江蘇省鎮江市2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類一．分式的混合運算（共1小題）1．（2023?鎮江）（1）計算：﹣4sin45°+（）0；（2）化簡：（1﹣）÷．二．反比例函數綜合題（共2小題）2．（2023?鎮江）如圖，正比例函數y＝﹣3x與反比例函數y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO＝45°．（1）m＝，k＝，點C的坐標為；（2）點P在x軸上，若以B、O、P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．3．（2021?鎮江）如圖，點A和點E（2，1）是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的兩點，點B在反比例函數y＝（x＜0）的圖象上，分別過點A，B作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點F．（1）k＝；（2）設點A的橫坐標為a，點F的縱坐標為m，求證：am＝﹣2；（3）連接CE，DE，當∠CED＝90°時，直接寫出點A的坐標：．三．二次函數綜合題（共2小題）4．（2022?鎮江）一次函數y＝x+1的圖象與x軸交于點A，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A、原點O和一次函數y＝x+1圖象上的點B（m，）．（1）求這個二次函數的表達式；（2）如圖1，一次函數y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點C作直線l1⊥x軸于點E，過點D作直線l2⊥x軸，過點B作BF⊥l2于點F．①x1＝，x2＝（分別用含n的代數式表示）；②證明：AE＝BF；（3）如圖2，二次函數y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數y＝x+1的圖象交于點P、Q（點P在點Q的左側），過點P作直線l3⊥x軸，過點Q作直線l4⊥x軸，設平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，過點A′作A′M⊥l3于點M，過點B′作B′N⊥l4于點N．①A′M與B′N相等嗎？請說明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．5．（2021?鎮江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A（﹣6，0），點B（0，2），點C（﹣4，8），二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A，B，該拋物線的對稱軸經過點C，頂點為D．（1）求該二次函數的表達式及點D的坐標；（2）點M在邊AC上（異于點A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點A落在直線AB上，且點M落在邊BC上，點M的對應點記為點N，折痕所在直線l交拋物線的對稱軸于點P，然后將紙片展開．①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線l；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點可以落在拋物線的對稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項的序號是．③點Q在二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當△PDQ～△PMN時，求點Q的坐標．四．三角形綜合題（共2小題）6．（2023?鎮江）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點M、N分別是OA、OB上的定點，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長，∠MFN大小可變．（1）圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數；（2）圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置OB（用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．7．（2023?鎮江）已知，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3，0），B點坐標為（m，n），點C與點B關于原點對稱，直線AB、AC分別與y軸交于點E、F，點F在點E的上方，EF＝2．（1）分別求點E、F的縱坐標（用含m、n的代數式表示），并寫出m的取值范圍；（2）求點B的橫坐標m、縱坐標n滿足的數量關系（用含m的代數式表示n）；（3）將線段EF繞點（0，1）順時針旋轉90°，E、F的對應點分別是E'、F'．當線段E'F'與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．五．四邊形綜合題（共3小題）8．（2023?鎮江）[發現]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中點D、E，在邊BC上作MN＝DE．②連接EM，過點D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．③將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉180°至四邊形AEST的位置．④延長PQ、ST交于點F．