第05講線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直的判定與性質(zhì)（核心考點(diǎn)講與練）考點(diǎn)考點(diǎn)考向1.直線(xiàn)與平面垂直(1)直線(xiàn)與平面垂直的定義如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(O)的任何直線(xiàn)都垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面互相垂直.(2)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理及其推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α推論1如果在兩條平行直線(xiàn)中，有一條垂直于平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α推論2如果兩條直線(xiàn)垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義如果兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得兩條交線(xiàn)互相垂直，就稱(chēng)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α方法技巧方法技巧1.證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．2.利用判定定理證明平面與平面垂直的一般方法先從現(xiàn)有的直線(xiàn)中尋找平面的垂線(xiàn)，若這樣的垂線(xiàn)存在，則可通過(guò)線(xiàn)面垂直來(lái)證明面面垂直；若這樣的垂線(xiàn)不存在，則需通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)證明3.證明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理.在證明面面垂直時(shí)，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，即為所證的線(xiàn)面垂直，組織論據(jù)證明即可能力拓展能力拓展題型一：線(xiàn)面垂直的判定一、填空題1．（2021·上海浦東新·高二期中）直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面上的___________直線(xiàn)都垂直，那么此直線(xiàn)與該平面垂直.2．（2021·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）若，分別為四棱柱的棱，的中點(diǎn)，則加上條件________，就可得結(jié)論：平面.（寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)條件）二、解答題3．（2021·上海市甘泉外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1.(1)求證：平面C1BD；(2)求證：⊥平面A1DC.4．（2021·上海市七寶中學(xué)高二期中）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，，，，，，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.5．（2021·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)：（1）求的取值范圍：（2）若為面內(nèi)的一點(diǎn)，且，，求的余弦值：（3）若、分別是所在正方形棱的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱上能否找到一點(diǎn)，使平面?若能，試確定點(diǎn)的位置，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型二：線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)平行3．（2018·上海市寶山中學(xué)高二期中）表示直線(xiàn)，表示平面，下列命題正確的是A．若，，則 B．若⊥，⊥，則⊥C．若⊥，⊥，則 D．若⊥，⊥，則二、填空題4．（2021·上?！とA師大二附中高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方體中，分別為，和的中點(diǎn)，則下列關(guān)系：①；②平面；③；④平面，正確的編號(hào)為_(kāi)__________________.題型三：線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直一、單選題1．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖所示，一個(gè)燈籠由一根提竿PQ和一個(gè)圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點(diǎn)A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)AB垂直的次數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則P點(diǎn)在平面ABC上的射影是△ABC的（

）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心三、解答題5．（2021·上海市市西中學(xué)高二期中）如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°(1)證明：C1C⊥BD；(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD?請(qǐng)給出證明．題型四：面面垂直的判定一、單選題1．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）在三棱錐中，若，，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、填空題2．（2021·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱，，則它的5個(gè)面中，互相垂直的面有__________對(duì).3．（2021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在平面外，側(cè)棱，，則該幾何體的5個(gè)面中，互相垂直的面有______對(duì)三、解答題4．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)若點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)平面；(2)求證：平面平面.5．（2021·上海·復(fù)旦附中高二期中）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面．(1)求證：面面；(2)求四棱錐的側(cè)面積．題型五：面面垂直證線(xiàn)面垂直一、單選題1．（2021·上海市南洋模范中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)是正四棱錐V-ABCD的側(cè)棱VA上異于點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)在面VBC上的射影落在（

）A．△VBC的外部 B．△C．△VBC2．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖所示，在斜三棱柱中，，且，過(guò)作平面，垂足為，則點(diǎn)在（

）A．直線(xiàn)上 B．直線(xiàn)上 C．直線(xiàn)上 D．內(nèi)部3．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）已知，是兩個(gè)不同的平面，直線(xiàn)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題4．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖，在棱長(zhǎng)均為的正四面體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.三、解答題5．（2021·上?！げ軛疃懈叨A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面平面，.(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到平面的距離.題型六：空間垂直的轉(zhuǎn)化一、單選題1．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二期中）已知、為異面直線(xiàn)，平面，平面．平面與外的直線(xiàn)滿(mǎn)足，，則（

