第06講數(shù)論專題+口奧3掌握數(shù)論七大知識點(diǎn)基礎(chǔ)概念靈活運(yùn)用數(shù)論知識答題掌握口奧知識及完成訓(xùn)練模塊一：數(shù)論一：知識點(diǎn)梳理整數(shù)與整除1、整數(shù)的意義和分類自然數(shù)：零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)；整數(shù)：正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)，統(tǒng)稱為整數(shù)。正整數(shù)自然數(shù)正整數(shù)自然數(shù)零零負(fù)整數(shù)整數(shù)負(fù)整數(shù) 2、整除（1）整數(shù)除以整數(shù)b，如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說能被b整除；或者說b能整除。（2）整除的條件（兩個(gè)必須同時(shí)滿足）：①除數(shù)、被除數(shù)都是整數(shù)；②被除數(shù)除以除數(shù)，商是整數(shù)而且余數(shù)為零。3、除盡與整除的異同點(diǎn)相同點(diǎn)：除盡與整除，都沒有余數(shù)，即余數(shù)都為0；除盡中包含整除不同點(diǎn)：整除中被除數(shù)、除數(shù)和商都為整數(shù)，余數(shù)為零；除盡中被除數(shù)、除數(shù)和商不一定為整數(shù)，余數(shù)為零。因數(shù)和倍數(shù)1、因數(shù)和倍數(shù)整數(shù)能被整數(shù)b整除，就叫做b的倍數(shù)，b就叫做的因數(shù)（也稱為約數(shù)）。注意：（1）在整除的條件下，才有因數(shù)和倍數(shù)的概念。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)存在。2、求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法（1）列乘法算式：根據(jù)因數(shù)的意義，有序地寫出某數(shù)的所有兩個(gè)數(shù)乘積的乘法算式，乘法算式中的因數(shù)就是該數(shù)的因數(shù)。（2）列除法算式：用此數(shù)除以任意整數(shù)，所得商是整數(shù)而無余數(shù)，這些除數(shù)和商就是該數(shù)的因數(shù)。3、求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，就是用這個(gè)數(shù)，依次與非零自然數(shù)相乘，所得之?dāng)?shù)就是這個(gè)數(shù)的倍數(shù)。4、因數(shù)和倍數(shù)的性質(zhì)（規(guī)律總結(jié)）1是任何一個(gè)整數(shù)的因數(shù)，任何整數(shù)都是1的倍數(shù)；0是任何一個(gè)不等于0的整數(shù)的倍數(shù)，任何一個(gè)不等于0的整數(shù)都是0的因數(shù)；一個(gè)正整數(shù)既是它本身的最大因數(shù)，也是它本身的最小倍數(shù)。3、素?cái)?shù)、合數(shù)與分解素因數(shù)1、素?cái)?shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做素?cái)?shù)（也叫做質(zhì)數(shù)）。一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特別記住：0和1不是素?cái)?shù)，也不是合數(shù)。常用的100以內(nèi)的素?cái)?shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計(jì)25個(gè)；除了2其余的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的素?cái)?shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9。考點(diǎn)：（1）值得注意的是很多題都會以素?cái)?shù)2的特殊性為考點(diǎn)；（2）除了2和5，其余素?cái)?shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9。這也是很多題解題思路，需要大家注意。2、素因數(shù)與分解素因數(shù)素因數(shù)：如果一個(gè)素?cái)?shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么就說這個(gè)素?cái)?shù)是這個(gè)數(shù)的素因數(shù)。互素：公因數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互素。分解素因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解素因數(shù)。例如：部分特殊數(shù)的分解；；；；；；；；3、判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的素?cái)?shù)q（均為整數(shù)），使得q能夠整除p，那么p就不是素?cái)?shù)，所以我們只要拿所有小于p的素?cái)?shù)去除p就可以了。