專題02探索平行線的性質重難點題型專訓（10大題型+15道拓展培優）【題型目錄】題型一兩直線平行同位角相等題型二兩直線平行內錯角相等題型三兩直線平行同旁內角互補題型四根據平行線的性質探究角的關系題型五根據平行線的性質求角的度數題型六平行線的性質在生活中的應用題型七根據平行線判定與性質求角度題型八根據平行線判定與性質證明題型九求平行線間的距離題型十利用平行線間距離解決問題【知識梳理】知識點：平行線性質性質（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內錯角相等）性質（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內角互補）【經典例題一兩直線平行同位角相等】【例1】（2023·山東濟南·統考中考真題）如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．如果，那么的度數是（）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·湖北恩施·統考二模）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式擺放，若，則的度數是（

）A．30° B．57° C．55° D．33°2．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖，在中，分別是三邊上的點，且平分．若，則的度數為．

3．（2023下·浙江衢州·七年級校考期中）如圖，把一張長方形沿折疊后，點分別落在的位置上，與相交于點．已知，則的度數是．

4．（2023下·河南信陽·七年級校考階段練習）如圖，已知，，∠1＝115°．

(1)求∠2和∠4的度數；(2)請你根據（1）的結果進行歸納：如果兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數量關系是；(3)利用（2）的結論解答：如果兩個角的兩邊分別平行，其中一角是另一個角的2倍少60°，求這兩個角的大小．【經典例題二兩直線平行內錯角相等】【例2】（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖a是長方形紙帶，，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的的度數是（

）．

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023上·四川綿陽·八年級統考開學考試）如圖，，平分，，，；則下列結論：①；②平分；③，④，其中正確結論的個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023上·安徽合肥·八年級統考期中）如圖，的平分線與的平分線相交于點，過作交于，交于，若，則的長為．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業大學附屬中學校校考期中）已知，點D為射線上的一點，過點D作，為的平分線，則的度數是度．4．（2022上·四川眉山·七年級校考期末）已知：，點在直線上，點在直線上．(1)如圖，，．①若，求的度數．②試判斷與的位置關系，并說明理由．(2)如圖，平分，平分，試探究與的數量關系，并說明理由．【經典例題三兩直線平行同旁內角互補】【例3】（2023下·山東青島·七年級統考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【變式訓練】1．（2023下·重慶九龍坡·七年級重慶市楊家坪中學校考期中）如圖，，，，，則為()

A． B． C． D．2．（2023上·河北唐山·八年級統考期中）如圖，含有角的直角三角板的兩個頂點放在一個長方形的對邊上，點為直角頂點，，延長交于點，如果，那么的度數是．

3．（2023下·安徽合肥·七年級校考期中）如圖，，若，則的度數為．

4．（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，線段與線段平行，P是平面內一點，連接，射線分別平分．

(1)當點P在線段的延長線上時：①在圖1中，依題意補全圖形；②請直接寫出直線與直線的位置關系：___________；(2)如圖2，當點P在直線與直線之間時，射線，交于點Q，探究與的數量關系，并證明；(3)若直線與直線平行，請直接寫出點P的位置：___________．【經典例題四根據平行線的性質探究角的關系】【例4】（2022下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，若，則、、之間關系是（

）

A． B．C． D．【變式訓練】1．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）如圖所示，，若，下列各式：①

②

③

④其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．（2023下·河南周口·七年級校考階段練習）如果兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少，那么這兩個角的度數分別為．3．（2023下·安徽阜陽·七年級校考期末）把一塊含角的直角三角尺（其中）按下圖所示的方式擺放在兩條平行線之間．

（1）如圖1，若三角形的角的頂點落在上，且，則的度數為．（2）如圖2，若把三角尺的直角頂點放在上，角的頂點落在上，則與的數量關系為．4．（2023下·遼寧營口·七年級統考期中）如圖，已知，．點P是射線AM上一動點（與點A不重合）、BC，BD分別平分和，分別交射線AM于點C，D．(1)求的度數．(2)當點P運動到使時，的度數是多少？為什么？(3)當點P運動時，與之間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化．請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律．【經典例題五根據平行線的性質求角的度數】【例5】（2023下·黑龍江佳木斯·七年級校考期中）如圖，平分，則下列結論：①；②平分；③；④．其中正確的結論有_______．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【變式訓練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級校考階段練習）如圖，平分，則的度數等于（

