專題01相交線與平行線全章高頻考點專練（5個概念2個判定2個性質(zhì)2種方法2種思想專練）5個概念【考點題型一】相交線【例1】（2023?興慶區(qū)校級開學(xué)）如圖，從點到點有3條路，其中走最近，其數(shù)學(xué)依據(jù)是A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線 B．兩條直線相交只有一個交點 C．兩點之間的所有連線中，線段最短 D．直線比曲線短【分析】根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)解答．【解答】解：從點到點有3條路，其中走最近，其數(shù)學(xué)依據(jù)是兩點之間的所有連線中，線段最短．故選：．【點評】本題考查了兩點之間線段最短的應(yīng)用，正確應(yīng)用線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋?路北區(qū)期末）根據(jù)語句“直線與直線相交，點在直線上，直線不經(jīng)過點．”畫出的圖形是A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線與直線相交，點在直線上，直線不經(jīng)過點進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：．直線不經(jīng)過點，故本選項不合題意；．點在直線上，故本選項不合題意；．點在直線上，故本選項不合題意；．直線與直線相交，點在直線上，直線不經(jīng)過點，故本選項符合題意；故選：．【點評】本題主要考查了相交線以及點與直線的位置關(guān)系，兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線為相交線．【變式1-2】．（2023春?蕭縣校級月考）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點個數(shù)是個．A．3個 B．1或3個 C．1或2或3個 D．0或1或2或3個【分析】直線的位置關(guān)系不明確，應(yīng)分情況討論．【解答】解：當(dāng)三條直線平行時，交點個數(shù)為0；當(dāng)三條直線相交于1點時，交點個數(shù)為1；當(dāng)三條直線中，有兩條平行，另一條分別與他們相交時，交點個數(shù)為2；當(dāng)三條直線互相不平行時，交點個數(shù)為3；所以，它們的交點個數(shù)有4種情形．故選：．【點評】本題考查相交線問題，涉及直線相交的相關(guān)知識，難度中等．【變式1-3】．（2023春?金鄉(xiāng)縣月考）一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直線兩兩相交，最多有10個交點；條直線兩兩相交，最多有個交點．【分析】由已知一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直線兩兩相交，最多有10個交點總結(jié)出：在同一平面內(nèi)，條直線兩兩相交，則有個交點，代入即可求解．【解答】解：三條直線兩兩相交，最多有3個交點，即；4條直線兩兩相交，最多有6個交點，即；5條直線兩兩相交，最多有10個交點，即，條直線兩兩相交，則最多有個交點，故答案為：．【點評】此題考查的知識點是相交線，關(guān)鍵是此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊到一般猜想的方法．【變式1-4】．（2023春?薩爾圖區(qū)校級月考）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有個交點．【分析】由所給條件可得條直線相交最多有個交點，令即可求解．【解答】解：2條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有個交點，4條直線相交最多有個交點，條直線相交最多有個交點，條直線相交最多有190個交點．故答案為190．【點評】本題考查相交線交點個數(shù)問題，直線兩兩相交時去掉重復(fù)交點是解題的關(guān)鍵．【考點題型二】“三線八角”【例2】．（2023春?黃石港區(qū)期末）如圖，圖中與是同位角的是A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【分析】根據(jù)同位角的定義作答．【解答】解：（1）（2）（4）中，與是同位角；圖（3）中，與不是同位角，因為這兩個角的邊所在的直線沒有一條公共邊．故選：．【點評】兩條直線被第三條直線所截，在截線的同側(cè)，在兩條被截直線的同旁的兩個角是同位角．如果兩個角是同位角，那么它們一定有一條邊在同一條直線上．【變式2-1】．（2023秋?同安區(qū)期末）如圖，和的位置關(guān)系是A．對頂角 B．同位角 C．內(nèi)錯角 D．同旁內(nèi)角【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，由此即可判斷．【解答】解：和的位置關(guān)系是同位角．故選：．【點評】本題考查同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的定義．【變式2-2】．（2023春?浦城縣期中）如圖所示，與是一對A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．對頂角【分析】根據(jù)“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”的意義進行判斷即可．【解答】解：與是直線和直線被直線所截得到的同旁內(nèi)角，故選：．【點評】本題考查“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”的意義，理解和掌握“同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角”的特征是正確判斷的前提．【變式2-3】．（2023春?石家莊期中）如圖，直線、被直線所截，與是A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．對頂角【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，由此即可得到答案．【解答】解：線、被直線所截，與是同位角．故選：．