專(zhuān)題02平方根重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（9大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一平方根與算術(shù)平方根概念理解題型二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根題型三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題題型四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題題型六求一個(gè)數(shù)的平方根題型七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).特別說(shuō)明：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.知識(shí)點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．特別說(shuō)明：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.知識(shí)點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.【經(jīng)典例題一平方根與算術(shù)平方根概念理解】【例1】（2023上·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．0.2是的算術(shù)平方根 B．是25的平方根C．的算術(shù)平方根是9 D．16的平方根是4【答案】B【分析】本題考查平方根及算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根及平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】0.2是0.04的算術(shù)平方根，則A不符合題意；是25的平方根，則B符合題意；，其算術(shù)平方根是3，則C不符合題意；16的平方根是，則D不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·江西南昌·七年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）已知3既是的平方根，也是的立方根，則關(guān)于的方程的解是（

）．A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)平方根和立方根的概念可得，，求解可得，，然后帶入原方程，利用平方根解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意，3既是的平方根，也是的立方根，可得，，解得，，則關(guān)于的方程即為，∴，∴，解得或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根和立方根的知識(shí)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．2．（2023春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)校考期中）若2023的兩個(gè)平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】根據(jù)平方根的意義可得，然后代入式子進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：2023的兩個(gè)平方根是和，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫做的平方根，一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是它本身，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江·七年級(jí)期中）若x是最大的負(fù)整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意分別得出a、b、c的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵x是最大的負(fù)整數(shù)，∴，∵y是最小的正整數(shù)，∴，∵z是平方根等于本身的數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的相關(guān)定義，平方根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平方根等于本身的數(shù)是0．4．（2023秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學(xué)習(xí)過(guò)程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們?cè)谌A東師大版八年級(jí)上冊(cè)，學(xué)習(xí)了平方根的意義和兩個(gè)乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學(xué)習(xí)片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個(gè)數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導(dǎo)變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個(gè)公式還可得出：______，______．進(jìn)一步綜合變形推導(dǎo)可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為_(kāi)_____．步驟三：遷移運(yùn)用，提升能力若，，請(qǐng)運(yùn)用“步驟二”中推導(dǎo)出的變形公式，求，，的值．【答案】步驟二：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：，，【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行變形求值即可．【詳解】解：步驟二：，，，．依據(jù)是：平方根的意義，，故答案為：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：∵，，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及其變形，平方差公式，平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根】【例2】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．4的平方根是2 B．25的算術(shù)平方根是5C．的平方根是±9 D．－36的算術(shù)平方根是6【答案】B【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）按如圖所示程序框圖計(jì)算，若輸入的值為，則輸出結(jié)果為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的識(shí)別，根據(jù)程序圖及算術(shù)平方根的計(jì)算方法，依次計(jì)算即可，理解算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)時(shí)，算術(shù)平方根是，它是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根是，它還是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根是，它是無(wú)理數(shù)，故輸出的結(jié)果是，故選：．2．（2023春·湖南湘西·七年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的平方根是2 B．的算術(shù)平方根是2C．1的平方根是1 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】D【分析】根據(jù)平方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、是負(fù)數(shù)，沒(méi)有平方根，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、是負(fù)數(shù)，沒(méi)有算術(shù)平方根，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、1的平方根是，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、0的平方根與算術(shù)平方根都是0，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根與算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根與算術(shù)平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根．3．（2023春·山西呂梁·七年級(jí)校考期中）若與的和是單項(xiàng)式，則的算術(shù)平方根是．【答案】4【分析】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義解得的值，即可求得的值，然后求其算術(shù)平方根即可．【詳解】解：若與的和是單項(xiàng)式，即與為同類(lèi)項(xiàng)，則有，∴，∵，∴的算術(shù)平方根是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)、代數(shù)式求值、算術(shù)平方根等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·重慶巴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，而零與無(wú)理數(shù)的積為零，由此可得：如果，其中為有理數(shù)．為無(wú)理數(shù)，那么，運(yùn)用上述知識(shí)解決下列問(wèn)題：(1)如果，其中為有理數(shù)，求和的值；(2)如果，其中為有理數(shù)，求的立方根；(3)若均為有理數(shù)，且，求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)的立方根為2(3)的算術(shù)平方根為或【分析】（1）根據(jù)題干提供的方法列出m和n的方程求解即可；（2）先根據(jù)題干提供的方法列出m和n的方程組求解，然后代入計(jì)算即可；（3）先整理成，其中為有理數(shù)．為無(wú)理數(shù)，再按題干提供的方法求解．【詳解】（1）∵，其中為有理數(shù)，∴，；∴，．（2）∵，∴，∵m、n為有理數(shù)，∴解得∴，∴的立方根為2．（3）∵，，∵m、n為有理數(shù)，∴，，∴，，∴當(dāng)，時(shí)，，的算術(shù)平方根為；當(dāng)，時(shí)，，的算術(shù)平方根為；綜上所述，的算術(shù)平方根為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，算術(shù)平方根的意義等知識(shí)，掌握題目介紹的解題方法是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】【例3】（2024下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）若a，b為實(shí)數(shù)，且，則的值為（