例如：，13<17，所以233是素?cái)?shù)4、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)1、最大公因數(shù)的概念及求法幾個(gè)整數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)整數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)。求幾個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)，只要將它們所有的公有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)（分解素因數(shù)法）；另一種方法是短除法（除到兩個(gè)商互素為止）。兩個(gè)整數(shù)中，如果某個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)互素，則它們的最大公因數(shù)為1。2、最小公倍數(shù)的概念及求法幾個(gè)整數(shù)的公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)。求兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)，只要取它們所有公倍的素因數(shù)，再取它們各自剩余的素因數(shù)，將這些數(shù)連乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)（分解素因數(shù)法）；另一個(gè)方法是短除法（除到兩個(gè)商互素為止）。如果兩個(gè)整數(shù)中某一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)。5、完全平方數(shù)1、完全平方數(shù)的定義若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)。完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…2、完全平方數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。

性質(zhì)8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。性質(zhì)9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。6、能被2、3、5數(shù)整除的特征1.能被2整除的整數(shù)，叫做偶數(shù)．0、2、4、6、8．10……是偶數(shù)。不能被2整除的整數(shù)，叫做奇數(shù)．1、3、5、7、9……是奇數(shù)。偶數(shù)和奇數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)7、余數(shù)問題余數(shù)性質(zhì)：余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，c均為自然數(shù)）：（1）大小法則：余數(shù)小于除數(shù)（2）式子變換：被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)除數(shù)=（被除數(shù)余數(shù)）÷商商=（被除數(shù)余數(shù)）÷除數(shù)余數(shù)=被除數(shù)除數(shù)×商（3）減法法則：如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a與b的差能被c整除。【例】17與11除以3的余數(shù)都是2，所以1711能被3整除。（4）加法法則：a與b的和除以c的余數(shù)（不包括能整除），等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以c的余數(shù)）。【例】23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數(shù)等于3+1=4。注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。【例】23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數(shù)等于（3+4）除以5的余數(shù)。（5）乘法法則：a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）。【例】23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。【例】23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數(shù)等于（3×4）除以5的余數(shù)。性質(zhì)（4）（5）都可以推廣到多個(gè)自然數(shù)的情形。（6）倍數(shù)法則：除數(shù)與余數(shù)相同時(shí)，兩被除數(shù)相減的差是除數(shù)的倍數(shù)。模塊二、口奧（下式中被乘數(shù)與乘數(shù)中各有500個(gè)“0”)00…0024×0.00…005=500個(gè)500個(gè)一艘輪船順?biāo)叫?00千米，逆水航行64千米，共用9小時(shí)；順?biāo)叫?0千米、逆水航行128千米共用12小時(shí)。