試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考二輪數學專題訓練有關二次函數中拋物線與x軸的交點存在性問題1．已知二次函數的圖象為．(1)用表示圖象的頂點坐標；(2)證明：當時，圖象與軸有兩個交點；(3)記一次函數（是常數，，）的圖象為線段，若圖象與線段恰有一個公共點，直接寫出的取值范圍．2．在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數，則稱這樣的點為整點．設函數（實數為常數）的圖象為圖象．(1)求證：無論取什么實數，圖象與軸總有公共點；(2)是否存在整數，使圖象與軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數的值；若不存在，請說明理由．3．已知二次函數的圖像經過點，與x軸交于點．(1)求二次函數的表達式；(2)若拋物線與直線有交點，求m的取值范圍；(3)若把二次函數的圖像沿x軸向右平移個單位，在自變量x的值滿足的情況下，與其對應的函數值y的最小值為，求n的值．4．已知二次函數的圖象經過點．(1)試確定b，c之間的關系；(2)我們規定：若是一元二次方程的兩個根，則．已知該二次函數的圖象與x軸交于點，且點M與點N之間的距離，求b的值；(3)若點在該二次函數的圖象上，求h的最小值．5．已知拋物線經過點，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大.設n是拋物線與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標.(1)求b，c的值；(2)求代數式的值.6．已知關于x的二次函數．(1)此函數圖象經過的定點：______．(2)求證：無論m取任何實數，此函數圖象與x軸總有兩個交點7．二次函數，，為實數，且的圖象經過點．(1)求的值；(2)若，當時，此二次函數恒滿足隨著的增大而減小，求的取值范圍；(3)設是該函數圖象與軸的一個交點，且滿足，求的取值范圍．8．在平面直角坐標系中，，，是拋物線上的三個點．(1)當時，求拋物線與x軸的交點坐標；(2)若，，當時，試比較，的大小，并說明理由；(3)若對于，，都有，求b的取值范圍．9．如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)若，是拋物線上的兩點，且，求c的取值范圍；(3)將直線向上平移m個單位，使平移后的直線與拋物線只有一個交點，求m的值．10．如圖，已知拋物線經過點，兩點，且與軸的另一個交點為，對稱軸為直線．(1)求拋物線的表達式；(2)時，求的取值范圍；(3)已知點是拋物線對稱軸上一點，當的周長最小時，求點的坐標．11．如圖，已知拋物線，其頂點坐標為，拋物線與軸的一個交點為，直線與拋物線交與兩點，(1)__________；(2)__________0；(3)方程的根__________；(4)拋物線與軸的另一個交點是__________；(5)__________0；(6)拋物線的解析式____________；(7)__________0．12．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點．拋物線經過點A且交線段于點C．(1)求k的值．(2)求點C的坐標．(3)直接寫出當x在何范圍時，．13．如圖，已知二次函數的圖像與軸交于，兩點．(1)求的值；(2)若點在該二次函數的圖像上，且的面積為，求點的坐標．14．如圖，拋物線與直線相交于兩點，與軸相交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的一個動點（不與重合），過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標；(3)拋物線上是否存在點使的面積等于面積的一半？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．15．閱讀材料：如圖，函數的圖像是一條拋物線，當時，；當時，．由此可知，拋物線與x軸的一個交點的橫坐標在0與1之間．即方程的一個根所在的范圍是．根據上述材料解決下面的問題：已知拋物線（a、c是常數，）．(1)①寫出拋物線的對稱軸________；②若拋物線過點和，求拋物線的解析式；(2)當時，若關于x的方程在的范圍內有解，求c的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考二輪數學專題訓練——有關二次函數中拋物線與x軸的交點存在性問題》參考答案1．(1)；(2)見解析；(3)，或時，圖象與線段恰有一個公共點．【分析】本題主要考查了一次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質，解決本題的關鍵是根據根據一次函數與二次函數的性質確定函數圖象的交點．