2025北京北師大實驗中學初三3月月考數學2025.3.4一、選擇題（共16分，每題2分）．1.窗花是中國傳統民間藝術之一，下列四個窗花作品既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.在2025年春節檔期，電影市場的熱度持續高漲．電影《哪吒之魔童鬧海》上映前三日，總票房便達到億元，這部電影在上映前三日平均每天的票房為（）A.元 B.元 C.元 D.元3.斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A. B. C. D.4.若實數x的取值范圍在數軸上的表示如圖所示，在下列結論中，正確的是（）A. B.C. D.5.平面直角坐標系中，若點和在反比例函數圖像上，則下列關系式正確的是（）A. B. C. D.6.不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別寫有數字“1”，“2”，“3”，“4”，除數字外這些小球無其他差別．從袋中隨機同時摸出兩個小球，那么這兩個小球上的數字之和是5的概率是（）A. B. C. D.7.如圖，是的弦，是的直徑，于點E．在下列結論中，不一定成立的是（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，，(其中)．于點D，點E在邊上，設，，，給出下面三個結論∶①；②；③的長是關于x的方程的一個實數根．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A.① B.①③ C.②③ D.①②③二、填空題（共16分，每題2分）9.要使二次根式有意義，則實數的取值范圍為______．10.分解因式：__________．11.方程的解為______．12.如圖，在中，點在邊上，，的延長線交于點．若，，則．13.咖啡樹種子的發芽能力會隨著保存時間的增長而減弱．咖啡樹種子保存到三個月時，發芽率約為95%；從三個月到五個月，發芽率會逐漸降到75%；從五個月到九個月，發芽率會逐漸降到25%．農科院記錄了某批咖啡樹種子的發芽情況，結果如下表所示：種子數量1050150300500800發芽數量941133261431689發芽率0.90.820.8870.870.8620.861據此推測，下面三個時間段中，這批咖啡樹種子的保存時間是________（填“三個月內”“三至五個月”或“五至九個月”）．14.若關于x的方程有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是__________．15.如圖，兩個邊長相等的正六邊形的公共邊為，點A，B，C在同一直線上，點，分別為兩個正六邊形的中心．則的值為______．16.某陶藝工坊有A和B兩款電熱窯，可以燒制不同尺寸的陶藝品，兩款電熱窯每次可同時放置陶藝品的尺寸和數量如表所示．尺寸數量（個）款式大中小A81525B01020燒制一個大尺寸陶藝品的位置可替換為燒制兩個中尺寸或六個小尺寸陶藝品，但燒制較小陶藝品的位置不能替換為燒制較大陶藝品，某批次需要生產10個大尺寸陶藝品，50個中尺寸陶藝品，76個小尺寸陶藝品．（1）燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用__________次；（2）若A款電熱窯每次燒制成本為55元，B款電熱窯每次燒制成本為25元，則燒制這批陶藝品成本最低為__________元．三、解答題（共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟域證明過程．17.計算：．18.解不等式組，并寫出它的所有正整數解．19.已知，求代數式的值．20.如圖，點在的對角線的延長線上，，于點，交的延長線于點，連接．（1）求證:四邊形是菱形；（2）若求菱形的面積．21.每當優美的“東方紅”樂曲從北京站的鐘樓響起時，會喚起很多人的回憶，也引起了同學們的關注．某數學興趣小組測量北京站鐘樓的高度，同學們發現在鐘樓下方有建筑物遮擋，不能直接到達鐘樓底部點B的位置，被遮擋部分的水平距離為的長度．通過對示意圖的分析討論，制定了多種測量方案，其中一種方案的測量工具是皮尺和一根直桿．同學們在某兩天的正午時刻測量了鐘樓頂端A的影子D到點C的距離，以及同一時刻直桿的高度與影長．設的長為x米，的長為y米．