【點評】本題考查同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的定義．【變式2-4】．（2023春?禮泉縣期中）如圖，直線，被直線所截，下列各組角屬于同旁內(nèi)角的是A．與 B．與 C．與 D．與【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的意義，逐一判斷即可解答．【解答】解：、與屬于鄰補角，故不符合題意；、與屬于同旁內(nèi)角，故符合題意；、與屬于對頂角，故不符合題意；、與屬于內(nèi)錯角，故不符合題意；故選：．【點評】本題考查了對頂角、鄰補角，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】．（2023春?海淀區(qū)校級期末）如圖，圖中與是同位角的序號是A．②③ B．②③④ C．①②④ D．③④【分析】根據(jù)同位角的定義逐個判斷即可．【解答】解：圖①中和是同位角，圖②中和是同位角，圖③中和不是同位角，圖④中和是同位角，故選：．【點評】本題考查了同位角的定義，能夠理解同位角的定義是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的運用．【變式2-6】．（2023春?貴州期中）如圖所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．（1）請指出與是同旁內(nèi)角的有哪些角？請指出與是內(nèi)錯角的有哪些角？（2）若，測得，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角、內(nèi)錯角的定義（兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角；處于兩條直線之間，處于第三條直線兩側(cè)的兩個角叫內(nèi)錯角）逐個判斷即可．（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）與是同旁內(nèi)角的有，，；與是內(nèi)錯角的有，；（2），，，，往上彎了．【點評】本題考查了對同旁內(nèi)角定義，內(nèi)錯角定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力，題目是一道比較好的題目，難度適中．【變式2-7】．（2023春?蒲城縣期中）如圖，已知直線與交于點，與交于點，平分，若，．（1）求的度數(shù)；（2）寫出一個與互為同位角的角；（3）求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)對頂角相等可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求的度數(shù)；（2）根據(jù)同位角的定義可求與互為同位角的角；（3）根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可求，再根據(jù)已知條件和對頂角相等可求的度數(shù)．【解答】解：（1），，平分，；（2）與互為同位角的角是；（3），，，，．【點評】本題考查了同位角的定義，角平分線定義，對頂角、鄰補角定義的應(yīng)用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．【考點題型三】平行線【例3】．（2023春?東昌府區(qū)校級月考）下列語句正確的有個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線，外一點，畫直線，使，且④若直線，，則．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系是相交、平行；過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行進行分析即可．【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；②過一點有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯誤，應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；③過兩條直線，外一點，畫直線，使，且，只有時才能畫出，故說法錯誤；④若直線，，則，說法正確；故選：．【點評】此題主要考查了平行線，關(guān)鍵是掌握平行公理：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【變式3-1】．（2023春?敦化市期末）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有相交和兩種位置關(guān)系．【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是平行和相交，故答案為：平行．【點評】此題主要考查了平行線，關(guān)鍵是掌握在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．【變式3-2】．（2023春?雙牌縣期末）下列說法正確的有（填序號）．①同位角相等；②一條直線有無數(shù)條平行線；③在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線；④在同一平面內(nèi)，如果，，則；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，平行公理以及平行線與線段的區(qū)別對各小題分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：①應(yīng)是兩直線平行，同位角相等，故本小題錯誤；②一條直線有無數(shù)條平行線，正確；③因為線段有端點，所以有長短，不相交也不一定平行，故在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段不一定是平行線，故本小題錯誤；④在同一平面內(nèi)，如果，，則，符合平行公理，正確；⑤應(yīng)為過直線外一點可以而且只可以畫一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤，故答案為：②④．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及平行公理，都是基礎(chǔ)知識，需要熟練記憶．