把二次函數的解析式化成頂點坐標式，即可得到圖象的頂點坐標為；當時，可得：，利用一元二次方程根與系數的關系可證當時，圖象與軸有兩個交點；根據一次函數的解析式可知點的坐標為，點的坐標為，根據圖象與線段恰有一個公共點，分或以及直線與二次函數聯立有且只有一個交點三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：整理，可得：，圖象的頂點坐標為；（2）解：當時，可得：，，整理得：，當時，，方程有兩個不相等的實數根，圖象與軸有兩個交點；（3）解：①當時，設點的坐標為，點的坐標為，一次函數（是常數，，）的圖象為線段，當時，，當時，依題意，圖象與線段恰有一個公共點，如圖，當時，，解得：或當時，，解得：∴②當時，解得：當一次函數與二次函數聯立方程，得，一元二次方程有且只有兩個相等實數根時：整理得，解得，此時，交點橫坐標分別為或（不在x取值范圍舍去）綜上所述，，或時，圖象與線段恰有一個公共點．2．(1)證明見解析(2)存在，或或或【分析】（）當時，函數表達式為，可得一次函數與軸有交點；當時，為二次函數，根據可得拋物線與軸有交點，綜上即可求證；（）當時，不符合題意；當時，可得拋物線與的交點橫坐標為或，由可得是的因數，據此解答即可求解；本題考查了二次函數與軸的交點問題，一次函數與軸的交點問題，理解題意是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：當時，函數表達式為，令，則，∴，∴此時函數（實數為常數）的圖象與軸有交點；當時，為二次函數，，∴函數（實數為常數）的圖象與軸有交點；綜上所述，無論取什么實數，圖象與軸總有公共點；（2）解：存在整數，使圖象與軸的公共點中有整點，理由如下：當時，不符合題意；當時，令，則，解得或，，是整數，是奇數，∴當是的奇因數時，是整數，∴或或或，解得或或或．3．(1)；(2)；(3)．【分析】本題考查了二次函數的綜合運用，主要知識點有通過已知條件求函數解析式，函數的增減性，平移等，注意分類討論．（1）將，代入，利用待定系數法求出函數解析式；（2）令，再利用一元二次方程根的判別式解答即可；（3）根據函數的性質，圖像向左或向右平移，在自變量的值滿足的情況下，對應的函數的最小值求出的值．【詳解】（1）解：將，代入，得：，解得，二次函數的表達式為；（2）解：，即：，∵拋物線與直線有交點，則，解得；（3）解：由（2）可得的對稱軸為直線，且拋物線在范圍內y隨x的增大而增大，拋物線在時有最小值為，①向右平移個單位，當平移后對稱軸在2左邊時，即，函數在處取得最小值，即，解得：，都不符合題意；②當平移后對稱軸在2到3之間時，在頂點處取到最小值，即最小值；③當平移后對稱軸在3右邊時，即時，函數在時，存在的最小值，，解得：，，（舍去），綜上所述，．4．(1)(2)或9(3)h的最小值為【分析】本題主要考查了二次函數的性質、二次函數與一元二次方程的關系、根與系數的關系等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）直接將點代入二次函數，然后整理即可解答；（2）由(1)得：，則，由二次函數和一元二次方程的關系可得m，n是一元二次方程的兩個根，由根與系數的關系可得，再根據兩點間距離和完全平方公式可得解得：，然后代入檢驗即可解答；（3）將點代入拋物線解析式可得，再將代入可得，最后配方并根據二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵已知二次函數的圖象經過點，，．（2）解：由（1）得：，

∵二次函數的圖象與x軸交于點，∴m，n是一元二次方程的兩個根，∴，，，，，整理得解得：當時，，滿足題意；當時，滿足題意；∴或9．（3）解：∵點在該二次函數的圖象上，由（1）得，∴，∵，∴當時，h有最小值，最小值為5．(1)，(2)0【分析】本題考查二次函數綜合知識，涉及二次函數圖像上的點坐標、對稱軸、增減性、與軸交點坐標等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，可得對稱軸為直線，可求，,由拋物線經過點，可得；（2）根據題意可得，變形計算即可．【詳解】（1）解：經過點，，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，，；（2）解：設n是拋物線與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標，，，，，，，，，.6．(1)；(2)見解析．【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，懂題意，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．（1）根據題意，當時即可求解；（2）先計算判別式的值得到，則可判斷，然后根據判別式的意義得到結論．【詳解】（1）解：當時，即，此時，，∴無論m取什么值都會經過定點，故答案為：；（2）解：∵∴∴∴無論m取任何實數，此函數的圖象與x軸總有兩個交點．7．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數的性質．（1）將點代入函數關系變換形式即可得；（2）根據對稱軸關系式與的取值范圍即可確定的取值范圍；（3）根據根與系數關系確定二次函數與軸的兩個交點位置，再根據的取值范圍確定的取值范圍．【詳解】（1）解：的圖象經過點，，，，；（2）解：，二次函數的圖象開口向上，在對稱軸的左側，隨的增大而減小，當時，二次函數隨的增大而減小，，即，，；（3）解：是二次函數圖象與軸的一個交點，當時，，，此二次函數與軸的交點一個在正半軸，一個在負半軸，，，當時，，當時，，，，．8．