試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學沖刺練習一次函數與折疊問題1．將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點．P是邊上的一點（點P不與點A，O重合），沿著折疊該紙片，得點O的對應點C．(1)填空：如圖①，當點C在邊上時，點P的坐標為________，的面積為________；(2)如圖②，當軸時，與交于點D，求點D的坐標；(3)設點A到直線的距離為d，在折疊過程中，當時，求的長（直接寫出結果即可）．2．如圖，矩形的邊、的長分別是方程的兩個根（），折疊矩形，使邊落在x軸上，點B與點E重合．(1)求折痕所在直線解析式．(2)將直線沿x軸負方向以每秒1個單位長度的速度平移，直接寫出直線掃過矩形的面積S與運動的時間t的關系式．(3)點P是直線上一點，試在平面內確定一點M，使得以A、B、P、M為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點M的坐標．3．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形的頂點，將矩形的一個角沿直線折疊，使得點A落在對角線上的點E處，折痕與x軸交于點D．(1)線段的長度為；(2)求線段的長，以及直線所對應的函數表達式；4．將矩形紙片放在平面直角坐標系中，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，，．(1)如圖①，沿折疊矩形，點落在處，交于點，求點F的坐標；(2)如圖②，點D是中點，點E在上，求的最小值；(3)如圖③，折疊該紙片，使點C落在邊上的點為，折痕為，點M在邊上，求直線的函數解析式．5．如圖，已知直線與軸，軸分別交于點和點，為線段上一點，若將沿折疊，點恰好落在軸上的點處．

(1)求，兩點的坐標．(2)求直線的函數表達式．6．如圖，四邊形是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標系中，使得點O與坐標原點重合，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為，D的坐標為．現將紙片沿過D點的直線折疊，使頂點C落在線段上的點F處，折痕與y軸的交點記為E．(1)求點F的坐標；(2)在x軸上是否存在點Q，滿足，若存在，求出點Q坐標；若不存在，請說明理由；(3)點P在直線上，且為直角三角形，請直接寫出點P的坐標．7．如圖，四邊形是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標系中，使得點與坐標原點重合，點A、C分別在軸、軸的正半軸上，點的坐標為，D的坐標為，現將紙片沿過點的直線折疊，使頂點落在線段AB上的點處，折痕與軸的交點記為．

(1)求點的坐標：(2)在軸上是否存在點，滿足，若存在，求出點坐標，若不存在請說明理由：(3)點在直線上，且為等腰三角形，請直接寫出點的坐標．8．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別相交于點、，C是線段上一點，將沿著折疊，點O落在點D，連接．(1)求直線的函數解析式；(2)若點D正好落在線段上，求點C的坐標；(3)若，求點D的坐標；(4)點P是平面內一點，若，請直接寫出直線的函數解析式．9．已知，直線經過點和點，點C在線段上，將沿折疊后，點O恰好落在邊上點D處．(1)求直線的表達式；(2)求的面積．10．將一長方形紙片放在直角坐標系中，O為原點，點C在x軸上，．(1)如圖1，在上取一點E，將沿折疊，使點O落在邊上的點D，求線段．(2)如圖2，在邊上選取適當的點M，F，將沿折疊，使點O落在邊上的點處，過點D，作垂直于于點G，交于點T．①求證：；②設，求y與x滿足的等量關系式，并將y用含x的代數式表示．(3)在（2）的條件下，當時，點P在直線上，問：在坐標軸上是否存在點Q，使以M，，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．11．長方形紙片中，，，把這張長方形紙片如圖放置在平面直角坐標系中，在邊上取一點，將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處．(1)點的坐標是______，點的坐標是______；(2)在上找一點，使最小，求點坐標．12．綜合與實踐課上；老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動，有一位同學操作過程如下：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二；在上選一點，沿折疊，使點落在正方形內部點處，把紙片展平，連接，，延長交于點，連接．(1)如圖1，當點在上時，______度；(2)改變點在上的位置（點不與點A，D重合）如圖2，判斷與的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，在平面直角坐標系中，正方形的邊在軸上，在y軸上，點在第一象限，點在邊上，，，直線交邊于，，求直線的解析式．13．在矩形中，．分別以，所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系．F是邊上一個動點（不與B，C重合），過點F的反比例函數的圖象與邊交于點E．