【變式3-3】．（2023春?青龍縣期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種，．【分析】在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行或相交．【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交，平行．故答案為：平行，相交【點評】本題考查了在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系．【考點題型四】平移【例4】．（2023春?南山區(qū)期末）如圖，將直角沿邊的方向平移到的位置，連結(jié)，若，，則的長為A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，，，則，即，，，故選：．【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【變式4-1】．（2023春?鼎城區(qū)期末）如圖，在三角形中，，將三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，則陰影部分的面積是A．15 B．18 C．21 D．不確定【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出，再根據(jù)進行計算即可．【解答】解：如圖，連接，由平移的性質(zhì)可知，，，故選：．【點評】本題考查平移的性質(zhì)，掌握平移前后對應(yīng)線段平行且相等是正確解答的前提．【變式4-2】．（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，，，，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，根據(jù)周長公式計算，得到答案．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知：，，，陰影部分的周長，故答案為：11．【點評】本題考查的是平移的性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小、經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等．【變式4-3】．（2023秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，將長為，寬為的長方形先向右平移，再向下平移，得到長方形，則陰影部分的面積為．【分析】利用平移的性質(zhì)求出空白部分矩形的長，寬即可解決問題．【解答】解：由題意，空白部分是矩形，長為，寬為，陰影部分的面積，故答案為：18．【點評】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式4-4】．（2023春?重慶期末）如圖，在平面直角坐標系中，三角形三個頂點的坐標分別是，，，三角形中任意一點，，經(jīng)平移后對應(yīng)點為，，將三角形作同樣的平移得到三角形，點，，的對應(yīng)點分別為，，．（1）點的坐標為，點的坐標為；（2）①畫出三角形；②寫出三角形的面積；（3）過點作軸，交于點，則點的坐標為．【分析】（1）由點的對應(yīng)點坐標知，需將三角形向左平移6個單位、向上平移2個單位，據(jù)此可得；（2）①根據(jù)平移規(guī)律求出點的坐標，根據(jù)，，點的坐標即可畫出三角形；②利用割補法求解可得答案；（3）設(shè)，利用面積法求解．【解答】解：（1）點的坐標為，點的坐標為，即，；故答案為：，；（2）①如圖，△即為所求；②△的面積；（3）設(shè)，則有，解得，，故答案為：．【點評】此題主要考查了平移作圖，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點平移后的位置．【變式4-5】．（2023春?雞西期末）按要求畫圖及填空：在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示平面直角坐標系，原點及的頂點都在格點上．（1）點的坐標為．（2）將先向下平移2個單位長度，再向右平移5個單位長度得到△，畫出△．（3）計算△的面積．【分析】（1）根據(jù)點的位置寫出坐標即可．（2）根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點，，即可．（3）利用分割法求面積即可．【解答】解：（1）如圖，．故答案為：．（2）如圖，△即為所求作．（3）．【點評】本題考查作圖平移變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】．（2023秋?黃石月考）如圖，在邊長為1個單位的正方形網(wǎng)格中，經(jīng)過平移后得到△，圖中標出了點的對應(yīng)點．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點和無刻度的直尺畫圖并解答相關(guān)的問題：（1）畫出△；（2）畫出的高；（3）求的面積為；（4）在的右側(cè)確定格點，使的面積和的面積相等，這樣的點有個．【分析】（1）根據(jù)題意分別作出，，的對應(yīng)點，，即可；（2）根據(jù)格點垂直畫法畫出高即可；（3）利用分割法求解即可；（4）找出關(guān)于對稱的對應(yīng)點，利用等高模型解決問題即可．【解答】解：（1）如圖1，根據(jù)題意，向下平移一格，再向左平移6格；（2）如圖2，線段即為所求；（3）如圖3，，，，；故答案為：7.5．（4）如圖4，找出關(guān)于對稱的對應(yīng)點，過作平行線，與格點的交點即為所求；故答案為：8．【點評】此題考查了作圖平移變換，三角形的面積，三角形的高等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．【考點題型五】命題【例5】．（2023春?民權(quán)縣月考）下列命題中真命題是A．兩個銳角之和為鈍角 B．兩個銳角之和為銳角 C．鈍角大于它的補角 D．銳角小于它的余角【分析】根據(jù)補角、余角的定義結(jié)合反例即可作出判斷．【解答】解：、兩個角的和是，是銳角，不正確；、兩個的角之和是，是鈍角，不正確；、鈍角大于，它的補角小于，正確；、銳角的余角是，不正確．故選：．【點評】可以舉具體角的度數(shù)來證明．