）

A． B． C． D．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學校考期中）已知和，兩個角的兩邊分別平行，，則的大小為．3．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學校考開學考試）如圖，已知，平分，連接交于點，若，，則的度數為．

4．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知，直線，．(1)如圖1，點在上，與交于點，若，則______；(2)如圖2，點在與之間，與交于點，與交于點，且的平分線與的平分線交于點．①若，求（用含的式子表示）；②求的度數．【經典例題六平行線的性質在生活中的應用】【例6】（2022下·江蘇南通·七年級校考階段練習）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【變式訓練】1、（2023下·廣西百色·八年級統考期中）請閱讀以下“預防近視”知識卡讀書、寫字、看書姿勢要端正．一般人正常的閱讀角度約為俯角（如圖視線與水平線的夾角度．在學習和工作中，要保持讀寫姿勢端正，可概括為“三個一”，包括：眼與書本的距離1尺；身體與桌子距離1拳；握筆時，手指離筆尖1寸．書本與課桌的角度要保持在30度至45度．已知如圖，桌面和水平面平行，與書本所在平面重合，根據卡片內容，請判斷正常情況下，坐姿正確且座椅高度適合時，視線和書本所在平面所成角度不可能為以下哪個角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°2．（2022下·云南昆明·七年級統考期末）《七彩云南》少數民族傳統藝術表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點和點的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當光線與燈帶的夾角時，．3．（2023下·江蘇·七年級專題練習）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線按順時針方向以每秒的速度旋轉至邊便立即回轉，并不斷往返旋轉；光線按順時針方向以每秒的速度旋轉至邊就停止旋轉，此時光線也停止旋轉．若光線先轉4秒，光線才開始轉動，當時，光線旋轉的時間為秒．4．（2023下·江蘇泰州·七年級統考期末）如圖1是一盞可折疊臺燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點C旋轉調節．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當支架旋轉至水平位置時，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數；(2)若將圖2中的繞點順時針旋轉到如圖3的位置，求此時與水平方向的夾角的度數．【經典例題七根據平行線判定與性質求角度】【例7】（2023下·云南玉溪·七年級統考期末）含的三角板和含的三角板如圖擺放，若，，，則的度數是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023下·安徽合肥·七年級校考期中）如圖，，平分，平分，則與的數量關系為（

）

A． B．C． D．2．（2023上·四川眉山·七年級期末）已知直線，現將一副直角三角板作如圖擺放，且．下列結論：①；②；③；④，其中正確結論的序號為．3．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）一副直角三角尺如圖1疊放，現將含的三角尺ADE固定不動，將含的三角尺ABC繞頂點A順時針轉動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當時，有一組邊，再繼續轉動三角形的過程中，請你寫出符合要求的的度數是度．

4．（2023上·吉林長春·七年級統考期末）【發現問題】如圖①，小明同學在做光的折射實驗時發現：平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線、的反向延長線交于主光軸上一點P．【提出問題】小明提出：、和三個角之間存在著什么樣的數量關系？【分析問題】我們學習過平行線的性質，利用平行線的性質可以把分成兩部分進行研究．【解決問題】請你幫小明解決這個問題，并說明理由．【舉一反三】（1）如圖①，若，，則度．（2）如圖②，已知，點E、F分別是、上的點，點P位于上方，．用含α和β的代數式表示下列各角．①的大小為．②如圖③，在圖②的基礎上，若和分別平分和，則的大小為．【經典例題八根據平行線判定與性質證明】【例8】（2023上·重慶北碚·九年級西南大學附中校考階段練習）如圖，，，，判斷與的大小關系（

）

A． B． C． D．不能確定【變式訓練】1．（2023下·福建莆田·七年級校考期中）如圖，下面推理過程正確的是（

）

A．因為，所以 B．因為，所以C．因為，所以 D．因為，所以2．（2023下·江蘇蘇州·七年級統考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

3．（2023上·山東德州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，分別平分和，且相交于，，于點，則下列結論：①；②；③；④；⑤平分，其中正確的結論是．

