廣東數學高考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\{3,4\}\)2.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域為（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m=\)（）A.\(-4\)B.\(4\)C.\(1\)D.\(-1\)4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標為（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)7.已知函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(0)=0\)，則\(c=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)8.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_20.3\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a>b>c\)B.\(b>a>c\)C.\(c>a>b\)D.\(a>c>b\)9.從\(3\)名男生和\(2\)名女生中任選\(2\)人參加演講比賽，則所選\(2\)人中至少有\(1\)名女生的概率為（）A.\(\frac{7}{10}\)B.\(\frac{3}{10}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{3}{5}\)10.已知函數\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，則其最小正周期\(T=\)（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\vertx\vert\)D.\(y=x^3\)2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.以下哪些是橢圓的標準方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)4.下列關于數列的說法正確的有（）A.常數列一定是等差數列B.常數列一定是等比數列C.等差數列的通項公式是關于\(n\)的一次函數D.等比數列的通項公式是\(a_n=a_1q^{n-1}\)5.已知\(a\)，\(b\)為實數，則下列不等式一定成立的有（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)D.\(a^2+1\geqslant2a\)6.對于函數\(y=\sinx\)，以下說法正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.圖象關于原點對稱D.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增7.已知圓\(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，則（）A.圓心坐標為\((1,2)\)B.半徑\(r=2\)C.圓心到直線\(x-y=0\)的距離為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.與圓\(x^2+y^2=4\)相交8.下列向量運算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)C.\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)9.已知函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續B.\(\lim\limits_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^\prime(x_0)\)C.\(f^\prime(x_0)\)表示函數\(f(x)\)在\(x=x_0\)處的切線斜率D.若\(f^\prime(x_0)>0\)，則\(f(x)\)在\(x=x_0\)附近單調遞增10.下列事件是隨機事件的有（）A.明天會下雨B.拋擲一枚骰子，朝上的點數為\(7\)C.從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到紅桃\(K\)D.在標準大氣壓下，水加熱到\(100^{\circ}C\)會沸騰判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）3.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）4.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時為\(0\)）的斜率為\(-\frac{A}{B}\)。（）5.雙曲線的漸近線方程與其標準方程有關。（）6.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec{b}=\vec{0}\)。（）7.等差數列前\(n\)項和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）8.函數\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.從\(5\)個不同元素中任取\(3\)個元素的組合數\(C_{5}^3=10\)。（）10.若函數\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上的定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為\(0\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{b}{2a}\)。此函數\(a=1\)，\(b=-2\)，則對稱軸為\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數得\(y=2\)，所以頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，得到\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.已知圓的方程為\(x^2+y^2-4x+6y-3=0\)，求圓心坐標和半徑。答案：將圓方程化為標準方程\((x-2)^2+(y+3)^2=16\)，根據標準方程\((x-m)^2+(y-n)^2=r^2\)（圓心\((m,n)\)，半徑\(r\)），可知圓心坐標為\((2,-3)\)，半徑\(r=4\)。4.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2}\)的單調性。答案：函數定義域為\(x\neq0\)。對函數求導得\(y^\prime=-\frac{2}{x^3}\)。當\(x>0\)時，\(y^\prime<0\)，函數在\((0,+\infty)\)單調遞減；當\(x<0\)時，\(y^\prime>0\)，函數在\((-\infty,0)\)單調遞增。2.探討等差數列和等比數列在實際生活中的應用實例。答案：等差數列如每月等額還款的房貸，每月還款額構成等差數列；等比數列如細胞分裂，每次分裂后的細胞數是前一次的固定倍數，構成等比數列。它們用于解決經濟、生物等多領域實際問題。3.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d>r\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d<r\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta>0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta<0\)相離。4.分析在概率問題中，如何區分古典概型和幾何概型。答案：古典概型特點是試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，且每個基本事件出現的可能性相等；幾何概型是試驗中所有可能出現的結果有無限個，每個結果出現的可能性與構成該事件