【變式5-1】（2023春?大竹縣校級期末）下列說法正確的是A．同位角相等 B．對頂角相等 C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 D．兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角相等【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對、、進行判斷；根據(jù)對頂角的性質(zhì)對進行判斷．【解答】解：、兩直線平行，同位角相等，所以選項錯誤；、對頂角相等，所以選項正確；、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，所以選項錯誤；、兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，所以選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果那么”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．【變式5-2】．（2023春?雙遼市期中）（1）如圖，，，，試說明；（2）若把（1）中的題設(shè)中的“”與結(jié)論“”對調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和判定及等量代換可說明（2）用平行線性質(zhì)與判定定理，結(jié)合等量代換可得答案．【解答】解：（1），，，，，，；（2）把題設(shè)中的“”與結(jié)論“”對調(diào)，所得命題為真命題，理由如下：，，，，，，．【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)與判定定理，并能熟練應(yīng)用．【變式5-3】．（2023春?汝南縣期末）發(fā)現(xiàn)：如圖，內(nèi)有一點：過點畫交于點，畫交于點；根據(jù)所畫圖形試說明：與的數(shù)量關(guān)系；驗證：完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：探究：某數(shù)學(xué)興趣小組通過以上練習(xí)發(fā)現(xiàn)了命題“兩邊分別平行的兩個角相等”，甲同學(xué)認為該命題是真命題并畫了圖1進行驗證，乙同學(xué)對甲同學(xué)的判斷提出質(zhì)疑，認為該命題不一定成立，是假命題，并作圖如圖2所示，題設(shè)與甲同學(xué)相同，得到，根據(jù)乙同學(xué)的作圖，試判斷此時與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．歸納：綜合甲乙兩同學(xué)的證明得到結(jié)論：兩邊分別平行的兩個角．【分析】驗證：利用平行線的性質(zhì)和等量代換進行填空即可；探究：結(jié)合圖1和圖2，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：驗證：如圖，，（兩直線平行，同位角相等），，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），．故答案為：；兩直線平行，同位角相等；；探究：兩邊分別平行的兩個角相等或互補，理由：如圖1，，．，，．兩邊分別平行的兩個角相等；如圖2，，．，，．兩邊分別平行的兩個角互補，綜上，兩邊分別平行的兩個角相等或互補．故答案為：相等或互補．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，分類討論是思想方法，等量代換，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】．（2023春?鹽山縣期末）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．（1）如圖，，數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們根據(jù)圖形特征添加一個關(guān)于角的條件，使得，并給出證明過程．小麗添加的條件：．請你幫小麗將下面的證明過程補充完整．證明：（已知）（已知）（等量代換）（2）拓展：如圖，請你從三個選項①，②平分，③中任選出兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明．①條件：，結(jié)論：（填序號）．②證明：．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理解答；（2）根據(jù)真命題的概念寫出命題的條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定定理和性質(zhì)定理、角平分線的定義解答．【解答】（1）證明：（已知），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（等量代換）；（2）①條件：，（答案不唯一），結(jié)論：平分，②證明：，，，，，即平分．故答案為：（1）；兩直線平行，同位角相等；；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）①、①③；②，，，，，，即平分．【點評】本題考查的是命題的真假判斷、平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】．（2023春?清江浦區(qū)期末）探究問題：已知，畫一個角，使，，且交于點．與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）我們發(fā)現(xiàn)與有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．①圖1中與數(shù)量關(guān)系為；圖2中與數(shù)量關(guān)系為；請選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個真命題（用文字敘述）．（2）應(yīng)用②中的真命題，解決以下問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質(zhì)即可判斷；②根據(jù)平行線的性質(zhì)解決問題即可．（2）設(shè)兩個角分別為和，由題意或，解方程即可解決問題．【解答】解：（1）①如圖1中，．