯，在尊重學生主體地位的同時提高了教學的指向性。逆向教學設計主要有以下幾個要求：一是重視學生的學習起點，以學生為核心主體作為設計的出發點；二是對教學目標的設計不僅僅局限于知識體系，還緊扣新課標、單元整體教學和學科大概念；三是評價先行，在設計教學活動前就確定好評價標準，在對評價標準進行科學把脈后，所有教學活動都緊密圍繞教學評價開展，以教學評價作為學生是否完成目標的主要依據；四是摒棄以教師為主的“填鴨式”教學，以任務驅動和活動引領進行教學設計。因此，相較于傳統教學，逆向教學更加關注學生、課堂，注重調動學生的積極主動性，更加有利于提升學生的核心素養。（二）倍的內涵從數學知識結構的層面剖析，“倍的認識”是小學生在教材中初次接觸倍比關系，需要學生逐步建立倍的概念以及較為簡單的數學模型；而從思維層面剖析，學生作為學習的主體，要實現從加法模型到乘法模型的跨越、相差關系到倍數關系的轉換。查閱國內外文獻可以發現，“倍”同時具有“運算結果”和“數量關系”這兩種意義。在中國現在的數學教材中，“倍”通常表示的是運算的結果，如6是3的2倍，而忽視了“倍”的原始意義，這也是大部分人將“倍”單純作為運算結果的主要原因。國外的教材與國內有所不同，它更加強調的是“倍”的本質屬性——關系或者是模型。在2014年的新加坡教材中，它將“倍”與學習過的加減乘除法進行綜合勾連。為了讓學生辨析“倍”在不同情境下的含義，這一版本教材還提供了3個情境和3個圖示，讓學生在充分思考后將情境和圖示進行配對。問題1：張樂有20張卡片，李明的卡片數量是張樂的3倍，兩人一共有多少張卡片？問題2：李明的卡片數量是張樂的3倍，李明比張樂多20張卡片，他們一共有多少張卡片？問題3：李明的卡片數量是張樂的3倍，兩人一共有20張卡片，張樂有幾張卡片？思考后可以發現，每個問題都有其數學模型，要想解決這個問題所運用到的數學思維也大相徑庭。但是學生可以利用圖形表征與問題描述之間的匹配性，提升數學運算方面的能力。溯源其上，“倍”誕生于測量，一般用來表述用較小單位量度量較大數量時的關系。有三種用法：既可以比較一個對象中部分和整體的關系，也可以用來表示同一個對象前后的變化現象，還可以表示兩個不同對象的關系，但是這三種用法都有一個共同點——標準量關系，也就是先確定一個“標準量”，將它看成一份，另外一個對象中有幾個這樣的“標準量”就是幾倍。在這個過程中，通常可以用四則運算中的乘除法來進行計算，但其實際意義和運用遠不止于此。“倍”作為一個數學概念，是人們在頭腦中建構形成的一種主觀認識。杜威曾說，真正的理解就是要深刻掌握其意義。有意義的情境至少包含三個條件：指示對象、指示符號和解釋。這三個條件同時在情境中起作用，才能更好地促進學生學習。符號的意義建立在人們已有認知和經驗的基礎之上，當人們看見符號時，會自動觸發腦海中的原有認知。但由于個體經驗水平的不同，產生的圖示不同，自然引發的意義也不盡相同。乘法比較的模型與教材中的倍數問題大致相同，比較的是兩個不同組（其中一個是標準組）之間的關系。如4×2，可以引導學生形成這樣的想象圖示：第一行有4個三角形，第二行是它的兩倍，那么第二行有多少個三角形？在這里，4表示的是單位量，2表示有2個4。在笛卡爾乘積類型中有這樣一個貼合實際的生活情境：漢堡店有4種肉類，分別是香腸、里脊、牛肉、雞肉；2種醬汁，沙拉醬和香辣醬。那么算式4×2就表示這家店的客人可以有8種不同的選擇。具體說，4表示4種肉類，2表示兩種醬汁，8代表8種不同的組合搭配。教師要想開展有意義的教學，不僅要理解和掌握符號的深層意義，更要理解符號本身蘊含的現實價值。（三）“教一學一評”一致性“教一學一評”三個要素作為教學過程的一個整體，既相互獨立，又相互影響、相互促進。教學活動的根本目的是促進學生的學，因此，在教學中教師都有意識地了解學情，“以學定教”“以學優教”，但在實際過程中，教師又不可避免地會遇到這樣的難題：學生學得怎么樣需要借助評價，“以評促學”。