問：輪船的順?biāo)俣扰c逆水速度各是多少？地形ABCD中，AB平行于CD，對角線AC，BD交于O點(diǎn)，OE平行于AB、CD，交腰BC于E點(diǎn)，如果三角形ADE的面積是90平方厘米，那么三角形BOC的面積是多少平方厘米。在一根繩子12等分點(diǎn)、15等分點(diǎn)及18等分點(diǎn)都剪一刀，這根繩子被剪成了段？5、如果1！=1；2！=2×1=2；3！=3×2×1=6計(jì)算：（1）6！=？（2）x！=5040，求x6、有兩只蝸牛同時(shí)從一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)A出發(fā)，分別沿兩腰爬行。一只蝸牛每分鐘行2.5米,另一只蝸牛每分鐘行2米,8分鐘后在離C點(diǎn)6米處的P點(diǎn)相遇,BP的長度是米。ABPC答案：00……012997個(gè)0(2)V順=120÷6=20千米/小時(shí);V逆=120÷8=16千米/小時(shí)(3)180平方厘米；(4)12＋15＋18－（12，15）－（12，18）－（15，18）＋（12，15，18）=45－3－6－3＋3=36段（5）6！=6×5×4×3×2×1=220；因?yàn)?！=5040，所以x=7。（6）(2.5－2)×8=4米;6－4=2米。則BP長是2米。模塊一：數(shù)論【例1】有三個(gè)自然數(shù)，其和是27，將它們分別填入下式的三個(gè)括號中，滿足等式要求：（）+5=（）÷3=（）2解析：令（）+5=（）÷3=（）2=a則這三個(gè)自然數(shù)分別表示為a5，3a，a+2則a5+3a+a+2=27，得到a=6則這三個(gè)數(shù)分別為：1，18，8【例2】一個(gè)整數(shù)既是54的因數(shù)，又是9的倍數(shù)，求這個(gè)數(shù)。：先求54的因數(shù)(1、3、6、9、18、27、54)，再把其中是9的倍數(shù)(9、18、27、54)的數(shù)取出即可。【例3】將1到20中滿足條件的數(shù)填入適當(dāng)?shù)娜?nèi)。4的倍數(shù)但非100的因數(shù)4的倍數(shù)但非100的因數(shù)100的因數(shù)但非4的倍數(shù)4的倍數(shù)又是100的因數(shù)解析：8、12、16；1、2、5、10；4、20。【例4】三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù)。解析：∵210=2×3×5×7∴可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7。【例5】一個(gè)數(shù)是5個(gè)2、3個(gè)3、2個(gè)5、1個(gè)7的連乘積，這個(gè)數(shù)的兩位數(shù)的因數(shù)中，最大的是幾？解析：。，不是N的因數(shù)。，不是N的因數(shù)。97是素?cái)?shù)，不是N的因數(shù)。，是N的因數(shù)。所以，所求最大的兩位數(shù)的因數(shù)是96。【例6】在長為1.5千米的公路一邊，等距離種樹（兩端都種），開始每隔10米種一棵，后來改成每隔12米種一棵，不用改種的樹有多少棵？解析：10和12的最小公倍數(shù)是60,又第一棵樹不用改種，所以：1500÷60+1=26【例7】一張長方形的紙片，長為36cm，寬為21cm，要把這張紙片裁成同樣大小的正方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？至少有多少個(gè)小正方形？解析：沒有任何紙片剩余，所以小正方形的邊長一定要整除36和21，同時(shí)還要求小正方形的邊長盡可能地長，因此正方形的邊長就是36和21的最大公因數(shù)。36和21的最大公因數(shù)是3，正方形紙片的邊長最大是3厘米。（36÷3）×（21÷3）=12×7=84（個(gè)），所以至少有84個(gè)小正方形。【例8】一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解析：設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得x45=m^2;(1)x+44=n^2(2)(m,n為自然數(shù))(2)(1)可得:n^2m^2=89或：(nm)(n+m)=89因?yàn)閚+m>nm，89為質(zhì)數(shù)，所以：n+m=89;nm=1解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。【例9】求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方。分析：設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n為整數(shù)。欲證n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加上1為m，則m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。【例10】下面的連乘積中，末尾有多少個(gè)0？1×2×3×…×29×30。【答案】從1到30，這里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍數(shù)。從它們每個(gè)數(shù)可以得到1個(gè)0；它們共有6個(gè)數(shù)，可以得到6個(gè)0。