）A．0 B．1 C．－1 D．【答案】B【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川宜賓·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足，則等于(

)A．﹣1 B．9 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)原式得，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出a，b的值，從而求得的值．【詳解】解∶根據(jù)題意得∶，∴，∴原等式可化為即，∴且，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方都是非負(fù)數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？计谥校┤?，則的算術(shù)平方根為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方與算術(shù)平方根的和為，可得平方與算術(shù)平方根同時(shí)為，可得出二元一次方程組，根據(jù)解二元一次方程組的方法，可得答案．【詳解】∵，∴，解得：，∴，∴的算術(shù)平方根為，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，解題關(guān)鍵熟記平方與算術(shù)平方根的和為，可得平方與算術(shù)平方根同時(shí)為．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則分式的值為．【答案】【分析】由算術(shù)平方根，偶次方的非負(fù)性可得，再利用加減法可得，，再代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，得：即，得：即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的非負(fù)性，二元一次方程組的解法，熟練的利用整體代入法求值是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四求算術(shù)平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】【例4】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】8．（2022下·廣東珠?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)面積為18的大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵用邊長(zhǎng)為3的兩個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，∴大正方形的面積為：9+9=18，則大正方形的邊長(zhǎng)為：，∵，∴4＜＜4.5，∴大正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是4．故選：A．2．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川涼山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，．【答案】【分析】根據(jù)首先確定的值，則小數(shù)部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問(wèn)題．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則.【答案】1【分析】先分析介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，再分別求出和介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，即可求出和的整數(shù)部分，然后用它們分別減去它們的整數(shù)部分得到，代入即可.【詳解】解：∵∴，∴∴的整數(shù)部分為10，的整數(shù)部分為2，∴a=

b=代入得：

=12023=1【點(diǎn)睛】此題考查的是實(shí)數(shù)（帶根號(hào)）的整數(shù)部分和小數(shù)部分的求法.【經(jīng)典例題五與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】【例5】（2022下·貴州遵義·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如下表，被開(kāi)方數(shù)a和它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解決此題．【詳解】解：由題意得：從0.0625開(kāi)始，小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，對(duì)應(yīng)算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，從0.625開(kāi)始，小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，對(duì)應(yīng)算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，∴可得：6.25的算術(shù)平方根為2.5,62.5的算術(shù)平方根約為7.91，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，算術(shù)平方根，熟練掌握原數(shù)和平方根的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·北京門(mén)頭溝·八年級(jí)大峪中學(xué)校考期中）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．104【答案】B【分析】分析數(shù)據(jù)可得：，有；，有；若，必有；且，則；則．【詳解】解：，可得；，可得；，則，，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：，，，，若符合上面規(guī)律，則的值為（

