國奧賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若a=0.32，b=-3?2，c=(-1/3)?2，d=(-1/3)?，則（）A.a＜b＜c＜dB.b＜a＜d＜cC.a＜d＜c＜bD.c＜a＜d＜b2.已知多項式x2+ax+b與x2-2x-3的乘積中不含x3與x2項，則a，b的值為（）A.a=2，b=7B.a=-2，b=-3C.a=3，b=7D.a=3，b=43.方程|x-2|+|x+3|=6的解的個數是（）A.1B.2C.3D.44.一個凸多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是（）A.7B.8C.9D.105.已知反比例函數y=k/x的圖象經過點（1，-2），則k的值為（）A.2B.-2C.1/2D.-1/26.化簡(a-1)/(a2-4a+4)÷(1-1/(a-2))的結果是（）A.1/(a-2)B.a/(a-2)C.a-2D.a+27.已知一元二次方程x2-3x-1=0的兩根為x?，x?，則1/x?+1/x?的值是（）A.3B.-3C.1/3D.-1/38.如圖，在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB于點C，OC=3，則⊙O的半徑為（）A.5B.6C.8D.109.一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點（1，-1），且與直線y=2x-3平行，則此一次函數的解析式為（）A.y=2x-3B.y=2x-1C.y=-2x+1D.y=-2x-110.某工廠現在平均每天比原計劃多生產50臺機器，現在生產600臺機器所需時間與原計劃生產450臺機器所需時間相同，設原計劃平均每天生產x臺機器，根據題意，下面所列方程正確的是（）A.600/(x+50)=450/xB.600/x=450/(x+50)C.600/x-50=450/xD.600/x=450/x-50二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列運算正確的是（）A.a3·a2=a?B.(a2)3=a?C.(-3a)2=9a2D.a2+a3=a?2.以下圖形中，是中心對稱圖形的有（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形3.下列關于函數y=2x2的說法正確的是（）A.圖象開口向上B.對稱軸是y軸C.頂點坐標是（0，0）D.當x＞0時，y隨x的增大而增大4.以下數據1，2，3，4，5，5，6的眾數和中位數分別是（）A.5B.4C.3D.25.已知直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，則以下說法正確的是（）A.斜邊為5B.斜邊上的高為12/5C.面積為6D.周長為126.下列因式分解正確的是（）A.x2-4=(x+2)(x-2)B.x2+2x+1=(x+1)2C.2x2-2=2(x+1)(x-1)D.x2-2x-3=(x-3)(x+1)7.不等式組{x+2＞0，3-x≥0}的解集的整數解有（）A.-1B.0C.1D.28.一個圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的（）A.側面積為2πrhB.表面積為2πr2+2πrhC.體積為πr2hD.以上都不對9.已知點A(x?，y?)，B(x?，y?)在反比例函數y=4/x的圖象上，若x?＜x?＜0，則（）A.y?＜y?B.y?＞y?C.y?=y?D.y?與y?的大小關系不能確定10.下列命題中，真命題有（）A.同位角相等B.對頂角相等C.同旁內角互補D.直角三角形的兩個銳角互余三、判斷題（每題2分，共20分）1.兩個無理數的和一定是無理數。（）2.若a＞b，則ac2＞bc2。（）3.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。（）4.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當a＜0時，圖象開口向下。（）5.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（）6.一組數據的方差越大，這組數據的波動越大。（）7.分式方程一定有增根。（）8.直徑是圓中最長的弦。（）9.正多邊形的每個內角都相等，每個外角也都相等。（）10.若a2=b2，則a=b。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.計算：(π-3.14)?+2?2-(-1)2?23。答案：任何非零數的0次方為1，(π-3.14)?=1；2?2=1/4；(-1)2?23=-1。原式=1+1/4-(-1)=1+1/4+1=9/4。2.解不等式2(x-1)+3＞3x，并把解集在數軸上表示出來。答案：去括號得2x-2+3＞3x，移項得2x-3x＞2-3，合并同類項得-x＞-1，系數化為1得x＜1。在數軸上表示為：畫數軸，標1，空心圈向左。3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點，DE⊥AB于點E，求AE與BE的數量關系。答案：因為AB=AC，D是BC中點，所以AD平分∠BAC，∠BAD=60°。又DE⊥AB，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，設AE=x，則AD=2x。在等腰△ABC中，∠B=30°，在Rt△BDE中，BE=3x，所以BE=3AE。4.已知關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍。答案：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判別式Δ=b2-4ac。此方程中a=1，b=-2，c=m，因為有兩個不相等實數根，所以Δ＞0，即(-2)2-4m＞0，4-4m＞0，解得m＜1。五、討論題（每題5分，共20分）1.探討一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0）中，k和b的值對函數圖象和性質的影響。答案：k決定函數圖象的傾斜方向和變化趨勢，k＞0時，y隨x增大而增大；k＜0時，y隨x增大而減小。b決定函數圖象與y軸的交點，b＞0，交點在y軸正半軸；b=0，過原點；b＜0，交點在y軸負半軸。2.在幾何圖形中，如何證明兩個三角形全等？并舉例說明。答案：證明兩個三角形全等的方法有SSS（邊邊邊）、SAS（邊角邊）、ASA（角邊角）、AAS（角角邊）、HL（直角、斜邊、直角邊，用于直角三角形）。例如，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，可用SSS證明△ABC≌△DEF。3.分析二次函數在實際生活中的應用，舉例說明。答案：二次函數在實際生活中應用廣泛，如求物體拋射的最大高度、銷售利潤最大化等問題。比如銷售