25是5的平方，含有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)5，這里多出1個(gè)5來。從1乘到30，雖然30個(gè)因數(shù)中只有6個(gè)是5的倍數(shù)，但是卻含有7個(gè)質(zhì)因數(shù)5。所以乘積的末尾共有7個(gè)0。【例11】有一個(gè)不等于1的整數(shù)，它除967，1000，2O01得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？【提示】根據(jù)同余性質(zhì)，數(shù)分別除以n得到相同的余數(shù)，那么或者能被n整除。所以，這道題中所求的整數(shù)應(yīng)能整除967,100,2001兩兩的差【答案】1000667=33,20011000=1001．33與1001的公約數(shù)是11，就是所求的整數(shù)【例12】一個(gè)三位數(shù),被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一個(gè)四位數(shù),被131除余112,被132除余98,那么它可能是_______________;【解析】設(shè)此三位數(shù)為17a+5=18b+12.可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.這個(gè)三位數(shù)為192,498,804.設(shè)此四位數(shù)為131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y14,所以y14一定能被131整除,y=14,145(太大)這個(gè)四位數(shù)是19461．今年是2010年，從今年起年份數(shù)正好為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)乘積的第一個(gè)年份是()。2．已知a＝b＋1（a、b均為非0自然數(shù)），a、b的最小公倍數(shù)是()；如果a是合數(shù)，那么b()是奇數(shù)（填“一定”或“不一定”）。3．在20以內(nèi)的合數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)是()，并用括號中的數(shù)組成比例，這個(gè)比例是()。4．兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是20，要使它們的積最大，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別是()和()。5．一列數(shù)1，1，2，3，5，8，13，21…從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，第2021個(gè)數(shù)是()數(shù)（填“奇”或“偶”）；第2021個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是()。6．若9位數(shù)20082008能夠被3整除，則里的數(shù)是________。7．，都是整數(shù)，大于，且，那么的最大值為()，最小值為()。8．幼兒園里給小朋友分蘋果，420個(gè)蘋果正好均分。但今天剛好又新人園一位小朋友，這樣每個(gè)小朋友就要少分2個(gè)蘋果。原來有()個(gè)小朋友。9．抽獎箱中有1－10的數(shù)字卡，任意抽一張，摸到奇數(shù)的可能性比摸到質(zhì)數(shù)的可能性()。（填“大”“小”“相等”）10．如果兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是126，那么，它們的和是()。11．丁丁也不甘示弱：你們知道著名的“斐波那契”數(shù)列嗎？它是這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，……從第三個(gè)數(shù)開始，以后每個(gè)數(shù)都是它前兩個(gè)數(shù)的和，請問：前2016個(gè)數(shù)中共有多少個(gè)偶數(shù)？12．將八個(gè)不同的合數(shù)填入下面的括號中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，那么A最小是幾？A＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）＝（

）＋（

）13．兩個(gè)四位數(shù)和相乘，要使它們的乘積能被72整除，求和。14．，，都是質(zhì)數(shù)，并且，，，那么____。15．六位自然數(shù)，能被12整除，末兩位數(shù)有()種情況。16．使得是的倍數(shù)的最小正整數(shù)n是()。17．甲、乙兩個(gè)三位數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)，這個(gè)五位數(shù)的后四位為1031。如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲乙兩數(shù)之和是_________。18．的結(jié)果除以，所得到的商再除以…重復(fù)這樣的操作，在第____次除以時(shí)，首次出現(xiàn)余數(shù)。19．用0～9這10個(gè)數(shù)字組成若干個(gè)合數(shù)，每個(gè)數(shù)字都恰好用一次，那么這些合數(shù)之和的最小值是________。