(1)當點F運動到邊的中點時，求點E的坐標；(2)連接、，求證：；(3)如圖2，將沿折疊，點C恰好落在邊上的點G處，求此時反比例函數的解析式．14．如圖1，直線，直線與y軸交于點A，與x軸交于點D，直線交x軸于點B，沿直線折疊，點O恰好落在直線上的點C處(1)求點B的坐標；(2)直線上有一點Q，使，求Q的坐標(3)如圖2，直線上的兩點F、G，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點G的坐標15．如圖，四邊形為矩形，，將矩形沿直線折疊，使點A落在點處．(1)求證：；(2)求直線的函數表達式；(3)在y軸上作點，連接，點N是x軸上一動點，直線上是否存在點M，使以M，N，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點坐標；若不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學沖刺練習-一次函數與折疊問題》參考答案1．(1)，；(2)(3)或8【分析】（1）根據折疊的性質，得，，設，則，結合，得到，得到，解答即可．（2）根據折疊的性質，結合軸，證明四邊形是正方形，再利用三角形的中位線定理，解答即可．（3）解答時，分軸和不平行x軸兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵點，點，∴，根據折疊的性質，得，設，則∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴點，故答案為：；∵，∴，故答案為：．（2）解：∵點，點，∴，根據折疊的性質，得，設，則，∵軸，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）解：當軸時，∵點，點，∴，根據折疊的性質，得，設，則，∵軸，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，此時；∴；當不平行x軸時，如圖所示，過點A作于點G，根據題意，得，設的交點為M，∵，∴，∴，∵，∴，∴，根據勾股定理，得，解得，此時，故或8．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，三角函數的應用，正方形的判定和性質，矩形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．2．(1)(2)(3)M的坐標為或或或【分析】先解方程得到，，再求出D點坐標，最后由待定系數法求解析式即可；分為：當時，直線掃過矩形的區域為等腰直角三角形，當時，直線掃過矩形的區域為一個等腰直角三角形加平行四邊形，當時，直線掃過矩形的區域面積為矩形的面積減去底部未掃過三角形的面積，分別列面積表達式求解即可；由點P是直線上一點，設，從而，，再分別判定以A、B、P三點的三角形為等腰三角形，列方程得到P點坐標，再由平行四邊形性質推出點M的坐標，注意分類討論即可．【詳解】（1）解：，解得，，、的長分別是方程的兩個根，，由折疊可知，，，則由待定系數法可得直線的直線解析式為（2）解：當時，直線掃過矩形的區域為等腰直角三角形，故；當時，直線掃過矩形的區域為一個等腰直角三角形加平行四邊形，故；當時，直線掃過矩形的區域面積為矩形的面積減去底部未掃過三角形的面積，即綜上，直線掃過矩形的面積S與運動的時間t的關系式為（3）解：點P是直線上一點，設，又，，，，，①當時，即，解得，，，此時可得，②當時，即，解得或與A重合，舍去，即，此時可得③當時，即，解得，即，此時可得綜上，M的坐標為或或或【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，矩形的性質，動點引出的幾何圖形面積與函數問題，兩點間距離公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上內容是解題關鍵．3．(1)15(2)，【分析】本題考查一次函數與幾何圖形，矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握一次函數的圖象及性質，待定系數法求函數解析式的方法，矩形的性質是解題的關鍵．（1）矩形中，可得；（2）求出點，，，由待定系數法求出直線的解析式．【詳解】（1）解：，，四邊形是矩形，，，故答案為：15；（2）解：由折疊的性質得：，，設，則，在中，，即，解得，，，，，設直線所對應的函數表達式為，將點代入得：，解得，則直線所對應的函數表達式為．4．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根據平行線和折疊的性質得：，設，根據勾股定理得解出可解答；（2）作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即的長，根據勾股定理可解答；（3）過作軸于，設，根據勾股定理列方程得求得點，然后利用待定系數法求得的解析式．【詳解】（1）解：由折疊得：，四邊形是矩形，，，，，，設，則，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如圖②，作點關于的對稱點，連接，交于，此時的值最小，即，過作軸于，，是的中點，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如圖③，過作軸于，，，設，則，，在中，由勾股定理得：，，，．設的解析式為，將，代入得：，解得：，的解析式為．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質、矩形的性質及最短路徑的知識，綜合性較強，難度適中，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，本題輔助線的作法是關鍵．5．(1)，(2)直線的解析式為．【分析】（1）本題考查一次函數與坐標軸的交點，根據軸上的點，軸上的點，代入求解即可．（2）本題根據勾股定理得出的長，設，利用折疊的性質，推出，，又，在中通過勾股定理求得，給出的坐標，再利用待定系數法即可求得直線的解析式．【詳解】（1）解：當時，有，解得，即，當時，有，解得，即．（2）解：設，則，將沿折疊，點恰好落在軸上的點處．，，，，，，在中，，解得，，設直線的解析式為，將代入解析式，有，解得，直線的解析式為．【點睛】此題考查了折疊的性質、待定系數法求一次函數的解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、勾股定理等知識，解答本題的關鍵是求出的長度．6．(1)(2)存在，或(3)或【分析】（1）由題意得，可得，根據勾股定理可得的值，進而可得點的坐標；（2）根據，可得，過點作，與軸交于點，與等底同高面積相等，點即為存在的點；（3）設，當時，當時，當時，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】（1）解：，，由折疊可得，在中，，，，；（2）解：存在，過點作于點，設，，，，，，設直線解析式為：，將代入得，，解得：，直線的解析式為：，，設，過點作軸交直線于點，則，，，或，或，或；（3）解：，，如圖：連接，∴，∴，點P不在直線上，不符合題意；當時，如圖：設，則，，為直角三角形，，解得，或(舍去)，時，，的坐標為；當時，如圖：，，解得∶，當時，則，的坐標為，綜上所述，的坐標為或．【點睛】本題考查了矩形，直角三角形，點的坐標，一次函數解析式等知識點，通過證明三角形全等，根據勾股定理求值，用解析式方法求點的存在性是解本題考查的關鍵，是一道經典的四邊形綜合題，綜合性較強，難度較大．7．(1)(2)當時，則點Q的坐標為或(3)點的坐標為：，，，【分析】（1）由題意易得，可得，根據勾股定理可得的值，進而可得點的坐標；（2）①當點Q落在x軸的正半軸時，由，可得，過點作，與軸交于點，與等底同高面積相等，點即為存在的點；②當點Q落在x軸的負半軸時，過點C作，交x軸于點，同理①可求解；（3）①以為半徑，點的圓心，作弧，交直線與點、；②以為半徑，點的圓心，作弧，交直線與點；作的中垂線，交直線于點；點、、、即為所求的點的坐標．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，是由沿折疊所得，∴，，點的坐標為，的坐標為，，，，，，∴，點的坐標為；（2）解：存在，理由如下：①當點Q落在x軸的正半軸時，如圖1所示：過點作，與軸交于點，點即為存在的點．