小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q、A、T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．[任務1]請你對結論①進行證明．[任務2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．[任務3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長．9．（2022?鎮江）已知，點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．（1）如圖1，當四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH＝AB；（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當AE、CF的大小有關系時，四邊形EFGH是矩形；（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長為16，FH長為20，當△OEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結論．10．（2021?鎮江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動】小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，將這個L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點M，N，過MN的中點O的直線分別交邊BC，AF于點P，Q，直線PQ（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P，Q，求PQ長的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點G，H，當GH的長取最小值時，BG的長為．（2）設＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍．六．直線與圓的位置關系（共1小題）11．（2021?鎮江）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊BC上，?O經過A，B，P三點．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點，⊙O交射線AE于點Q，當AP平分∠EAB時，求tan∠EAP的值．七．切線的性質（共1小題）12．（2023?鎮江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對角線BD翻折，C的對應點為點C′，以矩形ABCD的頂點A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點E，延長DA交⊙A于點F，連接EF交AB于點G．（1）求證：BE＝BG；（2）當r＝1，AB＝2時，求BC的長．八．圓的綜合題（共1小題）13．（2022?鎮江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數，且n不是3的倍數）是半圓O的一個圓心角．【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【交流】當n＝11時，可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分嗎？從上面的操作我發現，就是利用60°、（）°所對的弧去找（）°的三分之一即（）°所對的弧我發現了它們之間的數量關系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再試試：當n＝28時，（）°、60°、（）°之間存在數量關系．因此可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分．【探究】你認為當滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分？說說你的理由；（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．九．扇形統計圖（共1小題）14．（2021?鎮江）如表是第四至七次全國人口普查的相關數據．年份我國大陸人口總數其中具有大學文化程度的人數每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數1990年11336825011612467814222000年12658300004571000036112010年133972485211963679089302020年141177872421836076715467（1）設下一次人口普查我國大陸人口共a人，其中具有大學文化程度的有b人，則該次人口普查中每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數為；（用含有a，b的代數式表示）（2）如果將2020年大陸人口中具有各類文化程度（含大學、高中、初中、小學、其他）的人數分布制作成扇形統計圖，求其中表示具有大學文化程度類別的扇形圓心角的度數；（精確到1°）（3）你認為統計“每10萬大陸人口中具有大學文化程度的人數”這樣的數據有什么好處？（寫出一個即可）一十．條形統計圖（共1小題）15．（2023?鎮江）香醋中有一種物質，其含量不同，風味不同，各風味香醋中該種物質的含量如表：風味偏甜適中偏酸含量（mg/100ml）71.289.8110.9某超市銷售不同包裝（塑料瓶裝和玻璃瓶裝）的以上三種風味的香醋，小明將該超市1﹣5月份售出的香醋數量繪制成如下的條形統計圖：已知1﹣5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%．（1）求出a、b的值；（2）售出的玻璃瓶裝香醋中的該種物質的含量的眾數為mg/100ml，中位數為mg/100ml；（3）根據小明繪制的條形統計圖，你能獲得哪些信息（寫出一條即可）？一十一．列表法與樹狀圖法（共1小題）16．（2022?鎮江）一只不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率等于；（2）攪勻后從中任意摸出一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個球．用列表或畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率．