20．寫出所有數(shù)字和為11，數(shù)字乘積為20的四位偶數(shù)：________。21．如果兩個(gè)自然數(shù)的和與差的積是23，那么這兩個(gè)自然數(shù)的和除以這兩個(gè)數(shù)的差的商是______。22．已知n個(gè)自然數(shù)之積是2007，這n個(gè)自然數(shù)之和也是2007，那么n的值最大是_______。23．把100分拆成三個(gè)質(zhì)數(shù)（只能被1和它本身整除且大于1的自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)）的和，共有_____種方法。24．將1到9這9個(gè)數(shù)字在算式的每一個(gè)括號內(nèi)各填入一個(gè)數(shù)字，使得算式成立，并且要求所填每一個(gè)括號內(nèi)數(shù)字均為質(zhì)數(shù)？25．已知等式其中a，b是非零自然數(shù)，求a＋b的最大值。26．兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個(gè)奇數(shù)之和是多少？參考答案1．2184【分析】要求該年份可以寫成連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)乘積，且大于2010，可以采用試算法求解，假設(shè)這三個(gè)數(shù)分別是10、11、12，11、12、13等，求出乘積，然后進(jìn)行判斷。【詳解】所以是2184。【點(diǎn)睛】本題如果直接從年份入手是比較復(fù)雜的，而采用試算的方法可以簡化問題。2．a(chǎn)b不一定【分析】因?yàn)閍＝b＋1（a、b均為非0自然數(shù)），所以a、b這兩個(gè)自熱數(shù)是互質(zhì)數(shù)，是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，最小公倍數(shù)即這兩個(gè)數(shù)的乘積，據(jù)此解答即可；根據(jù)偶數(shù)與奇數(shù)的意義，在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)．最小的偶數(shù)是0，最小的奇數(shù)是1，偶數(shù)乘奇數(shù)所得的積一定是偶數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】已知a＝b＋1（a、b均為非0自然數(shù)），a、b的最小公倍數(shù)是a×b；如果a是合數(shù)，那么b不一定是奇數(shù)。【點(diǎn)睛】此題主要考查了求最小公倍數(shù)的方法和奇數(shù)、偶數(shù)的意義，以及偶數(shù)與奇數(shù)數(shù)的性質(zhì)，互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)即這兩個(gè)數(shù)的乘積。3．6、9、12、15、186∶9＝12∶18【分析】找出20以內(nèi)的合數(shù)，在其中再找出3的倍數(shù)，組成比例即可。【詳解】20以內(nèi)的合數(shù)有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、203的倍數(shù)有：6、9、12、15、18這個(gè)比例是6∶9＝12∶18【點(diǎn)睛】本題考查3的倍數(shù)的特征，以及比例的意義。4．713【分析】除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19；據(jù)此解題即可。【詳解】3＋17＝203×17＝517＋13＝207×13＝9191＞51所以，兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是20，要使它們的積最大，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別是7和13。【點(diǎn)睛】本題主要考查了質(zhì)數(shù)的意義，關(guān)鍵是熟記20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。5．奇2【分析】這個(gè)數(shù)列從左到右每3個(gè)數(shù)為一組，每一組循環(huán)中有2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，2021÷3＝673……2，余數(shù)是2，余下的這個(gè)數(shù)是奇數(shù)；由題意知：這串?dāng)?shù)的規(guī)律是1、1、2、3、5、8……，從第三個(gè)數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和，分別計(jì)算這些數(shù)除以3的余數(shù)，找出規(guī)律：每8個(gè)為一循環(huán)，用2021除以8，看看有多少個(gè)循環(huán)，余數(shù)是幾則看循環(huán)數(shù)里第幾個(gè)數(shù)，是幾就余幾。