(1)和(2)，見解析(3)或【分析】本題考查了二次函數的性質，拋物線與x軸的交點坐標；（1）當時，求出解析式，再令解方程即可求出（2）將代入解析式得，由得到，對稱軸，再根據開口向上時離對稱軸越近，函數值越小判斷即可；（3）根據對于，，都有得與異號，再根據對稱軸的位置判斷即可．【詳解】（1）解：當時，將代入解析式得，解得，∴解析式為，當時，，解得，，∴拋物線與x的交點坐標為和；（2）解：將代入解析式得，∵即，∴，∵拋物線對稱軸為：直線，∴離對稱軸比更近，∵拋物線開口向上，故離對稱軸越近，函數值越小，∴；（3）解：∵對于，，都有∴與異號①若即，∵當時，必然大于0，∴當時，，解得，當時，，解得，∴；②若即，∵當時，必然大于0，∴當時，，解得當時，，解得，∴，綜上所述，b的取值范圍為或9．(1)(2)或(3)【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，圖象的平移，直線與拋物線的交點問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先求解析式，再配方即可求解頂點坐標；（2）可得，當，當時，，解得，，由圖象法可得或；（3）先求出的函數表達式為設向上平移m個單位長度后函數表達式為，與拋物線聯立得，根據平移后的直線與拋物線只有一個交點，得到，即可求解．【詳解】（1）解：將點代入中，解得：，∴，整理得，則頂點坐標為；（2）解：將代入，解得∵，當時，解得，，∴或；（3）解：設直線的函數表達式為將，代入得，解得：∴直線的函數表達式為設向上平移m個單位長度后函數表達式為，由題意得即∵平移后的直線與拋物線只有一個交點，∴，∴．10．(1)(2)(3)點【分析】本題主要查了待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象和性質，兩點間線段最短：（1）利用待定系數法解答，即可求解；（2）求出點B的坐標，再觀察圖象，即可求解；（3）設直線與對稱軸的交點為點，求出直線的解析式，可得點，再由拋物線的對稱性可得，此時的值最小，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，兩點，對稱軸為直線，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵二次函數的圖象與軸交于、兩點，，對稱軸為直線，∴，∴當時，，∴當時，x的取值范圍為．（3）解：設直線與對稱軸的交點為點，設直線的解析式為：，∴，解得：，∴直線的解析式為：；∴點，∵直線垂直平分，∴，，∴，，當點與點重合時，，此時有最小值，∴，此時的值最小，∵，是定值，∴當點時，有最小值．11．(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求二次函數解析式，采用數形結合的思想是解此題的關鍵．（1）由拋物線圖象可得拋物線的對稱軸為直線，從而得出，即，即可得解；（2）由拋物線圖象可得拋物線開口向下，與軸交于正半軸，得出，，結合，即可得解；（3）由拋物線圖象即可得出答案；（4）根據拋物線的對稱性即可得出答案；（5）由拋物線函數圖象即可得出答案；（6）利用待定系數法計算即可得解；（7）根據拋物線與軸有兩個交點即可得解．【詳解】（1）解：由拋物線圖象可得：拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴；（2）解：由拋物線圖象可得：拋物線開口向下，與軸交于正半軸，∴，，∵，∴；（3）解：∴方程，即的根為：；（4）解：∵拋物線與軸的一個交點為，拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線與軸的另一個交點是；（5）解：由拋物線圖象可得，當時，；（6）解：∵拋物線，其頂點坐標為，∴設拋物線的解析式為，將代入拋物線解析式得，解得：，∴拋物線的解析式為；（7）解：由拋物線的圖象可得，拋物線與軸有兩個交點，∴．12．(1)(2)(3)或【分析】本題主要考查了一次函數與二次函數綜合：（1）根據二次函數解析式求出點A坐標，再利用待定系數法求解即可；（2）聯立兩函數解析式求出對應的交點坐標即可得到答案；（3）根據函數圖象找到一次函數圖象在二次函數圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當時，解得或，∴，把代入中得：，解得；（2）解：由（1）可得，聯立，解得或，∴；（3）解：由函數圖象可知，當或時，．13．(1)(2)【分析】本題主要考查二次函數與幾何圖形的綜合，掌握待定系數法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關鍵．（1）運用待定系數法即可求解；（2）根據題意設，結合幾何圖形面積計算方法可得點的縱坐標，代入后解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：二次函數的圖像與軸交于，兩點，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函數解析式為：，，，∴，設，∴，∴，∴，∴當時，，無解，不符合題意，舍去；當時，，；∴．14．(1)拋物線的解析式為(2)的坐標為(3)的坐標為或或或【分析】（1）把代入求出，再用待定系數法可得拋物線的解