4．（2023下·山西晉城·七年級期末）如圖甲所示，已知點E在直線上，點F，G在直線上，且，平分．(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由．(2)如圖乙所示，H是上點E右側一動點，的平分線交的延長線于點Q，①若，，求的值．②設，．點H在運動過程中，寫出和的數量關系并說明理由．【經典例題九求平行線間的距離】【例9】（2024下·全國·七年級假期作業）把直線a沿水平方向平移，平移后的直線為直線b，則直線a與直線b之間的距離（

）A．等于 B．小于 C．大于 D．小于或等于【變式訓練】1．（2023下·甘肅張掖·七年級校考期中）在同一平面內，設、、是三條互相平行的直線，已知與的距離為，與的距離為，則與的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023上·甘肅蘭州·九年級蘭州十一中校考階段練習）如圖，直線ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，則直線AB與直線CD之間的距離是cm．3．（2023下·湖北武漢·七年級校考階段練習）如圖，，已知直角三角形中，B，C在直線a上，A在直線b上，，，，則點A到直線a的距離為．

4．（2022上·湖南株洲·七年級統考期末）如圖所示，四邊形中，，連接，點在邊上，點在邊上，且．

(1)求證：．(2)若，且．求與之間的距離．(3)若．試求點到直線的距離的取值范圍．【經典例題十利用平行線間距離解決問題】【例10】（2023下·陜西商洛·八年級校考期中）如圖，直線，則可以表示這兩條直線之間距離的線段是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022上·湖南株洲·八年級株洲市景弘中學校考階段練習）如圖，大正方形與小正方形的面積之差為S，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B．S C． D．2．（2023下·江西九江·八年級濂溪一中校考期末）如圖：已知直線，點在上，點在上，若的面積為27，且，則平行線與之間的距離為．

3．（2023下·吉林松原·七年級統考期中）探究規律：我們有可以直接應用的結論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點，無論這點在直線的什么位置，這點到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點、在上，于，于，則．如圖2，已知直線，、為直線上的兩點，、為直線上的兩點．(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形：．(2)如果、、為三個定點，點在上移動，那么無論點移動到任何位置總有：與的面積相等；理由是：．4．（2023上·江蘇泰州·七年級統考期末）在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點都叫做格點，點A、B、P均在格點上．（請利用網格作圖，畫出的線用鉛筆描粗描黑）（1）過點P畫直線AB的平行線；（2）連接PA、PB，則三角形PAB的面積=；（3）若三角形QAB面積與三角形PAB的面積相等，且格點Q與P不重合，則格點Q有個．【拓展培優】1．（2023·廣東清遠·統考三模）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別交于點D，E，射線直線c，若，則的度數是（）

A． B． C． D．2．（2022下·浙江寧波·七年級統考期末）如圖，，，設，，則與之間的數量關系正確的是（

）A． B．C． D．與沒有數量關系3．（2023下·遼寧鐵嶺·七年級校考階段練習）如圖，將長方形沿折疊，使點落在點處，點落在邊上的點處，若，則的度數為（

）A． B． C． D．4．（2023下·浙江溫州·七年級校聯考期中）如圖，已知，點，分別在，上，點，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點．若，，則的度數為（

）．A． B． C． D．5．（2023下·安徽宿州·七年級校考期中）如圖，直線，在上任選一點E，將一直角三角板直角頂點放在E處，，當，此時的大小是（

）

A． B． C． D．6．（2023上·上海青浦·八年級校考期中）如圖，平分，，，則．7．（2022下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統考期中）如圖，三角形中，點D是射線上一點(不與點B、C重合)，交直線于E，交直線于F，則的度為．

8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統考期末）一副直角三角尺如圖1疊放，現將含的三角尺固定不動，將含的三角尺繞頂點A順時針轉動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當時，有一組邊，再繼續轉動三角尺的過程中，請你寫出符合要求的（）的度數是度．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市蕭紅中學校考階段練習）圖1是一盞可調節臺燈，圖2為示意圖．固定底座于點O，BA與CB是分別可繞點A和B旋轉的調節桿．在調節過程中，燈體CD始終保持平行于OE，臺燈最外側光線DM，DN組成的始終保持不變．如圖2，調節臺燈使光線，此時，且CD的延長線恰好是的角平分線，則．10．（2023下·浙江杭州·七年級校聯考階