是由沿折疊所得，∴，∴根據平行線間的距離都相等可知：，過點E作于點H，如圖所示，∴，設，則有，，∴由勾股定理得：，解得：，∴，設直線的解析式為，將點、點代入，聯立方程可得，，解得：，直線的解析式為，設直線的解析式為，∵，直線的解析式為，，直線的解析式為，將點代入，可得，，解得：，直線的解析式為，當時，，解得：，點的坐標為；②當點Q落在x軸的負半軸時，過點C作，交x軸于點，根據平行間的距離相等可知此時滿足，如圖所示，

同理①可得直線的解析式為，∴當時，，解得：，點的坐標為；綜上所述：當時，則點Q的坐標為或；（3）解：設直線與x軸的交點為M，如圖2所示：

①以為半徑，點的圓心，作弧，交直線與點、，由（2）可知：直線的解析式為，，∴當時，，解得：，點的坐標為；∴，過點軸于點N，則有，設，，解得：（負根舍去），∴，同理可得：，②以為半徑，點的圓心，作弧，交直線與點，過點作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理①可得：，③作的中垂線，交直線于點，∴，同理可知，∴，同理可得，綜上所述，點的坐標為：，，，．【點睛】本題考查了矩形、等腰三角形、點的坐標、一次函數解析式等知識點，通過證明三角形的全等，根據勾股定理求值，函數與圖形結合，用解析式方法求點的存在性是解本題的關鍵，是一道經典的四邊形綜合題，綜合性較強，難度較大．8．(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）利用待定系數法求解；（2）先利用勾股定理求出，由折疊的性質得出，．設，則，，利用勾股定理解即可；（3）連接交于點E，由翻折可得：，，，根據求出點C的坐標，進而求出直線和直線直線的表達式，聯立求出點E的坐標，最后根據中點公式可得點D的坐標；（4）分點P在上方與下方兩種情況，添加輔助線，構造全等三角形，利用全等三角形的性質得出相關線段的長度，即可求解．【詳解】（1）解：將、代入直線得：，解得：，∴；（2）解：如圖，∵、，∴，∴，由折疊得：，．∴，設，則，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：連接交于點E，

