第十二單元全等三角形考點1全等三角形的概念和性質1.全等圖形：能夠的圖形叫做全等圖形；2.全等多邊形：能夠的多邊形叫做全等多邊形；3.全等三角形：能夠的三角形叫做全等三角形；4.全等多邊形的性質：全等多邊形的對應邊，對應角；5.全等三角形的性質：全等三角形的對應邊，對應角；考點2全等三角形的判定1.全等三角形判定1——“邊角邊”：兩邊和它們的對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.2.全等三角形判定2——“角邊角”：兩角和它們的對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.3.全等三角形判定3——“角角邊”：兩個角和其中一個角的對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）4.全等三角形判定4——“邊邊邊”：對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.5.直角三角形全等的判定——“HL”：和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．考點3角平分線的性質定理和判定定理1.角平分線的性質定理角的平分線上的點到角兩邊的相等。2.角平分線的判定定理角的內部到角兩邊相等的點在角的平分線上。考點4角的平分線的尺規作圖1．作圖步驟（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E．（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內部交于點C．（3）畫射線OC．射線OC即為所求．2．圖示全等三角形的判定：1．一般三角形的判定定理及推論比較2．一般三角形全等判定的方法選擇3．如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形．【例題】1.如圖，某公園有一個假山林立的池塘．，兩點分別位于這個池塘的兩端，小明想出了這樣一個辦法：先在的垂線上取兩點，，使，過D作交的延長線于點．線段的長即為，兩點間的距離，此處判定三角形全等的依據是()A B. C. D.2.如圖，已知，要使，只需要添加一個條件是（）A. B. C. D.3.如圖，和是的高，交于點，且，，則的長為（）A.3 B.4 C.5 D.64.如圖，在和中，，，．連接，連接并延長交，于點，．若恰好平分，則下列結論①；②；③；④中，正確的有個．A.1 B.2 C.3 D.45.如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發沿直線以的速度移動，過點作的垂線交直線于點．（1）試說明：；（2）當點運動多長時間時，？請說明理由．6.已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段同側作和，且，直線與交于點F．（1）如圖①，求證：；（2）如圖①，若，則＝______°；如圖②，若，則＝______°；如圖③，若，則＝______°；（3）如圖④，若，則______°（用含的代數式表示）；（4）若A、B、C三點不在同一直線上，線段與線段交于點C（交點F至少在中的一條線段上），如圖⑤，若，試判斷與的數量關系，并說明理由．【練經典】7.小紅用如圖所示的方法測量小河的寬度．她利用適當的工具，使，，，點，，在同一直線上，就能保證，從而可通過測量的長度得知小河的寬度．在這個問題中，可作為證明的依據的是（）A.或 B.或C.或 D.或8.如圖，，下列條件中不能判定的是（）A. B. C. D.9.如圖為某單擺裝置示意圖，擺線長，當擺線位于位置時，過點作于點，測得，當擺線位于位置時，與恰好垂直，則此時擺球到的水平距離的長為（）A. B. C. D.10.如圖，和中，點在上，且，和交于點，．求證：．11.如圖，已知，和分別平分和并交于點F．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，若，為的外角角平分線交的延長線于點M，求證：（3）如圖3，在（2）的條件下，若，，求的長．全等三角形模型（1）圖形變換中的全等形圖形變換名稱圖示平移型全等翻折型全等旋轉型全等（2）常見的全等模型模型名稱圖示一線三等角模型手拉手模型半角模型【例題】12.如圖，點、在上，且，、，與交于點O．則下列說法不正確的是（）A. B. C. D.13.如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點F，連接，下列結論：①；②；③平分；④．其中正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個14.已知：如圖，，，，，是垂足，．（1）求證：；（2）求證：．15.（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖3，D，E是D，A，E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【練經典】16.如圖，若，，要使，添加的條件不能是（）A. B. C. D.17.如圖，在和中，，，，．連接、交于點，連接．下列結論：①；②；③平分；④平分其中正確的結論個數有（）個．A.4 B.3 C.2 D.118.如圖，已知點B，E，C，F在同一條直線上，，，．（1）求證：；（2）若，，求度數．19.通過對數學模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學習，解決下列問題：[模型呈現]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應用]如圖2，且，且，請按照圖中所標注的數據，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．20.（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結論：________________．（2）探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠BAD．上述結論是否仍然成立？請說明理由．（3）方法應用：如圖3，E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動點，連接AE、AF，并且始終保持∠EAF=45°，連接EF并延長與AD的延長線交于點G，說明AG=EG．（正方形四邊相等，四個角均為90°）全等三角形輔助線輔助線的名稱圖示連結法倍長中線法截長補短法【例題】21.如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與面積之和為（）A.36 B.21 C.30 D.2222.如圖，，，，，點M為的中點，，______．23如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD24.（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【練經典】25.如圖，已知：，，，，則（）A. B. C.或 D.26.如圖1，AD為△ABC的中線，延長AD至E，使DE＝AD．（1）試證明：△ACD≌△EBD；（2）用上述方法解答下列問題：如圖2，AD為△ABC的中線，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求證：BG＝AC．27.如圖，若和均為等腰直角三角形，，點A、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長．28.如圖，，，，，．（1）求的度數；（2）以E為圓心，以長為半徑作弧；以F為圓心，以長為半徑作弧，兩弧交于點G，試探索的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請說明理由．29.【觀察發現】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．角平分線的判定和性質圖形性質∵∠AOC＝∠BOC，CD⊥AO，CE⊥BO∴CD＝CE判定∵CD⊥AO，CE⊥BO，CD＝CE∴∠AOC＝∠BOC【例題】30.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A.7.5 B.8 C.15 D.無法確定31.如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點M，聯結OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A.62° B.56° C.52° D.46°32.如圖，在中，，平分，于E，有下列結論：①；②；③；④平分；其中正確的是（）個．A.1 B.2 C.3 D.433.如圖，是的角平分線，于點，，和的面積分別為26和16，則的面積為______．34.如圖，在四邊形中，，，為的中點，連接、，且平分，延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）求證：是的平分線；【練經典】35.如圖，在中，，的平分線交于點，于，如果，，，且，那么的長度是（）A.2 B.3 C.4 D.536.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD=5，P為AB上一動點，則PD的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.537.如圖，點P為定角平分線上的一個定點，且與互補．若在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點，則以下結論中，不正確的是（）A.的值不變 B.C.的長不變 D.四邊形的面積不變38.如圖，的三邊長分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個三角形，則等于__________．39.如圖，在中，為邊上的高，是的角平分線，點F為上一點，連接，．（1）求證：平分；（2）連接交于點G，若，求證：；（3）在（2）的條件下，當，時，求線段的長．新考法【新定義小練】40.規定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，，回答下列問題：（1）求證：和是兄弟三角形．（2）取的中點P，連接，請證明．41.定義：有一組對角互補的四邊形叫做對補四邊形．（1）已知四邊形是對補四邊形．①若，則______°．②如圖①，、的平分線分別與相交于點，且．求證：；（2）如圖②，在四邊形中，對角線交于點，且平分，，平分，與交于點，且于點，則四邊形是對補四邊形嗎？請說明理由；（3）已知四邊形是對補四邊形，其三個頂點如圖③所示，連接．若平分，平分，且直線，交于點（與點不重合），請直接寫出與之間數量關系．【閱讀材料類小練】42.閱讀與思考下面是小明同學的數學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質解決問題．例：如圖1，是內一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，平分，．，．在和中，，（依據1）（依據2），，，．……任務一：上述解答過程中的依據1，依據2分別是___________，___________；任務二：請將上述解