專題06三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風箏模型近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風箏（鷹爪）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結論：∠O=（∠D∠B）。飛鏢模型結論的常用證明方法：例1．（2023·山西晉城·七年級校聯考期末）閱讀下列材料，并完成相應的任務：有趣的“飛鏢圖”．如圖1的四邊形，這種形似飛鏢的四邊形，我們形象地稱它為“飛鏢圖”．它實際上就是凹四邊形，同學們通過探究發現：凹四邊形中最大內角外面的角等于其余三個內角之和，即如圖1，．“智慧小組”通過互學證明了這個結論：方法一：如圖2，連接，則在中，，即，又：在中，，∴，即．“創新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長至F，∵和分別是和的一個外角，…………任務：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據的一個數學定理是______；(2)根據“創新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．例2．（2023春·河南南陽·七年級校考階段練習）互動學習課堂上，某小組同學對一個課題展開了探究.小亮：已知，如圖①，在中，點D是內一點，連接，試探究與之間的關系．

小紅：以用三角形內角和定理去解決．小明：外角的相關結論也能解決．(1)請你在橫線上補全小紅的探究過程：∵（___________________）∴（等式性質）∵________，∴________．∴．（________________）(2)請你按照小明的思路完成探究過程．(3)利用探究的結果填空．如圖②，，則_______．

例3．（2023·湖北·八年級專題練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（

）．A． B． C． D．例4.（2023·浙江·八年級假期作業）如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點，求證．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮你的聰明才智，解決以下問題：(1)觀察“規形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由；(2)請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經過點B、C，若，則_____°；②如圖3，平分，平分，若，，則______°；③如圖4，，的10等分線相交于點，，…，，若，，求的度數．模型2、風箏模型（鷹爪模型）或角內翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結論：∠A+∠O=∠2∠1。圖3圖43）角內翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE內部時，結論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點C落在四邊形ABFE外部時，結論：2∠C=∠2∠1。例1．（2023·四川達州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）例2．（2023春·江蘇鎮江·七年級校考階段練習）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處，如果，那么的度數為．

例3．（2023·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，若∠1?∠2=60°，則∠B的度數是．例4．（2023·甘肅天水·七年級校聯考期末）如圖①，、是四邊形的兩個不相鄰的外角．

(1)猜想并說明與、的數量關系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點．若，，求的度數；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請直接寫出、與的數量關系．例5．（2023春·河南南陽·七年級統考期末）請閱讀下列材料，并完成相應任務．在數學探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1，銳角內部有一點D，在其兩邊和上各取任意一點E，F，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長至點M，，（

依據

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測量所得），∴，（計算所得）．∴（等量代換）．任務：(1)小麗證明過程中的“依據”是指數學定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴謹的推理證明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點D在的內部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理(3)如圖，若點D在銳角外部，與相交于點G，其余條件不變，原題中結論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請探索之間的關系．例6．（2023春·吉林長春·七年級統考期末）如圖，是一張三角形的紙片，點、分別是邊、上的點將沿折疊，點A落在點的位置．(1)如圖①，當點落在邊上時，若，求的大小．(2)如圖②，當點落在內部時，若，，求的大小．(3)當點落在外部時，如圖③，若，，則______；如圖④，、和的數量關系為______．課后專項訓練1．（2023·成都市七年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°．將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若，，則∠B＝（）A．75° B．85° C．95° D．100°2．（2023·湖北八年級課時練習）如圖，在中，，將沿直線折疊，點C落在點D的位置，則的度數是（

）．A． B． C． D．無法確定3．（2023·山東七年級課時練習）如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數為（

）．A． B． C． D．4．（2023春·湖南衡陽·七年級統考期末）如圖，將沿，翻折，頂點A，B均落在點O處，且與重合于線段，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．5．（2023·重慶·七年級專題練習）如圖，在中，，，點D，E分別在邊AB，AC上，將沿DE翻折，使點A落在點F處，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東廣州·八年級統考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠37．（2023·新疆烏魯木齊·八年級校考期中）如圖，，，，則（

）

A． B． C． D．8．（2023春·河南洛陽·七年級統考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個的角后得到一個六邊形，則的度數為（

）

A． B． C． D．9．（2023春·重慶大渡口·七年級統考期末）如圖，在中，，點，分別為，上一點，將沿直線翻折至同一平面內，點落在點處，，分別交邊于點，．若，則的度數為．

10．（2023·天津·八年級校考期中）如圖，中，，將沿翻折后，點A落在邊上的點處．如果，那么的度數為．11．（2023·河北石家莊·八年級校考期末）如圖，等邊三角形中，點，分別在邊，上，把沿直線翻折，使點落在點處，，分別交邊于點，，若，則的度數為．12．（2023·河南信陽·八年級校考階段練習）如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2=70°，則∠B=．13．（2023·吉林白城·八年級統考階段練習）[題目]如圖①，∠BAC內部有一點D．連接BD，CD．著∠A=68°，∠ABD=16°．∠ACD=24°，求∠BDC的大小；[應用]如圖②，在五角星中，∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=____度；[擴展]如圖③，在∠BAD內部有兩個向上突起的角，若∠ABE=20°，∠ECF=45°，∠ADF=15°，∠A=70°，則∠BEC+∠CFD=度．14．（2023·浙江·八年級期末）如圖（1）是一個三角形的紙片，點D、E分別是邊上的兩點，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關系，并說明理由．15．（2023·河北唐山·八年級校考階段練習）已知，在四邊形ABCD中，．（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關系，并證明．（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關系，并證明．

16．（2023·成都市·七年級專題練習）箭頭四角形模型規律如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”這個規律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應用（1）直接應用：①如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如圖3，∠ABE、∠ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF交于點F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，則∠BFC＝________．③如圖4，BOi、COi分別為∠ABO、∠ACO的2019等分線（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，則∠BO1000C＝________度．（2）拓展應用：如圖5，在四邊形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內一點，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四邊形OBCD的面積．17．（2022春·廣東清遠·七年級統考期末）（1）如圖①，在