測量數據（精確到0.1米）如表所示：直桿高度直桿影長的長第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1（1）由第一次測量數據列出關于x，y的方程是______，由第二次測量數據列出關于x，y的方程是______；（2）該小組通過解上述方程組成的方程組，已經求得，則鐘樓的高度約為______米．22.在平面直角坐標系中，函數的圖象經過點和．（1）求該函數解析式；（2）當時，對于x的每一個值，函數的值小于函數的值且大于，直接寫出n的取值范圍．23.商品成本影響售價，為避免因成本波動導致售價劇烈波動，需要控制售價的漲跌幅．下面給出了商品售價和成本（單位：元）的相關公式和部分信息：．計算商品售價和成本漲跌幅的公式分別為：，；．規定當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半；．甲、乙兩種商品成本與售價信息如下：甲商品的成本與售價信息表第一周第二周第三周第四周第五周成本售價mnp乙商品的成本與售價統計圖根據以上信息，回答下列問題：（1）甲商品這五周成本的平均數為___________，中位數為___________；（2）表中m的值為____________，從第三周到第五周，甲商品第_______周的售價最高；（3）記乙商品這周售價的方差為，若將規定“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”更改為“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，重新計算每周售價，記這周新售價的方差為，則________；（填“”“”或“”）．24.如圖，中，，，是的外接圓，D在上，滿足，與交于點E，過點A作的切線，交的延長線于點F．（1）求證：；（2）若，，求的長．25.已知乒乓球桌的長度為，某人從球桌邊緣正上方高處將乒乓球向正前方拋向對面桌面，乒乓球的運動路線近似是拋物線的一部分.（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，從乒乓球拋出到第一次落在球桌的過程中，乒乓球的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數關系.乒乓球的水平距離與豎直高度的幾組數據如下表所示.根據表中數據，直接寫出乒乓球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系式；水平距離/豎直高度/（2）乒乓球第一次落在球桌后彈起，它的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系，判斷乒乓球再次落下時是否仍落在球桌上，并說明理由．26.在平面直角坐標系中，點，是拋物線上不重合的兩點．（1）當，時，求的值；（2）若對于，都有，求的取值范圍．27.在中，，，繞點C順時針旋轉角度（）得到DC．（1）如圖1，若，連接交于點E，若，求的長；（2）如圖2，若，平分交于點F，連接，過點C作，在射線上取點G使得，連接，請用等式表示線段、、之間的數量關系并證明；（3）如圖3，若，點P是線段上一動點，將繞點P逆時針旋轉得到，連接，M為的中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．28.在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于的弦和不在直線上的點C，給出如下定義：若，且點C關于弦的中點M的對稱點在上或其內部，則稱點C為弦的“關聯點”.（1）已知點，.①在點，，中，點是弦的關聯點，其中°；②若直線上存在的“關聯點”，則b的取值范圍是；（2）若點C是的“關聯點”，且，直接寫出弦的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題（共16分，每題2分）．1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】B二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13.【答案】三至五個月14.【答案】且15.【答案】16.【答案】①.2②.135三、解答題（共68分）解答應寫出文字說明、演算步驟域證明過程．17.解：原式18.解：，由①得：，由②得：，∴原不等式的解集為；∴原不等式所有正整數解為：；19.解：原式．∵，∴，∴原式．20.(1)證明：，，，四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；(2)解：，，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，，即，，四邊形是菱形，，，菱形的面積．