）A．179 B．109 C．210 D．104【答案】B【分析】分析數(shù)據(jù)可得：，有；，有；若，必有；且，則；則．【詳解】解：，可得；，可得；，則，，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·北京豐臺(tái)·七年級(jí)北京豐臺(tái)二中?？计谥校?shù)學(xué)解密：若第一個(gè)式子是，第二個(gè)式子是，第三個(gè)式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個(gè)式子是．【答案】【分析】先找出前面四個(gè)式子的規(guī)律，得出第n個(gè)式子是，進(jìn)而寫(xiě)出第五個(gè)式子即可。【詳解】解：∵，即，，即，，即，，即，∴第五個(gè)式子為，即，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，是個(gè)找規(guī)律的題目，難度中等，分析題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六求一個(gè)數(shù)的平方根】【例6】1（2023上·山東濟(jì)寧·七年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若滿(mǎn)足，則的平方根是（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，平方根的定義；根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出m、n，再計(jì)算出的值，然后根據(jù)平方根的定義得出答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴的平方根，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇剑孩?，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤【答案】C【分析】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義；根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①，表示16的平方根是，不符合題意；②，表示的算術(shù)平方根的相反數(shù)，不符合題意；③，表示25的算術(shù)平方根是5，符合題意；④，表示36的算術(shù)平方根是6，符合題意；⑤，結(jié)果應(yīng)該是，不符合題意；⑥，表示是16的一個(gè)平方根，不符合題意；綜上，其中表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的是③④，故選：C．2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將兩邊同時(shí)平方，求出，可湊出，再開(kāi)方即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用和開(kāi)平方的運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，則的平方根是．【答案】【分析】根據(jù)根式的非負(fù)性可求出，的值，進(jìn)而可求出答案．【詳解】解：∵，且根號(hào)下不能為負(fù)，∴，，∴，∴，∴，∴的平方根是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根式的非負(fù)性，以及計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方根，能夠根據(jù)根式的非負(fù)性計(jì)算出未知數(shù)的值是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)】【例7】（2023下·山東菏澤·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知和是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（

）A．3 B．64 C．3或 D．64或【答案】D【分析】與相等或者互為相反數(shù)，分別求出的值，再求出的值，最后求出的值．【詳解】解：I．當(dāng)和相等時(shí)，，解得：，，；II．當(dāng)和互為相反數(shù)時(shí)，，解得：，，；綜上所述：a的值是64或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2022下·福建福州·七年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)校考期中）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為；x的平方根為，y的立方根為86.9，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關(guān)系即可．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義．2．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則這個(gè)正數(shù)是．【答案】1【分析】先根據(jù)平方根的性質(zhì)得出兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，再列方程計(jì)算，根據(jù)平方根的平方是被開(kāi)方數(shù)得出這個(gè)正數(shù)【詳解】由題意可知：∴這個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是∴這個(gè)正數(shù)是1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平方根的性質(zhì)，利用性質(zhì)列方程是解題關(guān)鍵3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)不相等的平方根是與．(1)求這個(gè)正數(shù)m；(2)求關(guān)于x的方程的解．【答案】(1)49(2)【分析】（1）由一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)求值，即可求解；（2）將代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，；（2）當(dāng)時(shí)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平方根的意義及求平方根，關(guān)鍵是要掌握一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，互為相反數(shù)．【經(jīng)典例題八利用平方根解方程】【例8】（2022下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知表示取三個(gè)數(shù)中最小的那個(gè)數(shù)，例加：，當(dāng)時(shí)，則x的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知都小于1且大于0，根據(jù)平方根求得的值即可求解．【詳解】解：∵∴都小于1且大于0（負(fù)值舍去）故選D【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的平方根，判斷的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題：在一塊面積為的正方形紙片上，沿著邊的方向裁出一塊面積為，且長(zhǎng)寬之比為：的長(zhǎng)方形紙片不拼接，能裁出嗎？對(duì)于上述問(wèn)題的解決，嘉嘉和琪琪進(jìn)行如下對(duì)話(huà)：嘉嘉：真急人，我怎么也裁不出①琪琪：別著急，一定能在一塊大紙片上裁出一塊面積小的紙片②嘉嘉：你是如何計(jì)算裁出的長(zhǎng)寬分別是多少呢？說(shuō)說(shuō)思路．琪琪：設(shè)長(zhǎng)是，寬是，則：，，，，舍去長(zhǎng)是，寬是③嘉嘉：可是不符合實(shí)際情況啊正方形紙片的面積為，則邊長(zhǎng)為，即邊長(zhǎng)為．，，，又不能拼接，所以裁不出④對(duì)于嘉嘉和琪琪的對(duì)話(huà)，你認(rèn)為下面哪個(gè)選項(xiàng)是正確的()A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【分析】由題意求出要裁出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬，比較長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與正方形的邊長(zhǎng)的大小，即可得到答案．【詳解】解：由于嘉嘉和琪琪的對(duì)話(huà)知正方形紙片的面積為，則邊長(zhǎng)為，即邊長(zhǎng)為，而要裁出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬分別是，．，，，所以裁不出符合要求的長(zhǎng)方形．正確的是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，關(guān)鍵是列出方程由算術(shù)平方根的定義求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬．2．（2023春·重慶永川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可.【詳解】