如圖2中，，故答案為：，．理由：如圖1中，，，，，．如圖2中，，，，，．②結(jié)論：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．故答案為：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．（2）設(shè)兩個角分別為和，由題意或，解得或，這兩個角的度數(shù)為，或和．【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式5-7】．（2023春?廣陵區(qū)月考）如圖，已知直線，給出下列信息：①；②平分；③．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號），并說明理由；（2）在（1）的條件下，若比的2倍少3度，求的度數(shù)．【分析】（1）選擇的條件是②③，結(jié)論是①，由，得，從而，又平分，得，即可得，故；（2）設(shè)，可得，即可解得，故．【解答】解：（1）選擇的條件是②③，結(jié)論是①，理由如下：，，，，平分，，，即，；（2）設(shè)，則，，，解得，，．【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線性質(zhì)，角平分線的概念等知識．【變式5-8】．（2023春?張灣區(qū)期中）如圖，直線，被直線所截，直線，被所截．請你從以下三個條件：①；②；③中選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，得出一個正確的命題．（1）請按照：“∵____，____，∴____”的形式，寫出所有正確的命題；（2）在（1）所寫的命題中選擇一個加以證明，寫出推理過程．【分析】（1）以三個條件的任意2個為題設(shè)，另外一個為結(jié)論組成命題即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)進行證明．【解答】解：（1）命題，；；命題，；；命題，；；（2）證明命題，，，，，即．【點評】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果，那么”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論．命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．2個判定【考查題型六】垂線【例6】．（2023春?澄邁縣期末）過點向邊作垂線段，下列畫法中正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)垂線段的定義及題意逐個圖進行判斷即可得出正確結(jié)論．【解答】解：．此選項是過點作邊的垂線段，故錯誤；．此選項是過點作邊的垂線段，故錯誤；．此選項是過點作邊的垂線段，故此項正確；．此選項是過點作邊的垂線段，故錯誤．故選：．【點評】本題考查了垂線段的定義及作法，是一道基礎(chǔ)題，解題時要善于觀察，準確理解垂線段的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】．（2023春?孟村縣期末）已知，如圖所示，，垂足為，為過點的一條直線，則與的關(guān)系一定成立的是A．相等 B．互余 C．互補 D．互為對頂角【分析】根據(jù)圖形可看出，的對頂角與互余，那么與就互余．【解答】解：圖中，（對頂角相等），又，，，兩角互余．故選：．【點評】本題考查了余角和垂線的定義以及對頂角相等的性質(zhì)．【變式6-2】．（2022秋?太倉市期末）如圖，直線與相交于點，，．（1）如圖中與互補的角是；（把符合條件的角都寫出來）（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)互補的兩個角的和等于，結(jié)合圖形找出與的和等于的角即可；（2）設(shè)，可以得到，然后列式求解即可．【解答】解：（1），與互補；，，，，，與互補；綜上：和與互補．故答案為：，．（2）設(shè)，則，，（對頂角相等），，即，解得：．．【點評】本題考查了補角的和等于的性質(zhì)，以及對頂角相等，周角等于的性質(zhì)，結(jié)合圖形找出各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】．（2023春?紅山區(qū)期末）如圖，直線與相交于點，于點，平分，且，求的度數(shù)．【分析】依據(jù)垂線以及鄰補角，即可得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線即可得出的度數(shù)，進而得出的度數(shù)．【解答】解：，，．，．又平分，．．【點評】本題考查角平分線的定義、角的和差關(guān)系的運用，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【考查題型七】平行線【例7】．（2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)期末）如圖，下列條件中，能判斷的是A． B． C． D．【分析】結(jié)合圖形分析兩角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定方法逐項進行判斷即可得到結(jié)論．【解答】解：，，故①選項符合題意；，，故②選項不符合題意；，，故③選項不符合題意；，不能判定，故④選項不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查了平行線的判定，能根據(jù)圖形準確找出同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-1】．（2023春?長葛市期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行對各選項進行判斷．【解答】解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．故選：．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式7-2】．（2022秋?市中區(qū)校級期末）如圖，在中，點，，分別在邊，，上，下列不能判定的條件是A． B． C． D．