江蘇省鎮江市2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類參考答案與試題解析一．分式的混合運算（共1小題）1．（2023?鎮江）（1）計算：﹣4sin45°+（）0；（2）化簡：（1﹣）÷．【答案】（1）1；（2）．【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+1＝2﹣2+1＝1；（2）原式＝×＝．二．反比例函數綜合題（共2小題）2．（2023?鎮江）如圖，正比例函數y＝﹣3x與反比例函數y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO＝45°．（1）m＝﹣3，k＝﹣3，點C的坐標為（﹣4，0）；（2）點P在x軸上，若以B、O、P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）點P的坐標為：（4，0）或（2.5，0）．【解答】解：（1）當x＝1時，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即點B（1，﹣3），將點B的坐標代入反比例函數的表達式得：k＝﹣3×1＝﹣3，即反比例函數的表達式為：y＝﹣，根據正比例函數的對稱性，點A（﹣1，3），由點O、A的坐標得，OA＝，過點A作AH⊥x軸于點H，由直線AB的表達式知，tan∠AOH＝3，而∠ACO＝45°，設AH＝3x＝CH，則OH＝x，則AO＝x＝，則x＝1，則AH＝CH＝3，OH＝1，則CO＝CH+OH＝4，則點C的坐標為：（﹣4，0），故答案為：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；（2）當點P在x軸的負半軸時，∵∠BOP＞90°＞∠AOC，又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，∴△BOP和△AOC不可能相似；當點P在x軸的正半軸時，∠AOC＝∠BOP，若△AOC∽△BOP，則，則OP＝OC＝4，即點P（4，0）；若△AOC∽△POB，則，即，解得：OP＝2.5，即點P（2.5，0），綜上，點P的坐標為：（4，0）或（2.5，0）．3．（2021?鎮江）如圖，點A和點E（2，1）是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的兩點，點B在反比例函數y＝（x＜0）的圖象上，分別過點A，B作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點F．（1）k＝2；（2）設點A的橫坐標為a，點F的縱坐標為m，求證：am＝﹣2；（3）連接CE，DE，當∠CED＝90°時，直接寫出點A的坐標：（，）．【答案】（1）2；（2）證明見解答過程；（3）（，）．【解答】解：（1）∵點E（2，1）是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的點，∴＝1，解得k＝2，故答案為：2；（2）在△ACF和△BDF中，，∴△ACF≌△BDF（AAS），∴S△BDF＝S△ACF，∵點A坐標為（a，），則可得C（0，），∴AC＝a，OC＝，即a×（﹣m）＝a×（+m），整理得am＝﹣2；（3）設A點坐標為（a，），則C（0，），D（0，﹣），∵E（2，1），∠CED＝90°，∴CE2+DE2＝CD2，即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，解得a＝﹣2（舍去）或a＝，∴A點的坐標為（，）．三．二次函數綜合題（共2小題）4．（2022?鎮江）一次函數y＝x+1的圖象與x軸交于點A，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A、原點O和一次函數y＝x+1圖象上的點B（m，）．（1）求這個二次函數的表達式；（2）如圖1，一次函數y＝x+n（n＞﹣，n≠1）與二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），過點C作直線l1⊥x軸于點E，過點D作直線l2⊥x軸，過點B作BF⊥l2于點F．①x1＝，x2＝（分別用含n的代數式表示）；②證明：AE＝BF；（3）如圖2，二次函數y＝a（x﹣t）2+2的圖象是由二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象平移后得到的，且與一次函數y＝x+1的圖象交于點P、Q（點P在點Q的左側），過點P作直線l3⊥x軸，過點Q作直線l4⊥x軸，設平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，過點A′作A′M⊥l3于點M，過點B′作B′N⊥l4于點N．①A′M與B′N相等嗎？請說明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．【答案】（1）y＝x2+2x；（2）①，；②證明見解答；（3）①A′M＝B′N，證明見解答；②t＝3或8．