21.解：(1)由同一時刻測量，可得，第一次測量：，化簡得，，第二次測量：，化簡得，，故答案為：，；(2)對于，代入，得，，解得：，鐘樓米，故答案為：43．22.(1)解：由題意得：將點和代入中得：，解得：，∴該函數解析式為：；(2)解：當時，代入得：，在平面直角坐標系中畫出直線和滿足條件的直線，如圖：∵當時，對于x的每一個值，函數的值小于函數的值，∴當過時滿足題意∴，，∵當時，對于x的每一個值，函數的值大于，∴當過時滿足題意，∴，，綜上：滿足條件的n的取值范圍為：．23.(1)解：由題意知，成本從小到大依次排序為；∴甲商品這五周成本的平均數為，中位數為第3個位置的數即中位數是，故答案為：，；(2)解：由題意知，第二周成本的漲跌幅為，∴第二周售價的漲跌幅為，解得，；同理，第四周成本的漲跌幅為，第四周售價的漲跌幅為，解得，；第五周成本的漲跌幅為，第五周售價的漲跌幅為，解得，；∵，∴從第三周到第五周，甲商品第四周的售價最高，故答案為：，四；(3)解：由題意知，改規定前“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的一半”，改規定后“當周售價漲跌幅為當周成本漲跌幅的四分之一”，∵，∴改規定后售價的波動比改規定前的售價波動小，∴，故答案為：．24.(1)證明：在中，∵，∴是的直徑．∵是的切線，∴．∴．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．(2)解：連接．∵是的直徑，∴．∴，∵由（1）得，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴E為的中點．∴．25.(1)根據表格數據可知與關于對稱軸對稱，則當時，，即乒乓球豎直高度的最大值為，∴，將點代入得，，解得：，∴；(2)解：乒乓球再次落下時仍落在球桌上，理由如下，由，令，即，解得：或（舍去）依題意，，將點代入得，解得：或（舍去）∴解析式為當時，，解得：（舍去）∵，∴乒乓球再次落下時仍落在球桌上．26.(1)解：當時，，，將代入得，，即∵，∴，將代入得，，解得：或，∵點A、B不重合，∴；(2)解：∵的對稱軸為，∴關于對稱軸對稱的點坐標為，當時，拋物線開口向上，在對稱軸右邊時，即當時，隨增大而增大，∴，∵，∴，都在對稱軸右側，∵對于，都有，∴，解得，此時；當時，拋物線開口向下，在對稱軸左邊時，即當時，隨增大而增大，∴，∵，∴∴，都在對稱軸的左側，∵對于，都有，∴，解得，此時；綜上所述，的取值范圍為或．27.(1)解：由旋轉可得，，，，，，，在中，，，，；(2)解：；證明：連接，與交于點，如圖2，由旋轉可得，，，，平分，，∴，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，、、三點共線，且是等腰直角三角形，，，整理得；(3)解：如圖3，過作交于，交于，過作交于，延長交于，延長至，使，過作交于，將繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，，，，設，，，，，，，四邊形是矩形，點在上，，，四邊形是正方形，，，，，，，，為的中點，為的中點，與重合，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，當、、三點共線時取得最小值，此時，，，，，，．28.(1)解：①∵點C關于弦的中點M的對稱點在上或其內部，則稱點C為弦的“關聯點”，∴反向思考，作出關于點M的對稱圓，只要滿足，，在上或內部，均符合題意，∵，，∴，∵，∴，∵，∴點到的距離為，∴點在上，同理經過計算，到的距離為均大于半徑，故不符合題意，∴點是弦的關聯點，連接，∴，同理可求，，∴，∴，∵，∴，故答案為：，60；②同上作出關于點M的對稱圓，連接，∵，，，，同理可求，，，∴同理可求，∴，∴，∴，∴，∴的“關聯點”在優弧上（不包括端點），∴若直線上存在的“關聯點”，則直線與優弧上（不包括端點）有交點，當直線經過點A時，如圖：∴把代入得：，解得：，∴，直線與優弧上（不包括端點）有交點，當直線與相切時，如圖：記切點為H，連接，記直線與軸交于點，當時，，解得：，∴，當，，∴，則，∴，過作軸交直線于點，則，∵由切線得性質得到：∴，∴點，代入，求得：，∴，直線與優弧上（不包括端點）有交點，綜上所述：時，直線上存在的“關聯點”，故答案為：；(2)解：∵，∴點C在以O為圓心為半徑的圓上，對于弦，我們固定點，調整