【分析】利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【解答】解：、當(dāng)時，，故不符合題意；、當(dāng)時，，故不符合題意；、當(dāng)時，，故不符合題意；、當(dāng)時，，不能判定，故符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式7-3】．（2022秋?耒陽市期末）如圖，下列條件中：①；②；③；④；則一定能判定的條件有（填寫所有正確的序號）．【分析】根據(jù)平行線的判定方法：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得①能判定；根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得③能判定；根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得④能判定．【解答】解：①，；②，；③，；④，，故答案為：①③④．【點評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理．【變式7-4】．（2023春?潼關(guān)縣期末）如圖，與相交于點，，且平分．試說明：．【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合對頂角得到，則可證明，根據(jù)平行線的判定即可證明．【解答】證明：因為平分，所以（角平分線的定義）．因為（對頂角相等），所以（等量代換）．因為，所以（等量代換）．所以（同位角相等，兩直線平行）．【點評】本題考查了平行線的判定，掌握“同位角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】．（2023春?高新區(qū)校級期末）如圖，，，分別是，的角平分線，，求證：．【分析】先利用角平分線定義得到，，而，則，加上，則，于是可根據(jù)平行線的判定得到．【解答】證明：，分別是，的角平分線，，，，，，，．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【變式7-6】．（2023春?重慶期中）如圖，點，分別在，上，，垂足為點，，．求證：．【分析】先證得，由得，利用平角定義得出，結(jié)合可以得出，從而得證．【解答】證明：（已知），（同位角相等，兩直線平行），（兩直線平行，同位角相等），（已知），（垂直的定義），（等量代換），（平角的定義），（等式性質(zhì)），（已知），（同角或等角的余角相等），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點評】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，并靈活運用．【變式7-7】．（2023春?潮南區(qū)期末）如圖，，，是的角平分線．求證：．【分析】求出，推出，得出，推出，根據(jù)平行線的判定推出即可．【解答】證明：是的角平分線，，，，，，，，．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．【變式7-8】．（2023春?吉安縣期中）如圖，已知，，求證：．【分析】由條件可先證明，再利用平行線的性質(zhì)可得到，可證明．【解答】證明：（已知）（對頂角相等）（等量代換）（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又（已知）（等量代換）（同位角相等，兩直線平行）【點評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等兩直線平行，②內(nèi)錯角相等兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補兩直線平行，④，．【變式7-9】．（2023春?武勝縣校級期末）完成下面的證明如圖，平分，平分，且，求證：．完成推理過程平分（已知），．平分（已知），（已知），．．【分析】首先根據(jù)角平分線的定義可得，，根據(jù)等量代換可得，進而得到，然后再根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得答案．【解答】證明：平分（已知），（角平分線的定義）．平分（已知），（角平分線的定義）（等量代換）（已知），（等量代換）．（同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義，角平分線的定義，等量代換，等量代換，同旁內(nèi)角互補兩直線平行．【點評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握角平分線定義和平行線的判定方法．【變式7-10】．（2023春?岳池縣校級期末）如圖，已知點、在直線上，點在線段上，與交于點，，．（1）求證：；（2）試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等量關(guān)系可得，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)對頂角相等可求，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平角的定義可求的度數(shù)．【解答】（1）證明：，；（2）解：，，，，，；（3），，，，，，，．【點評】考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平角的定義，平行線的性質(zhì)有：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補兩直線平行；平行線的性質(zhì)有：兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補．【變式7-11】．（2023春?振興區(qū)校級期中）如圖，，，平分．（1）與會平行嗎？說明理由；（2）與的位置關(guān)系如何？為什么？（3）平分嗎？為什么．【分析】（1）證明，利用同位角相等，兩直線平行即可證得；（2）平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得，然后利用平行線的判定方法即可得證；（3），根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得．【解答】解：（1）平行．理由如下：，（鄰補角定義），，同位角相等兩直線平行）；（2）平行．