【詳解】2021÷3＝673……2余數(shù)是2，所以余下的這個(gè)數(shù)是奇數(shù)；一串?dāng)?shù)是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……這些數(shù)除以3余數(shù)是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……余數(shù)中每8個(gè)為一循環(huán)，循環(huán)1、1、2、0、2、2、1、0，2021÷8＝252……5，所以這串?dāng)?shù)的第2021個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)是2。【點(diǎn)睛】解決這類問題往往是把重復(fù)出現(xiàn)的部分看成一組，先找出排列的周期性規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解。6．1/4/7【分析】能夠被3整除的數(shù)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，，□中填入1、4、7，可以得到212427，是3的倍數(shù)。【詳解】根據(jù)題目知：20＋□是3的倍數(shù)，所以里填1或4或7。【點(diǎn)睛】本題考查的是3的整除特征，類似的，能夠被9整除的數(shù)各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。7．20088【分析】A、B都是2009的因數(shù)，先找出2009的所有因數(shù)，要使得最大，那么A取最大的因數(shù)2009，B取最小因數(shù)1即可，如果求差的最小值，兩個(gè)因數(shù)最接近即可。【詳解】最大值為最小值為【點(diǎn)睛】本題考查的是求一個(gè)數(shù)的因數(shù)，可以用成對枚舉的方法。8．14【分析】420個(gè)蘋果正好均分，那么人數(shù)是420的因數(shù)，多一個(gè)小朋友也可以均分，那么原來的人數(shù)和現(xiàn)在的人數(shù)都是420的因數(shù)，并且相差1，找出符合要求的情況，再根據(jù)前后分到的蘋果數(shù)相差2來判斷。【詳解】上式中只有14×30＝（14＋1）×（30－2）＝15×28符合題意，所以原有14個(gè)小朋友。【點(diǎn)睛】本題考查的是分解質(zhì)因數(shù)，420的因數(shù)比較多，可以根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)定理判斷是否將420的因數(shù)全部枚舉出來。9．大【分析】不能被2整除的整數(shù)叫奇數(shù)，一般是1、3、5、7、9結(jié)尾的整數(shù)；質(zhì)數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)的數(shù)；據(jù)此分別找出1~10中的奇數(shù)與合數(shù)，個(gè)數(shù)多的可能性大；據(jù)此解答。【詳解】抽獎箱中有1－10的數(shù)字卡，任意抽一張，抽到奇數(shù)的情況與：1，3，5，7，9，共5個(gè)；抽到質(zhì)數(shù)的情況與：2，3，5，7，共4個(gè)；所以摸到奇數(shù)的可能性比摸到質(zhì)數(shù)的可能性大。【點(diǎn)睛】此題考查了奇數(shù)與質(zhì)數(shù)的認(rèn)識，以及可能性大小的判斷。10．23【分析】先將126分解質(zhì)因數(shù)，由于兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，那么它們的最小公倍數(shù)就是二者的乘積，所以兩個(gè)因數(shù)3必須放在一起，可以是9和14，7和18，2和63，顯然只有9和14符合要求。【詳解】，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)互質(zhì)且都是合數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)只能為和，它們的和為。【點(diǎn)睛】本題也可以采用成對枚舉的方法，找出126的因數(shù)，再根據(jù)這兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)進(jìn)行排除。11．672個(gè)【分析】由奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)十奇數(shù)＝奇數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列中數(shù)列是以“奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)……”3個(gè)一周期排列的，所以2016÷3＝672（個(gè)）周期，每個(gè)周期里有1個(gè)偶數(shù)，672×1＝672（個(gè)），即有672個(gè)偶數(shù)。【詳解】2016÷3＝672（個(gè)）672×1＝672（個(gè)）答：前2016個(gè)數(shù)中共有672個(gè)偶數(shù)。【點(diǎn)睛】找到題干中的數(shù)列規(guī)律是解題的關(guān)鍵。12．A＝4＋25＝8＋21＝9＋20＝14＋15；29【分析】首先列出前幾個(gè)合數(shù)4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因?yàn)橄嗉拥暮蠑?shù)互質(zhì)，所以不能同時(shí)為偶數(shù)，要想A盡量小，這兩個(gè)數(shù)也不能都同時(shí)為奇數(shù)，因?yàn)槠婧蠑?shù)比較少，找出8個(gè)來必然很大，所以應(yīng)該是一奇一偶，從這些合數(shù)里選出8個(gè)，合理搭配即可。