【解答】（1）解：∵直線y＝x+1與x軸交于點A，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∵直線y＝x+1經過點B（m，），∴m+1＝，解得：m＝，∴B（，），∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣2，0），O（0，0），B（，），設y＝ax（x+2），則＝a××（+2），解得：a＝1，∴y＝x（x+2）＝x2+2x，∴這個二次函數的表達式為y＝x2+2x；（2）①解：由題意得：x2+2x＝x+n（n＞﹣），解得：x1＝，x2＝，故答案為：，；②證明：當n＞1時，CD位于AB的上方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣2﹣＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，當＜n＜1時，CD位于AB的下方，∵A（﹣2，0），B（，），∴AE＝﹣（﹣2）＝，BF＝﹣＝，∴AE＝BF，∴當n＞﹣且n≠1時，AE＝BF；（3）①設P、Q平移前的對應點分別為P′、Q′，則P′Q′∥PQ，∴P′Q′∥AB，∵平移后點A、B的對應點分別為A′、B′，由（2）②及平移的性質可知：A′M＝B′N；②∵A′M+3B′N＝2，∴A′M＝B′N＝，∵平移前二次函數y＝x2+2x的圖象的頂點為（﹣1，﹣1），平移后二次函數y＝（x﹣t）2+2的圖象的頂點為（t，2），∴新二次函數的圖象是由原二次函數的圖象向右平移（t+1）個單位，向上平移3個單位得到的，∴B（，）的對應點為B′（t+，），∵B′N＝，∴點Q的橫坐標為t+1或t+2，代入y＝x+1，得y＝（t+1）+1＝t+或y＝（t+2）+1＝t+2，∴Q（t+1，t+）或Q（t+2，t+2），將點Q（t+1，t+）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+＝（t+1﹣t）2+2，解得：t＝3，將點Q（t+2，t+2）代入y＝（x﹣t）2+2中，得t+2＝（t+2﹣t）2+2，解得：t＝8，綜上所述，t＝3或8．5．（2021?鎮江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A（﹣6，0），點B（0，2），點C（﹣4，8），二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點A，B，該拋物線的對稱軸經過點C，頂點為D．（1）求該二次函數的表達式及點D的坐標；（2）點M在邊AC上（異于點A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點A落在直線AB上，且點M落在邊BC上，點M的對應點記為點N，折痕所在直線l交拋物線的對稱軸于點P，然后將紙片展開．①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線l；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②連接MP，NP，在下列選項中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點可以落在拋物線的對稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項的序號是A，D．③點Q在二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當△PDQ～△PMN時，求點Q的坐標．【答案】（1）y＝+，D（﹣4，﹣）．（2）①作圖見解析部分．②A，D．③點Q的坐標為（2，）或（﹣10，）．【解答】解（1）由題意得：，解之得：a＝，b＝，c＝2，∴y＝+，∴當x＝﹣4時，y＝＝﹣，∴D（﹣4，﹣）．（2）①如圖1中，點N，直線l即為所求．②如圖2中，設線段MN的垂直平分線交拋物線對稱軸于P，交MN于點Q，過點M作MH⊥CD，過點Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．由題意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），∴直線AC的解析式為y＝4x+24，直線AB的解析式為y＝x+2，直線BC的解析式為y＝﹣x+2，∵MN∥AB，∴可以假設直線MN的解析式為y＝x+t，由，解得，∴M（，），由．解得，∴N（，），∴Q（，），∵QJ⊥CD，QT⊥MH，∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，∴QJ＝QT，∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，∴△PJQ≌△MTQ（AAS），∴PQ＝MQ，∵∠PQM＝90°，∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴＝，故選項D正確，B，C錯誤，∵將三角形紙片ABC折疊，使得點A落在直線AB上，且點M落在邊BC上，∴折痕與AB垂直，故選項A正確，故答案為：A，D．③設P（﹣4，m）．∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，∴△PDQ是等腰直角三角形，∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），把Q的坐標代入y＝+，得到，m＝（﹣+m）2+（﹣+m）+2，整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，解得m＝或﹣（舍棄），∴Q（2，），根據對稱性可知Q′（﹣10，）也滿足條件，綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（2，）或（﹣10，）．四．三角形綜合題（共2小題）6．（2023?