理由如下：，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又，，（同位角相等，兩直線平行）；（3）平分．理由如下：平分，，，，，，，平分．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．【變式7-12】．（2023春?新吳區(qū)期中）我們知道：光線反射時，反射光線、入射光線和法線在同一平面內(nèi)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如圖1，為一鏡面，為入射光線，入射點為點，為法線（過入射點且垂直于鏡面的直線），為反射光線，此時反射角等于入射角．（1）如圖1，若，則；若，則；（2）兩平面鏡、相交于點，一束光線從點出發(fā)，經(jīng)過平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過點．（Ⅰ）如圖2，當(dāng)為多少度時，光線？請說明理由．（Ⅱ）如圖3，若兩條光線、相交于點，請?zhí)骄颗c之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．（Ⅲ）如圖4，若兩條光線、所在的直線相交于點，與之間滿足的等量關(guān)系是（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）根據(jù)反射角等于入射角，可得，根據(jù)，即可得到；根據(jù)反射角等于入射角，可得，再根據(jù)，即可得出的度數(shù)；（2）（Ⅰ）設(shè)，，根據(jù)，可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；（Ⅱ）設(shè)，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得可得，進而得出；（Ⅲ）設(shè)，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，進而得出．【解答】解：（1）如圖1，根據(jù)反射角等于入射角，可得，，；根據(jù)反射角等于入射角，可得，，；故答案為：65，50；（2）（Ⅰ）如圖2，設(shè)，，當(dāng)時，，即，，，中，，當(dāng)為90度時，光線；（Ⅱ）如圖3，設(shè)，，中，，，，，中，，，即；（Ⅲ）如圖4，設(shè)，，，，是的外角，，是的外角，，．故答案為：．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．2個性質(zhì)【考查題型八】垂線段的性質(zhì)【例8】．（2022秋?東港區(qū)校級期末）如圖，要把河中的水引到水池中，應(yīng)在河岸處開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是A．兩點之間線段最短 B．點到直線的距離 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短進行解答．【解答】解：要把河中的水引到水池中，應(yīng)在河岸處開始挖渠才能使水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是：垂線段最短，故選：．【點評】此題主要考查了垂線段的性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．【變式8-1】．（2022秋?連云港期末）如圖，某污水處理廠要從處把處理過的水引入排水渠，為了節(jié)約用料，鋪設(shè)垂直于排水渠的管道．這種鋪設(shè)方法蘊含的數(shù)學(xué)原理是A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短 C．過一點可以作無數(shù)條直線 D．垂線段最短【分析】根據(jù)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，即可選擇．【解答】解：根據(jù)題意可知這種鋪設(shè)方法蘊含的數(shù)學(xué)原理是垂線段最短．故選：．【點評】本題考查垂線段最短．理解直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短是解題關(guān)鍵．【變式8-2】．（2023春?和平區(qū)校級月考）如圖，把小河里的水引到田地處就作，垂足為，沿挖水溝，水溝最短．理由是垂線段最短．【分析】過直線外一點作直線的垂線，這一點與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．【解答】解：其依據(jù)是：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．故答案為：垂線段最短．【點評】本題考查了垂線段的性質(zhì)在實際生活中的運用，關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．【變式8-3】．（2023春?信都區(qū)期末）已知：點是直線外一點，點、、是直線上三點，分別連接、、．（1）通過測量的方法，比較、、的大小，直接用“”連接；（2）在直線上能否找到一點，使的長度最短？如果有，請在圖中作出線段，并說明它的理論依據(jù)；如果沒有，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)測量可直接得出結(jié)論；（2）過點作，根據(jù)點到直線距離的定義可得出結(jié)論．【解答】解：（1）通過測量可知，；（2）過點作，則最短（垂線段最短）．【點評】本題考查的是垂線段最短，熟知從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-4】．（2023秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖，平原上有，，，四個村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池．（1）不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池點的位置，使它到四個村莊距離之和最小；（2）計劃把河水引入蓄水池中，怎樣開渠最短并說明根據(jù)．【分析】（1）由兩點之間線段最短可知，連接、交于，則為蓄水池位置；（2）根據(jù)垂線段最短可知，要做一個垂直的線段．