【詳解】A＝4＋25＝8＋21＝9＋20＝14＋15＝29即A的最小值為29。【點(diǎn)睛】大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考合數(shù)，重在強(qiáng)化合數(shù)以及互質(zhì)的概念。13．；【分析】考慮到，而是奇數(shù)，所以必為8的倍數(shù)，因此可得；四位數(shù)2752各位數(shù)字之和為不是3的倍數(shù)也不是9的倍數(shù)，因此必須是9的倍數(shù)。【詳解】是8的倍數(shù)，那么，經(jīng)過試除，；各位數(shù)字之和能被9整除，所以。【點(diǎn)睛】本題考查的是整除特征，8根據(jù)末三位判斷，9通過各位數(shù)字之和判斷。14．689【分析】質(zhì)數(shù)中，除了2，其余的都是奇數(shù)，而兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，一奇一偶才能得到奇數(shù)，所有這里a一定是2，然后求出b，進(jìn)而求出c，最后求出d。【詳解】為奇數(shù)，若a＝2，b＝31，c＝13，d＝53，那么cd＝13×53＝689。【點(diǎn)睛】本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)，2作為質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，這一點(diǎn)非常容易考查。15．8【分析】采用試除法求解，假設(shè)后兩位是最大情況，取99，用108299除以12，求出余數(shù)，用108299減去余數(shù)，得到最大值，再依次減去12，得到其它符合要求的數(shù)，但要注意不能小于108200。【詳解】試除法：108299÷12＝9024……1199－11＝88、88－12＝76、76－12＝64、64－12＝52、52－12＝40、40－12＝28、28－12＝16、16－12＝4共8種情況。【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)的整除，也可以假設(shè)是108200，先求出最小的，再求出其它符合要求的數(shù)。16．6【分析】，的各個(gè)數(shù)位上都是9，肯定是9的倍數(shù)，所以只要考慮7的倍數(shù)就可以了。【詳解】考慮到111111是7的倍數(shù)，，所以最小的n是6。【點(diǎn)睛】本題考查的是整除特征，對于復(fù)雜的數(shù)，可以考慮進(jìn)行分拆。17．360【分析】設(shè)這個(gè)五位數(shù)是，由于甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，那么甲數(shù)除以9余數(shù)是1，乙數(shù)除以9余數(shù)是8，那么兩數(shù)的乘積除以9余數(shù)是8，所以除以9余數(shù)是8，再根據(jù)數(shù)字和判斷。【詳解】除以9余數(shù)是8；只能等于8，此時(shí)是3；由于甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8，可以組合成【點(diǎn)睛】本題用到了余數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)余數(shù)的可乘性，積的余數(shù)等于余數(shù)的積。18．26【分析】本題其實(shí)為求原式結(jié)果末尾有多少個(gè)連續(xù)的0，0由5和2相乘得到，最關(guān)鍵在于有多少個(gè)5。【詳解】能整除1次5的數(shù)有205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285，290，295共16個(gè)，會乘出16個(gè)連續(xù)的0；能整除2次5的數(shù)有225，275，300共三個(gè)，會乘出6個(gè)連續(xù)的0；能整除3次5的數(shù)有250，會乘出3個(gè)連續(xù)的0。所以共有個(gè)連續(xù)的0，則能整除25次10，第26次首次出現(xiàn)余數(shù)。【點(diǎn)睛】對于的末尾0的個(gè)數(shù)，可以通過得到，其中。19．99【分析】根據(jù)題意，這些合數(shù)之和要盡量的小，首先要選擇這些合數(shù)中是本身是合數(shù)的，有4、6、8、9，還剩下0、1、2、3、5、7，這六個(gè)數(shù)字構(gòu)成兩位數(shù)為合數(shù)，讓十位上的數(shù)盡量的小。【詳解】4、6、8、9本身是合數(shù)；10、27、35均為合數(shù)，所以合數(shù)的最小值為：4＋6＋8＋9＋10＋27＋35＝99。【點(diǎn)睛】本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)，這里組成的合數(shù)并不確定，但最小的和是確定的。20．1154、1514、5114【分析】本題屬于數(shù)字拆分，目的就是講11拆成四個(gè)數(shù)字和，20拆成4個(gè)數(shù)字的乘積，需要確定的是個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)。根據(jù)拆分的特點(diǎn)應(yīng)該從20