鎮江）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，OA、OB分別表示門框和門所在位置，點M、N分別是OA、OB上的定點，OM＝27cm，ON＝36cm，MF、NF是定長，∠MFN大小可變．（1）圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，OA⊥OB，∠MFN＝180°，求∠MNB的度數；（2）圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置OB（用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值＝0.75．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．【答案】（1）∠MNB的度數為143°；（2）作圖見解答；（3）0.75．【解答】解：（1）如圖2，∵OA⊥OB，點M、N分別是OA、OB上的定點，∴∠MON＝90°，∵∠MFN＝180°，∴M、F、N三點在同一條直線上，∵OM＝27cm，ON＝36cm，∴tan∠ONM＝＝＝0.75，∴∠ONM＝37°，∴∠MNB＝180°﹣37°＝143°，∴∠MNB的度數為143°．（2）如圖3，作法：1．以點O為圓心，以ON為半徑作弧，2．以點F為圓心，以FN為半徑作弧，交前弧于點N、點N′，3．作射線OB、射線OB′，射線OB或射線OB′就是此時門的位置．（3）如圖4，作OD⊥MN于點D，則∠ODN＝90°，∴sin∠ONM＝＝，∴當OD最大時，sin∠ONM的值最大，∵OM≥OD，∴OD≤27cm，∴OD的最大值為27cm，當OD取得最大值27cm時，sin∠ONM＝＝0.75，∴在門開合的過程中，sin∠ONM的最大值是0.75，故答案為：0.75．7．（2023?鎮江）已知，在平面直角坐標系中，A點坐標為（3，0），B點坐標為（m，n），點C與點B關于原點對稱，直線AB、AC分別與y軸交于點E、F，點F在點E的上方，EF＝2．（1）分別求點E、F的縱坐標（用含m、n的代數式表示），并寫出m的取值范圍；（2）求點B的橫坐標m、縱坐標n滿足的數量關系（用含m的代數式表示n）；（3）將線段EF繞點（0，1）順時針旋轉90°，E、F的對應點分別是E'、F'．當線段E'F'與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．【答案】（1）E（0，﹣），F（0，﹣），m＜﹣3；（2）n＝m2﹣1；（3）m的取值范圍為9﹣6．【解答】解：（1）由直線AB與y軸交于E，得m≠3，∵點C與點B關于原點對稱，∴C（﹣m，﹣m），由直線AC與y軸交于點F，得﹣m≠3，即m≠﹣3，綜上所述，m≠±3，設直線AB對應的一次函數解析式為y＝kx+b，將A（3，0），B（m，n）代入y＝kx+b得，，解得b＝﹣，∴E（0，﹣），同理F（0，﹣）；由點F在點E上邊可以求出m＜﹣3；（2）由題意得，EF＝﹣﹣（）＝2，整理得，n＝m2﹣1；（3）∵n與m的關系式為n＝m2﹣1，∴B（m，n）在函數y＝x2﹣1（x≠±3）的圖象上，由旋轉得，yE′＝1，當E′在點B所在的函數圖象上時，xE′2﹣1＝1，解得xE′＝，∵線段E'F'與點B所在的函數圖象有公共點，∴﹣3或3，由旋轉得，﹣3或3；∵yE＝﹣，∴m的取值范圍為9﹣6．五．四邊形綜合題（共3小題）8．（2023?鎮江）[發現]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：①取AB、AC的中點D、E，在邊BC上作MN＝DE．②連接EM，過點D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．③將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉180°至四邊形AEST的位置．④延長PQ、ST交于點F．小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q、A、T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌△HMN；④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．[任務1]請你對結論①進行證明．[任務2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．[任務3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長．【答案】[任務1]見解析；[任務2]見解析；[任務3]．【解答】[任務1]證明：由旋轉得，∠QAD＝∠ABC，∠TAE＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠QAD+∠DAE+∠TAE＝180°，∴點Q、A、T在一條直線上；[任務2]證明：連接AQ并延長交BC的延長線于E，∵AD∥BC，∴∠DAQ＝∠E，∵Q是CD的中點，∴DQ＝CQ，∵∠AQD＝∠EQC，∴△ADQ≌△ECQ（AAS），∴AQ＝EQ，AD＝CE，∵P是AB的中點，∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ＝BE＝（CE+BC），∴PQ＝（AD+BC）；[任務3]解：由[任務2]知PQ∥BC，PQ＝5，作DR⊥BC于R，在Rt△DCR中，DR＝CD?sin∠DCB＝9×＝，∵四邊形GEST是正方形，∴GE＝6，PE＝3，∴QE＝＝4，∵Q是CD的中點，∴CQ＝，作QH⊥BC于H，∴QH＝CQ?sin∠DCB＝，∴CH＝＝，∵PQ∥BC，∴∠PQE＝∠QMH，∵∠PEQ＝∠QHM，∴△PEQ∽△QMH，∴，∴，∴HM＝，∴BM＝BC﹣HM﹣CH＝8﹣＝．9．（2022?