由翻折可得：，，∴，∵，∴，∴，∵，∴直線的表達式為：，∵∴直線的表達式為：，聯立：解得：，∴，∵，∴；（4）解：分兩種情況：若點P在直線的上方，令，軸于點M，如圖，，，是等腰直角三角形，，，又，，又，，，，，，，設直線的函數解析式為，將和代入，得：，解得，直線的函數解析式為；同理，若點P在直線的下方，構造，如圖，可得，直線的函數解析式為．綜上可知，直線的函數解析式為或．【點睛】本題考查一次函數的綜合問題，坐標與圖形，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，兩條直線的交點問題等，熟練掌握一次函數的圖象和性質，以及分類討論思想是解題的關鍵．9．(1)(2)15【分析】本題考查了求一次函數表達式，勾股定理，折疊的性質，解題的關鍵是掌握用待定系數法求解函數表達式的方法和步驟，以及直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊的平方．（1）設直線的表達式為，把、代入求出k和b的值，即可得出函數表達式；（2）根據勾股定理得出，由折疊的性質可知，，則，設，根據勾股定理列出方程求出x的值，進而得出，最后根據即可求解．【詳解】（1）解：設直線的表達式為，把、代入得：，解得：，∴直線的表達式為；（2）解：∵、∴，∴，∵由沿著折疊所得，∴，∴，設，則，根據勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴．10．(1)4(2)①見解析；②(3)存在，或或【分析】（1）由折疊的性質可知，，，由勾股定理得，，則，設，則，由勾股定理得，，即，計算求解即可；（2）①由折疊的性質可知，，，證明，四邊形是矩形，則，，，可得，進而可證；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可；（3）當時，，即，，則，，以M，，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，分當為對角線時，，如圖1，，重合；當為邊，為對角線時，，如圖1，，重合；當為邊，為邊時，，如圖1，，三種情況求解作答即可．【詳解】（1）解：∵長方形，∴，由折疊的性質可知，，，由勾股定理得，，∴，設，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴線段的長為4．（2）①證明：由折疊的性質可知，，，∵，，∴，四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；②解：∵，∴，，由勾股定理得，，即，整理得，；（3）解：當時，，∴，，∴，，∵以M，，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，∴當為對角線時，，如圖1，，重合，

∴，由平移的性質可得，；當為邊，為對角線時，，如圖1，，重合，則，由平移的性質可得，；當為邊，為邊時，，如圖1，，設直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，令，則，解得，，∴；綜上所述，在坐標軸上存在點Q，使以M，，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形，Q點坐標為或或．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理，平行線的判定與性質，等角對等邊，平行四邊形的性質，一次函數解析式，平移的性質等知識．熟練掌握矩形的判定與性質，折疊的性質，勾股定理，平行線的判定與性質，等角對等邊，平行四邊形的性質，一次函數解析式，平移的性質是解題的關鍵．11．(1)，；(2)．【分析】（）由折疊可得，，利用勾股可得，即得，得到點的坐標是，設，則，在中由勾股定理得，解方程可得，即得點的坐標；（）作點關于的對稱點，連接，交于點，則，即得，由兩點之間線段最短，可得此時最小，由對稱可得點，利用待定系數法可得直線的解析式為，把代入函數解析式即可求解；本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，軸對稱最短線段問題，待定系數法求一次函數解析式，求一次函數圖象上點的坐標，利用軸對稱找到點的位置是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由折疊可得，，，∵四邊形是長方形紙，∴，，，∴，∴，∴點的坐標是，設，則，在中，，∴，解得，∴，∴點的坐標是，故答案為：，；（2）解：作點關于的對稱點，連接，交于點，則，∴，由兩點之間線段最短，可得此時最小，∵點和點關于對稱，∴點，設直線的解析式為，把、代入得，，解得，∴直線的解析式為，把代入得，，解得，∴點坐標為．12．(1)30(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，根據折疊得出為對稱軸，根據軸對稱的性質得出，，證明為等邊三角形，得出，求出結果即可；（2）根據折疊和正方形的性質，得出，得出，即可；（3）延長至F，使得，連接，，證明，得出，，，證明，得出．設，則，，求出，得出點E的坐標，利用待定系數法，求出函數解析式即可．【詳解】（1）解：連接，∵為對稱軸，∴，，∴為等邊三角形，∴，∴．（2）證明：∵四邊形為正方形，∴，，根據折疊可知：,，∴，∴，，∴，∴．（3）解：延長至F，使得，連接，，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∴∵在和中，，，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．在中，設，則，∴，解得：，設直線為，代入點得：，解得：，∴直線為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，求一次函數解析式，勾股定理，折疊的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質．13．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）先求出點的坐標，進而得到反比例函數的解析式，再求出點坐標即可；（2）分別求出直線的解析式，即可得證；（3）過點作軸，交于點，證明，列出比例式，求出的長，再利用勾股定理進行求解即可．【詳解】（1）解：∵矩形中，，∴，，當點F運動到邊的中點時：，∴，∴，∵反比例函數的圖象與邊交于點E，∴，∴；∴；（2）如圖：

∵，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線：；設：直線，∵，∴，解得：，∴直線：，∴；（3）如圖，過點作軸，交于點，則四邊形為矩形，∴，

∵翻折，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查反比例函數與幾何的綜合應用，相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理．利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．14．(1)(2)或(3)【分析】（1）設，則，在中，根據，構建方程即可解決問題；（2）分兩種情況：當點Q在線段上時，當點Q在延長線上時，分別求出點Q的坐標即可；（3）作軸于，軸于，由，推出，，設，，根據、在直線上，構建方程組即可解決問題【詳解】（1）解：對于直線，令，得到，可得，令，得到，可得，，，，，設，則，在中，，，，