【解答】解：（1）兩點之間線段最短，連接，交于，則為蓄水池位置，它到四個村莊距離之和最小．（2）過作，垂足為．“過直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”是把河水引入蓄水池中開渠最短的根據(jù)．【點評】本題考查了線段和垂線的性質(zhì)在實際生活中的運用．【考查題型九】平行線的性質(zhì)【例9】．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，已知，、、分別平分、、，則圖中與互余的角共有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】先根據(jù)補角的定義得出，再由是的平分線，是的平分線，故可得出，，故可得出，，即，與互余；再由平行線的性質(zhì)可知，故與互余；根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：，是的平分線，是的平分線，，，，，即，與互余；，，與互余；，，是的平分線，是的平分線，，，，與互余，與互余的角有5個．故選：．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，余角和補角，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】．（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，，，垂足為點，如果，那么．【分析】延長交于，由平行線的性質(zhì)得到，求出，由鄰補角的性質(zhì)得到．【解答】解：延長交于，，，，，，，．故答案為：135．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到．【變式9-2】．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，已知，，平分，，則．【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線求出，根據(jù)平行線性質(zhì)求出即可．【解答】解：，，，，，平分，，．故答案為：．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式9-3】．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）已知兩個角的兩邊分別平行，且其中一個角比另一個角的3倍少，那么這兩個角的度數(shù)分別是．【分析】根據(jù)條件可知這兩個角相等或互補，利用方程思想可求得其大小．【解答】解：兩個角的兩邊互相平行，這兩個角相等或互補，設(shè)一個角為，則另一個角為，當(dāng)這兩個角相等時，則有，解得，此時這兩個角分別為、；當(dāng)這兩個角互補時，則有，解得，此時這兩個角為、；故答案為：、或、．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩個角的兩邊互相平行則這兩個角相等或互補是解題的關(guān)鍵．【變式9-4】．（2023春?普陀區(qū)期中）長江汛期來臨之前，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在筆直且平行的長江兩岸河堤、上安置了、兩盞激光探照燈如圖所示．光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線按順時針方向以每秒的速度從旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)．（1）如果兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，光線和光線旋轉(zhuǎn)時間為秒，①如圖1，請用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動的角度，即；用含的代數(shù)式表示光線轉(zhuǎn)動的角度，即．②如圖2，當(dāng)光線與光線垂直，垂足為時，求的值．（2）如果光線先轉(zhuǎn)動20秒，光線才開始轉(zhuǎn)動，在光線第一次到達之前，求光線旋轉(zhuǎn)幾秒時，與光線平行？【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度和旋轉(zhuǎn)時間計算即可；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)，得到，與關(guān)系，再列方程，解出即可；（3）在光線第一次到達之前，可以旋轉(zhuǎn)的時間應(yīng)小于160秒，此時可能到達并返回，因此需分兩種情況討論，在不同情況下，利用平行線性質(zhì)得到的角的關(guān)系列出方程解出即可．【解答】解：（1）①由題意，得光線旋轉(zhuǎn)的角度為，光線旋轉(zhuǎn)的角度為．，，故答案為：，．②解：過點作，如圖，．，，．．即．解得；（2）解：設(shè)光線旋轉(zhuǎn)時間為秒，由題意，知，解得，，因此，需分三種情況：情況在第一次到達之前，如圖，此時，，，，，，，，，解得；情況在第一次到達之后，未到達，如圖，此時，，，類似地，當(dāng)時，，，解得；情況在第一次到達之后，再第一次到達，返回，此時，，，類似地，當(dāng)時，，，解得，此情況無解．綜上，光線旋轉(zhuǎn)10秒和85秒時，與光線平行．【點評】本題考查平行線性質(zhì)，以動態(tài)背景考查一元一次方程的應(yīng)用，能熟練運用平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式9-5】．（2023春?閔行區(qū)期中）（1）如圖1，是直線，內(nèi)部一點，，連接，．探究猜想．①當(dāng)，，則；②猜想圖1中，，的關(guān)系并驗證；（2）如圖2，，已知，，求的度數(shù)．（用含有，代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線與平行四邊形的邊交于點，與邊交于點，圖3中，分別是被射線隔開的2個區(qū)域（不含邊界），是位于以上兩個區(qū)域內(nèi)的一點，猜想，，的關(guān)系．（不要求說明理由）【分析】（1）如圖所示，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解①，②；（