鎮江）已知，點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、AD上．（1）如圖1，當四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH＝AB；（2）如圖2，已知AE＝AH，CF＝CG，當AE、CF的大小有AE＝CF關系時，四邊形EFGH是矩形；（3）如圖3，AE＝DG，EG、FH相交于點O，OE：OF＝4：5，已知正方形ABCD的邊長為16，FH長為20，當△OEH的面積取最大值時，判斷四邊形EFGH是怎樣的四邊形？證明你的結論．【答案】（1）證明見解析部分；（2）AE＝CF．證明見解析部分；（3）結論：四邊形EFGH是平行四邊形．證明見解析部分．【解答】（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AEH+∠AHE＝90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠AHE，在△AEH和△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，∴AE+AH＝AE+BE＝AB；（2）解：當AE＝CF時，四邊形EFGH是矩形．理由：如圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF，DH＝DG，∴∠AEH＝∠BEF＝45°，∴∠HEF＝90°同法可證，∠EHG＝90°，∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形．故答案為：AE＝CF；（3）解：結論：四邊形EFGH是平行四邊形．理由：如圖3中，過點H作HM⊥BC于點M．，交EG于點N．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵AE＝DG，AE∥DG，∴四邊形AEGD是平行四邊形，∴AD∥EG，∴EG∥BC，∴＝，∵OE：OF＝4：5，設OE＝4x．OF＝5x，HN＝h，則＝，∴h＝4（4﹣x），∴S＝?OE?HN＝×4x×4（4﹣x）＝﹣8（x﹣2）2+32，∵﹣8＜0，∴x＝2時，△OEH的面積最大，∴OE＝4x＝8＝EG＝OG，OF＝5x＝10＝HF＝OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．10．（2021?鎮江）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC為鉛直方向的邊，AF，ED，BC為水平方向的邊，點E在AB，CD之間，且在AF，BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，記作“L圖形ABCDEF”．若直線將L圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線為該L圖形的面積平分線．【活動】小華同學給出了圖1的面積平分線的一個作圖方案：如圖2，將這個L圖形分成矩形AGEF、矩形GBCD，這兩個矩形的對稱中心O1，O2所在直線是該L圖形的面積平分線．請用無刻度的直尺在圖1中作出其他的面積平分線．（作出一種即可，不寫作法，保留作圖痕跡）【思考】如圖3，直線O1O2是小華作的面積平分線，它與邊BC，AF分別交于點M，N，過MN的中點O的直線分別交邊BC，AF于點P，Q，直線PQ是（填“是”或“不是”）L圖形ABCDEF的面積平分線．【應用】在L圖形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6．（1）如圖4，CD＝AF＝1．①該L圖形的面積平分線與兩條水平的邊分別相交于點P，Q，求PQ長的最大值；②該L圖形的面積平分線與邊AB，CD分別相交于點G，H，當GH的長取最小值時，BG的長為．（2）設＝t（t＞0），在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，如果只有與邊AB，CD相交的面積平分線，直接寫出t的取值范圍t＞．【答案】【活動】所畫圖形如圖1，見解答；【思考】是；【應用】（1）①PQ長的最大值為；②；（2）t＞．【解答】解：【活動】如圖1，直線O1O2是該L圖形的面積平分線；【思考】如圖2，∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥BC，∴∠NQO＝∠MPO，∵點O是MN的中點，∴ON＝OM，在△OQN和△OPM中，，∴△OQN≌△OPM（AAS），∴S△OQN＝S△OPM，∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN，即SABPON＝SCDEFQOM，∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM，即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，∴直線PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線．故答案為：是；【應用】（1）①如圖3，當P與B重合時，PQ最大，過點Q作QH⊥BC于H，L圖形ABCDEF的面積＝4×6﹣（4﹣1）×（6﹣1）＝9，∵PQ是L圖形ABCDEF的面積平分線，∴梯形CDQP的面積＝×（DQ+BC）×CD＝，即×（DQ+6）×1＝，∴DQ＝CH＝3，∴PH＝6﹣3＝3，∵QH＝CD＝1，由勾股定理得：PQ＝＝；即PQ長的最大值是；②如圖4，當GH⊥AB時GH最短，過點E作EM⊥AB于M，設BG＝x，則MG＝1﹣x，根據上下兩部分面積相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，解得x＝，即BG＝；故答案為：；（2）∵＝t（t＞0），∴CD＝tAF，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，如圖5，直線DE將圖形分成上下兩個矩形，當上矩形面積小于下矩形面積時，在所有的與鉛直方向的兩條邊相交的面積平分線中，只有與邊AB，CD相交的面積平分線，延長DE交AB于G，延長FE交BC于H，只需要滿足S矩形AGEF＜S矩形EHCD，即S矩形ABHF＜S矩形CDGB，∴6CD＞4AF，∴＞，∴t＞．