教學是活動條件，學習是本質追求，評價是落實路徑。如何避免在教學中出現教、學、評相互獨立、顧此失彼的現象？如何實現教、學、評的自然融合以有效落實數學學科核心素養？……逆向教學設計是一條行之有效的路徑，它將預期目標、評價任務和教學活動加以有效整合，實現教、學、評相互融通。在逆向教學設計中，評價目標就等同于教學目標，學習活動就是指向實現教學目標的，這樣做可以在一定程度上避免活動形式化、盲目化和低效化。課堂中的教、學、評一致性關注從數學課程標準轉化而來的目標，進而實現推進課堂教學改革層面的教、學與評價的一致性，在此過程中形成理念和行動上的閉環。簡而言之，就是教師教什么，學生學什么，評價評什么，強調發揮評價改進教師教學和促進學生學習的功能，實現學習目標的有效落地。二、逆向教學設計在小學數學教學中的運用在前文的分析中，我們已經明確了逆向教學設計在小學數學教學中的優勢以及“倍”的意義。“倍的認識”的逆向教學設計可從三個維度層層深入：（一）科學預設，把準“學”的方向建構主義的學生觀指出，學生在學習時已經具備一定的相關知識和經驗。明確地知曉學生本節課的學習目標是什么，是教師進行逆向教學設計時需要跨越的第一個障礙，也是后續所有教學活動開展的基石。教師要以學生原有的知識經驗作為新知識的生長點，通過合理、科學的教學活動引導學生學習。教師要弄清楚學生“本來”已經了解了什么：在學生學習“倍的認識”之前，已經掌握了乘除法算式以及乘除法的意義，部分學生也已經聽說過倍，了解倍的一些簡單模型，如可以簡單畫出倍數關系。因此，關于“倍的認識”教學設計，如果依然循著小步子的教學模式展開，可能無法促進班級大部分學生的思維進階，也無法更好地落實素養本位的要求。本節課教學的重點除了數學運算，還要讓學生建立關于“倍”的三種模型，深刻感受“倍”也是一種關系。（二）評價先行，可視化“學”的過程新課改以來，教學評價的最終指向是為了促進學生的學習，而不是對于某個知識或某階段學習的數值評價。教學評價是教師進行教學設計的“航向標”，這也是逆向教學設計理念的前提。在實際教學中，數學學習評價往往是在學生完成數學知識的學習后，借助一些有層次、有梯度、有目的的紙質練習，以成績為評定標準的活動，評價嵌入在整個教學活動中。設計逆向教學時，教師要先制訂評價標準，評價涉及學生學習能力、數學表達、學習作品等方面。因此，教師要錨定學情，制訂適切的評價標準，讓學生明確本節課的學習重點、學習方式，這樣才能充分提高學習效率。本節課“倍的認識”教學任務及學習成果評估標準設計如表1。表1“倍的認識”教學任務及學習成果評價標準（三）任務外爍，延展“學”的結果在目標和評價都明確的基礎上，逆向教學設計最后的一步是教師以前兩步為基礎，設計豐富的教學活動，引導學生開展有意義的實踐探索，以任務為驅動，讓學生在活動中加深對“倍”的認識，提升數學核心素養。教師先出示第一幅圖（圖1①），○和□的數量同樣多，學生既可以將○看作標準量，也可以將□看成標準量，不管將誰視作標準量，另一個圖形都是它的1倍。教師再出示第二幅圖（圖），學生可以直觀地看出，□的數量比○多，根據學生的習慣和已有數學知識，通常會將○看作標準量，□有2個這樣的標準量，因此□的數量是○的2倍。在教學過程中，教師既要關注學生思維的進階，又要關注學生數學語言的表達，讓學生逐步試著用簡單的語言精準地表述數學現象。最后，教師還可以追問：只能將○看作標準量嗎？引發學生課后思考，助力學習思維長程發展。這也不失為一種“逆向”思維的培養。圖1綜上所述，一線教師在進行“倍”的相關教學設計時，不能過于簡單地將“倍”固化為計算的結果。教師在教學中必須帶領學生全面地了解“倍”的意義，從貼近兒童生活的具體事例出發，讓學生擁有足夠的感性認識和經驗，進而在教學活動中通過交流、辨析進一步加深對“倍”的理性認識。其實，在小學階段的數學學習過程中，還有許多類似的抽象概念的學習，如“分數”“比”“小數”等，教師要利用具體的物體、符號等幫助學生理解這些抽象概念，并從機