）A．，且B．且C．與相交，且交線(xiàn)垂直于D．與相交，且交線(xiàn)平行于二、填空題2．（2021·上海市七寶中學(xué)高二階段練習(xí)）已知A，，，，為空間不共面的五個(gè)點(diǎn)，順次用線(xiàn)段連接這五個(gè)點(diǎn)構(gòu)成空間五邊形，則在此五邊形中互相垂直的邊最多有多少______對(duì)鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）設(shè)?為兩條直線(xiàn)，?為兩個(gè)平面，則下列命題中假命題是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則2．（2021·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，點(diǎn)為正方形邊上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到如圖所示的四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線(xiàn)段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則在四棱錐中，下列說(shuō)法：①直線(xiàn)與直線(xiàn)必不在同一平面上；②存在點(diǎn)使得直線(xiàn)平面；③存在點(diǎn)使得直線(xiàn)與平面平行；④存在點(diǎn)使得直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.以上敘述正確的是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．③④3．（2021·上海市金山中學(xué)高二期中）若a，b是異面直線(xiàn)，則下列命題中的假命題為（

）A．過(guò)直線(xiàn)a有且僅有一個(gè)平面與直線(xiàn)b平行B．可能存在平面與直線(xiàn)a，b都垂直C．唯一存在一個(gè)平面與直線(xiàn)a，b等距D．過(guò)直線(xiàn)a至多可以作一個(gè)平面與直線(xiàn)b垂直4．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知直線(xiàn)和平面，且，那么（

）A． B．C． D．5．（2021·上海市甘泉外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）在三棱錐P﹣ABC中，頂點(diǎn)P到AB、AC和BC的距離都相等，P在底面的投影為O且在△ABC內(nèi)，則點(diǎn)O是△ABC的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心6．（2021·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對(duì)角線(xiàn)BD折起，設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A′，使二面角A′—BD—C為直二面角，給出下面四個(gè)命題：①A′D⊥BC；②三棱錐A′—BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在線(xiàn)段PC上，AD⊥PC．將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，連接PB，PC，設(shè)PB的中點(diǎn)為N，如圖2．對(duì)于圖2，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN二、填空題8．（2021·上海市松江二中高二期中）“棱柱有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形”是“棱柱是直棱柱”的______________條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”）9．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）設(shè)均為直線(xiàn)，其中在平面內(nèi)，“”是“且”的___________條件.10．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）已知所在的平面，且，連接AE，AF，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是___________.11．（2021·上?！とA東師大附屬楓涇中學(xué)高二期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，，則為_(kāi)__________.12．（2021·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）一條長(zhǎng)為的線(xiàn)段夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別為和，由這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)向兩個(gè)平面的交線(xiàn)引垂線(xiàn)，則垂足間的距離為_(kāi)_______．13．（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉臑”，如圖在塹堵中，，且.有下列命題：①四棱錐為“陽(yáng)馬”；②四面體為“鱉臑”③四棱錐體積最大為；④過(guò)A點(diǎn)分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則.則正確命題是___________.14．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二期中）如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．給出下列命題：①PB⊥AC；②平面PAB與平面PCD的交線(xiàn)與AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD為銳角三角形．其中正確命題的序號(hào)是________．15．（2021·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①與是異面直線(xiàn)；②與平行；③與成60°角；④與垂直.請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)____________.16．（2021·上海市松江二中高二期中）在正方體中，，點(diǎn)P在平面內(nèi)，，則點(diǎn)P到距離的最大值為_(kāi)_____________.17．（2021·上海市松江二中高二期中）如圖，在三棱錐中，能證明的條件是_______．①，；②，；③平面平面，；④，.三、解答題18．（2021·上海·復(fù)旦附中高二期中）已知四棱柱中，，(1)判斷與是否平行？說(shuō)明理由．(2)若面面，面面，且面面，判斷與面是否垂直？說(shuō)明理由．19．（2021·上海市金山中學(xué)高二期末）圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，線(xiàn)段是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且，.(1)若為線(xiàn)段中點(diǎn)，求證：平面；(2)求圓錐的側(cè)面積，并求三棱錐體積的最大值；(3)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，點(diǎn)沿圓錐表面運(yùn)動(dòng)到母線(xiàn)中點(diǎn)，求該點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的最小值.20．（2021·上?！とA東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖1，矩形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)折起至平面平面（如圖2），點(diǎn)在線(xiàn)段上，平面.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）若在棱，分別取中點(diǎn)，，試判斷點(diǎn)與平面的關(guān)系，并說(shuō)明理由.21．（2021·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.22．（2022·上海·格致中學(xué)高二期末