故答案為：t＞．六．直線與圓的位置關系（共1小題）11．（2021?鎮江）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊BC上，?O經過A，B，P三點．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點，⊙O交射線AE于點Q，當AP平分∠EAB時，求tan∠EAP的值．【答案】（1）證明見解析部分．（2）．【解答】解：（1）如圖1﹣1中，連接AP，過點O作OH⊥AB于H，交CD于E．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，∴AP是直徑，∴AP＝＝＝5，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∵OA＝OP，AH＝HB，∴OH＝PB＝，∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，∴四邊形AHED是矩形，∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝，∴OE＝OP，∴直線CD與⊙O相切．（2）如圖2中，延長AE交BC的延長線于T，連接PQ．∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，∴△ADE≌△TCE（ASA），∴AD＝CT＝4，∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，∵∠ABT＝90°，∴AT＝＝＝4，∵AP是直徑，∴∠AQP＝90°，∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，∴PB＝PQ，設PB＝PQ＝x，∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，∴×4×8＝×4×x+×4×x，∴x＝2﹣2，∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．備注：本題也可以用面積法，連接PQ，PE，設BP＝x，在Rt△PEQ中，PE2＝x2+（2﹣4）2，在Rt△PEC中，PE2＝（4﹣x）2+22，則x2+（2﹣4）2＝（4﹣x）2+22，解得x＝PB＝2﹣2，∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．七．切線的性質（共1小題）12．（2023?鎮江）如圖，將矩形ABCD（AD＞AB）沿對角線BD翻折，C的對應點為點C′，以矩形ABCD的頂點A為圓心，r為半徑畫圓，⊙A與BC′相切于點E，延長DA交⊙A于點F，連接EF交AB于點G．（1）求證：BE＝BG；（2）當r＝1，AB＝2時，求BC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解答】（1）證明：連接AE，∵BC′與圓相切于E，∴半徑AE⊥BE，∴∠BEG+∠AEG＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，DC＝AB＝2，∴∠BAF＝90°，∴∠AGF+∠F＝90°，∵AF＝AE，∴∠F＝∠AEG，∴∠AGF＝∠BEG，∵∠AGF＝∠BGE，∴∠BEG＝∠BGE，∴BE＝BG；（2）解：∵∠AEB＝90°，AE＝1，AB＝2，∴sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，由折疊的性質得到∠CBD＝∠DBC′，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝×（90°﹣30°）＝30°，∴BC＝CD＝2．八．圓的綜合題（共1小題）13．（2022?鎮江）（1）已知AC是半圓O的直徑，∠AOB＝（）°（n是正整數，且n不是3的倍數）是半圓O的一個圓心角．【操作】如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【交流】當n＝11時，可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分嗎？從上面的操作我發現，就是利用60°、（）°所對的弧去找（）°的三分之一即（）°所對的弧我發現了它們之間的數量關系是4×（）°﹣60°＝（）°．我再試試：當n＝28時，（）°、60°、（）°之間存在數量關系60°﹣9×（）°＝（）°．因此可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分．【探究】你認為當滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分？說說你的理由；（2）如圖2，⊙O的圓周角∠PMQ＝（）°．為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧（要求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）【操作】作圖見解析部分；【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．【探究】所以對于正整數n（n不是3的倍數），都可以用圓規將半圓O的圓心角∠AOB＝（）°所對的弧三等分．（2）作圖見解析部分．【解答】解：（1）【操作】三等分點如圖所示：【交流】60°﹣9×（）°＝（）°．故答案為：60°﹣9×（