故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義：如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，記作．正確理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.3．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）設(shè)示是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（），例如，當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．觀察以下等式：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；……根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題(1)寫(xiě)出第六個(gè)等式：______(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式（用含的式子表示），并證明：(3)運(yùn)用：若與的差為2525．求的值．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）觀察題干中式子的變化，根據(jù)變化規(guī)律，即可得到答案；（2）根據(jù)題干中式子的變化規(guī)律，用代數(shù)式表達(dá)即可；（3）由與的差為2525，列方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；（2）解：，證明如下：，；（3）解：與的差為2525，整理得：，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律-數(shù)字類(lèi)，完全平方式的應(yīng)用，利用平方根的含義解方程，理解題意，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九平方根的應(yīng)用】【例9】17．（2023下·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若正方形的面積與長(zhǎng)為4，寬為3的長(zhǎng)方形面積相等，則該正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．6 B． C．4 D．【答案】D【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)長(zhǎng)方形與正方形面積相等進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，由題意得：，（舍去），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）電流通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱量，滿(mǎn)足，其中Q為產(chǎn)生的熱量（單位：J），I為電流（單位：A），R為導(dǎo)線(xiàn)電阻（單位：Ω），t為通電時(shí)間（單位：s）．若導(dǎo)線(xiàn)電阻為，時(shí)間導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的熱量，則通過(guò)的電流I為（

）A．2.4A B． C．4.8A D．【答案】B【分析】將所給數(shù)據(jù)代入求解即可．【詳解】解：由題意可得，∴，∴，∴（負(fù)值不符合實(shí)際情況，舍去）∴電流的值是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值，平方根的應(yīng)用，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）交通事故統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，每年的汽車(chē)追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車(chē)距離把握不當(dāng)，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式是s＝（其中），當(dāng)剎車(chē)距離增加一倍時(shí)，車(chē)速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍【答案】B【分析】知道剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式后，再將等式進(jìn)行變形，使得s變?yōu)?s，即可得出答案．【詳解】解：由題意知，剎車(chē)距離s與車(chē)速v的關(guān)系式是：（其中），所以，當(dāng)剎車(chē)距離增加一倍時(shí)，即：即車(chē)速增加倍，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，借助算術(shù)平方根解決實(shí)際問(wèn)題．3．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長(zhǎng)方形紙片無(wú)縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．【答案】4【分析】設(shè)乙的邊長(zhǎng)為2a，根據(jù)，，可以推出從而推出兩個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)，再由覆蓋面積列出方程求解即可【詳解】解：設(shè)乙的邊長(zhǎng)為2a，∵正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長(zhǎng)方形紙片無(wú)縫拼接而成，∵，，∴，，∴，∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴，解得（負(fù)值舍去），∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用，正確理解題意表示出兩個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【拓展培優(yōu)】1．（2023上·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖、每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，可以得到每個(gè)小正方形的面積為1．若陰影部分是正方形、則它的邊長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查算術(shù)平方根的定義，準(zhǔn)確求出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．根據(jù)割補(bǔ)法求出陰影部分的面積即可得到答案．【詳解】解：陰影部分，它的邊長(zhǎng)是．故選C．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知，則的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略3．（2023上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及二元一次方程組的解法，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確求出，的值是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得到，求出，的值，代入，由此得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，解得：，，故選：．4．（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，，且，則的值為（

