PAGE1-第3講合情推理與演繹推理[基礎題組練]1．視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．121 B．123C．231 D．211解析：選B.法一：令an＝an＋bn，則a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，從而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三個等式中符合，則a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.2．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若z1，z2∈C，則z1－z2＝0?z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)?a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若z1，z2∈C，則z1－z2>0?z1>z2”．其中類比得到的結論正確的個數是()A．0B．1C．2D．3解析：選C.由復數的減法運算可知①正確；因為a，b，c，d都是有理數，eq\r(2)是無理數，所以②正確；因為復數不能比較大小，所以③不正確．3．(2024·廣西柳州模擬)給出以下數對序列：(1，1)(1，2)(2，1)(1，3)(2，2)(3，1)(1，4)(2，3)(3，2)(4，1)……記第i行的第j個數對為aij，如a43＝(3，2)，則anm＝()A．(m，n－m) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m＋1)解析：選D.由前4行的特點，歸納可得，若anm＝(a，b)，則a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)．故選D.4．(2024·福建莆田質量檢測)“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就始終運用的紀年方法，干支是天干和地支的總稱．把干支依次相配正好六十為一周，周而復始，循環記錄，這就是俗稱的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸這十個符號叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥這十二個符號叫地支．如公元1984年農歷為甲子年，公元1985年農歷為乙丑年，公元1986年農歷為丙寅年，則公元2047年農歷為()A．乙丑年 B．丙寅年C．丁卯年 D．戊辰年解析：選C.記公元1984年為第一年，則公元2047年為第64年，即天干循環了六次，第四個為“丁”．地支循環了五次，第四個為“卯”，所以公元2047年農歷為丁卯年，故選C.5．如圖所示，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，當eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1 D.eq\r(5)＋1解析：選A.設“黃金雙曲線”的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)．在“黃金雙曲線”中，因為eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.在等號兩邊同除以a2，得e2－1＝e，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e＝\f(1－\r(5),2)舍去)).6．視察下列式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，…，依據以上規律，第n(n∈N*)個不等式是____________________．解析：依據所給不等式可得第n個不等式是eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·（n＋1）)<eq\f(（n＋1）2,2).答案：eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(n·（n＋1）)<eq\f(（n＋1）2,2)7.祖暅是我國南北朝時代的數學家，是祖沖之的兒子．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．設由橢圓eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體(稱為橢球體)(如圖)，課本中介紹了應用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于______________．解析：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現構造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，依據祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2(πb2a－eq\f(1,3)πb2a)＝eq\f(4,3)πb2a.答案：eq\f(4,3)πb2a8．設f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明．解：f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(1,1＋\r(3))＋eq\f(1,3＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2)＋eq\f(3－\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，同理可得：f(－1)＋f(2)＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(\r(3),3)，并留意到在這三個特別式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當x1＋x2＝1時，均有f(x1)＋f(x2)＝eq\f(\r(3),3).證明：設x1＋x2＝1，f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,3x1＋\r(3))＋eq\f(1,3x2＋\r(3))＝eq\f(（3x1＋\r(3)）＋（3x2＋\r(3)）,（3x1＋\r(3)）（3x2＋\r(3)）)＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),3x1＋x2＋\r(3)（3x1＋3x2）＋3)＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),\r(3)（3x1＋3x2）＋2×3)＝eq\f(3x1＋3x2＋2\r(3),\r(3)（3x1＋3x2＋2\r(3)）)＝eq\f(\r(3),3).9．給出下面的數表序列：表1表2表3113135448…12其中表n(n＝1，2，3，…)有n行，第1行的n個數是1，3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．寫出表4，驗證表4各行中的數的平均數按從上到下的依次構成等比數列，并將結論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)．解：表4為13574812122032它的第1，2，3，4行中的數的平均數分別是4，8，16，32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列．將這一結論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數的平均數按從上到下的依次構成首項為n，公比為2的等比數列．[綜合題組練]1．(應用型)學生的語文、數學成果均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”．若學生甲的語文、數學成果都不低于學生乙，且其中至少有一門成果高于乙，則稱“學生甲比學生乙成果好”．假如一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成果好，并且不存在語文成果相同、數學成果也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()A．2人 B．3人C．4人 D．5人解析：選B.利用推理以及邏輯學問求解．首先要證，沒有隨意兩個同學的數學成果是相同的．假設A，B兩名同學的數學成果一樣，由題知他們的語文成果不一樣，這樣他們的語文成果總有一個人比另一個人高，相應地由題可知，語文成果較高的同學比另一個同學“成果好”，與已知條件“他們之中沒有一個比另一個成果好”相沖突．因此，沒有隨意兩個同學的數學成果是相同的．因為數學成果等級只有3種，因而同學數量最大為3.之后要驗證3名同學能否滿意條件．易證3名同學的成果等級分別為(優秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，優秀)時滿意條件，因此滿意條件的人數最多是3.2．(2024·安徽“江淮十校”聯考)我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現的是一種無限與有限的轉化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2) D.eq\f(1－\r(5),2)解析：選C.1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(舍))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.3．(2024·遼寧沈陽模擬)“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先運用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數表的構造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數字組成，從其次行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最終一行僅有一個數，則這個數是()A．2017×22016 B．2018×22015C．2017×22015 D．2018×22016解析：選B.從給出的數表可以看出，該數表每行的數都構成等差數列，其中第一行從右到左是公差為1的等差數列，其次行從右到左的公差為2，第三行從右到左的公差為4，……，第n行從右到左的公差為2n－1，而從右向左看，每行的第一個數分別為1＝2×2－1，3＝3×20，8＝4×21，20＝5×22，48＝6×23，……，所以第n行的第一個數為(n＋1)×2n－2.明顯第2017行只有一個數，為(2017＋1)×22017－2＝2018×22015.故選B.4．(應用型)(2024·吉林長春質監)有甲、乙二人去探望中學數學老師張老師，期間他們做了一個嬉戲，張老師的生日是m月n日，張老師把m告知了甲，把n告知了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲說：“我不知道，但你肯定也不知道．”乙聽了甲的話后，說：“原來我不知道，但現在我知道了．”甲接著說：“哦，現在我也知道了．”請問，張老師的生日是________．解析：依據甲說的“我不知道，但你肯定也不知道”，可解除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；依據乙聽了甲的話后說的“原來我不知道，但現在我知道了”，可解除2月7日、8月7日；依據甲接著說的“哦，現在我也知道了”，可以得知張老師的生日為8月4日．答案：8月4日5．已知O是△ABC內隨意一點，連接AO，BO，CO并延長，分別交對邊于A′，B′，C′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1，這是一道平面幾何題，其證明常采納“面積法”：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.請運用類比思想猜想，對于空間中的四面體V-BCD，存在什么類似的結論，并用“體積法”證明．解：結論：在四面體V-BCD中，任取一點O，連接VO，DO，BO，CO并延長，分別交四個面于E，F，G，H點．則eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.證明如下：在四面體O-BCD與V-BCD中，設其高分別為h1，h，則eq\f(OE,VE)＝eq\f(h1,h)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h1,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VO-BCD,VV-BCD).同理，eq\f(OF,DF)＝eq\f(VO-VBC,VD-VBC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VO-VCD,VB-VCD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO-VBD,VC-VBD)，所以eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)