）A．或 B．或5 C．或1 D．1或5【答案】A【分析】本題考查絕對(duì)值，平方根，代數(shù)式求值，先根據(jù)確定a，b的值，再代入求解即可．【詳解】解：，，，，，，或，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，的值為或，故選A．5．（2023下·湖北恩施·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，，由，可得，分別計(jì)算，時(shí)代數(shù)式的值即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，∴，當(dāng)，，當(dāng)，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，平方根，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．6．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且,則的值為．【答案】14【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)求出a，b，c的值，代入得，再把變形代入求值即可【詳解】解：∵，∴，解得，，代入，得，∴，∴故答案為：147．（2023上·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）最強(qiáng)大腦的幻圓項(xiàng)目充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力，如圖，這是一個(gè)二階幻圓的模型，規(guī)則：①內(nèi)、外兩個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個(gè)數(shù)字之和相等，則的平方根是．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，平方根，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)：①內(nèi)、外兩個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個(gè)數(shù)字之和相等，列出方程組，解方程組求出a、b值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：，∴∴的平方根．故答案為：．8．（2023上·北京石景山·八年級(jí)?？计谥校┬∶饔糜?jì)算器求了一些正數(shù)的平方，記錄如下表.下面有四個(gè)推斷：①②一定有個(gè)整數(shù)的算術(shù)平方根在之間③對(duì)于小于的兩個(gè)正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號(hào)是.【答案】D【分析】此題考查了乘方運(yùn)算，算術(shù)平方根，平方差公式；根據(jù)表格中的信息可知和其對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根的值，然后依次判斷各題即可．【詳解】解：根據(jù)表格中的信息知：，故①正確；根據(jù)表格中的信息知：，∴正整數(shù)或或，∴一定有個(gè)整數(shù)的算術(shù)平方根在之間，故②正確；∵由題意設(shè)且，由，，∴對(duì)于小于的兩個(gè)正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于，故③正確；∵，，，故④正確；∴合理推斷的序號(hào)是①②③④．故答案為：①②③④．9．（2023上·浙江溫州·七年級(jí)?？计谥校┲袊?guó)古代有一種求算數(shù)平方根的方法，稱(chēng)為開(kāi)方術(shù)，該方法的原理是利用二項(xiàng)式定理，對(duì)根式逐位估值．假設(shè)N為被開(kāi)方數(shù)，a為首根，b為次根，若將根記為，則．以為例：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點(diǎn)為基準(zhǔn)，每?jī)晌环忠还?jié)得7，89，61；（2）估首根a：考慮被開(kāi)方數(shù)的首節(jié)7，由于，故首根為2，由于，故繼續(xù)開(kāi)方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)389，考慮，嘗試估出次根；（4）重復(fù)如上操作．則的算術(shù)平方根為．【答案】【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)題目所給的方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點(diǎn)為基準(zhǔn)，每?jī)晌环忠还?jié)得37，57，69；（2）估首根a：考慮被開(kāi)方數(shù)的首節(jié)37，由于，故首根為6，由于，故繼續(xù)開(kāi)方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)157，考慮，嘗試估出次根；（4）考慮榆樹(shù)的第二、三節(jié)，考慮，，綜上：的算術(shù)平方根為；10．（2023上·浙江麗水·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形被分割成四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)陰影小正方形（無(wú)縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形分別沿著正方形四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．（1）若陰影小正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖2中大正方形的面積為．（2）若圖2中大正方形的邊長(zhǎng)為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】71或【分析】（1）根據(jù)圖1求出四個(gè)直角三角形的面積，根據(jù)翻折的性質(zhì)，從而得到圖2大正方形的面積，即可；（2）設(shè)小正方形的面積為，從而得到圖2大正方形的面積，再根據(jù)大正方形的邊長(zhǎng)為正整數(shù)，即可得到x的值．【詳解】解：（1）∵一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形被分割成四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)陰影小正方形，陰影小正方形的邊長(zhǎng)為，∴四個(gè)完全相同的直角三角形的面積和為，由翻折的性質(zhì)可得，翻折后的三角形面積等于翻折前的三角形面積，∴圖2中8個(gè)完全相同的直角三角形的面積和為，∴大正方形的面積為；故答案為：71；（2）設(shè)陰影小正方形的面積為，則大正方形的面積為，∴大正方形的邊長(zhǎng)為，∵大正方形的邊長(zhǎng)為正整數(shù)，且邊長(zhǎng)大于圖1中的大正方形的邊長(zhǎng)，即邊長(zhǎng)大于6，且，∴或，或，∴陰影小正方形的邊長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換的綜合應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，算術(shù)平方根，找到翻折后的大正方形的面積與原來(lái)的正方形的面積關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）(1)計(jì)算：．(2)求的值：．【答案】(1)2(2)，【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，平方根的定義求解一元二次方程．（1）先求立方根、算術(shù)平方根，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）根據(jù)平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，，∴或，解得，，．12．（2023上·浙江衢州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）設(shè)x，y都表示有理數(shù)，定義一種新運(yùn)算“”；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)請(qǐng)根據(jù)這種新運(yùn)算定義計(jì)算：________，________．(2)若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足．①請(qǐng)直接寫(xiě)出a，b的值．②求的值．【答案】(1)，(2)①，②【分析】（1）根據(jù)題意代入計(jì)算即可；（2）①由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；②先求出，由得到．此題考查新定義運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題意，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；∴，當(dāng)時(shí)，．∴，故答案為：，（2）①∵．，∴，∴，②∵，∴，∴，∵，∴．13．（2023上·湖北黃岡·七年級(jí)武