第13講二次函數圖象與性質

錄

題型過關練

題型01判斷函數類型

題型02已知二次函數的概念求參數值

題型03利用待定系數法求二次函數的解析式（一般式）

題型04利用待定系數法求二次函數的解析式（頂點式）

題型05利用待定系數法求二次函數的解析式（交點式）

題型06根據二次函數解析式判斷其性質

題型07將二次函數的一般式化為頂點式

題型08利用五點法繪二次函數圖象

題型09二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質

題型10二次函數平移變換問題

題型11已知拋物線對稱的法點求對稱軸

題型12根據二次函數的對稱性求字母的取值范圍

題型13根據二次函數的性質求最值

題型14根據二次函數的最值求字母的取值范圍

題型15根據規定范圍二次函數自變量的情況求函數值的取值范圍

題型16根據二次函數的增減性求字母的取值范圍

題型17根據二次函數圖象判斷式子符號

題型18二次函數圖象與各項系數符號

題型19二次函數、一次函數綜合

題型20二次函數、一次函數、反比例函數圖象綜合

題型21拋物線與X軸交點問題

題型22求X軸與拋物線的截線長

題型23根據交點確定不等式的解集

題型24二次函數與斜三角形相結合的應用方法

___________________________________________________

重難創新練

題型過關練

題型01判斷函數類型

I.(2022?北京房山?統考一模)某長方體木塊的底面是正方形，它的高比底面邊長還多50cm,把這個長方

體表面涂滿油漆時，如果每平方米費用為16元，那么總費用與底面邊長滿足的函數關系是()

A.正比例函數關系B.一次函數關系

C.反比例函數關系D.二次函數關系

【答案】D

【分析】設底面邊長為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設總費用為.y元，則可表示出y與x的函數關

系，根據關系式即可作出選擇.

【詳解】設底面邊長為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設總費用為y元，

由題意得：y=16[2/+4x(x+50)]=96/+3200%,

這是關于一個二次函數.

故選：D.

【點睛】本題考查了列函數關系并判斷函數形式，關鍵是根據題意列出函數關系式.

2.(2023?北京東城?北京市廣渠門中學校考模擬預測)用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的?邊長為

xm,它的鄰邊長為ym,矩形的面積為Sm?.當“在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與

x,S與x滿足的函數關系分別是()

A.二次函數關系，一次函數關系B.正比例函數關系，二次函數關系

C.二次函數關系，正比例函數關系D.一次函數關系，二次函數關系

【答案】D

【分析】根據長方形的周長公式和面積公式得出y與人S與x的關系式即可做出判斷.

【詳解】解：由題意可得：2x+2y=10,S=xy.

即：y=5-x,S=x(5-x)=-x2+5x,

???丁與x是一次函數關系，S與x是二次函數關系，

故選：D.

【點睛】本題考查二次函數與一次函數的識別、矩形的周長與面積公式，理清題中的數量關系，熟練掌握

二次函數與一次函數的解析式是解答的關鍵.

3.（2023?北京石景山?統考二模）如圖，在RtaACB中，LACB=90°,=10.點尸是邊上一

動點（不與C,8重合），過點P作「Q1CB交于點Q.設CP=x,BQ的長為y,△8PQ的面積為S,則y

與工，S與％滿足的函數關系分別為（)

A.一次函數關系，二次函數關系B.反比例函數關系，二次函數關系

C.?次函數關系，反比例函數關系D.反比例函數關系，一次函數關系

【答案】A

t分析】先求出=匕3=45。，再求出3P=10-然后解收△3PQ得到PQ=10-尤，BQ=

>/2（10-x）,進而得到丫=-&％+10&,S=1（10-x）2,由此即可得到答案.

【詳解】解：??,在RtMCB中,LACB=90%CA=CB=10,

：.LA=LB=45°,

*：CP=x,

：.BP=BC-CP=10-x,

?:PQ1CB,

:.乙QPB=90°,

在RtABPQ中，PQ=BP-tanB=10-x,BQ=^=V2(10-x),

='泛(10—x)=->j2x+10夜，S=~BP-PQ=1(10—x)2,

???y與臬S與x滿足的函數關系分別為一次函數關系，二次函數關系,

故選A.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊對等角，列函數關系式，正確求出y二-企x+10&,S=

-10-幻2是解題的關鍵.

題型02已知二次函數的概念求參數值

1.(2023?四川南充?統考一模)點P(a,9)在函數y=4/-3的圖象上，則代數式(2a+3)(2。-3)的值等

于.

【答案】3

【分析】利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出4a2=12,將其代入(2a+3)(2。-3)=4a2-9中即可

求出結論.

【詳解】解：二,點P(a,9)在函數y=4x2-3的圖象上,

:.9=4a2—3,

二4a2=12,

則代數式(2Q+3)(2Q-3)=4CZ2-9=12-9=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式是解題

的關鍵.

2.(2020?陜西西安?西安市大明宮中學校考三模)已知二次函數了=(6-1)》蘇-3的圖象開口向下，則〃？

的值為

【答案】一遍

【分析】根據一次函數的定義及開口向下時〃?+1<0即可解答.

【詳解】根據題意得：

[m—1<0

-3=2

解得：m=-V5.

故答案為：—V5.

【點睛】本題考查的是二次函數的定義及性質，易錯點是只考慮其次數是2,沒有考慮開口向下時的性

質.

3.(2021?四川涼山?統考模擬預測)若丁=(〃L1)H"+8〃?x-8是關于x的二次函數，則其圖象與x軸

的交點坐標為.

【答案】(-2,0)

【分析】首先根據二次函數的定義可知依|+1=2且〃l"(),求出〃?的值并代入，再令尸0求出x的值，

即可得出答案.

【詳解】V|m|+1=2,

in-I/O.

，〃印1,

.*.771=-1,

.*.v=-Zv2-8x-8.

當y=0時，K/=X2=-2,

工拋物線與x軸交點坐標為（-2,0）.

故答案為：（-2,0）.

【點睛】本題主要考杳了二次函數的關系式，求拋物線與x軸的交點坐標，根據二次函數的定義求出〃，的

值是解題的關鍵.

題型03利用待定系數法求二次函數的解析式（一般式）

1.（2021?廣東廣州?統考中考真題）拋物線y=。/+加；+。經過點（_1,0）、（3,0）,且與），軸交于點

（0,-5）,則當％=2時,），的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】A

【分析】解法一：先利用待定系數法求出拋物線解析式，再求函數值即可.

解法二：利用二次函數圖象的對稱性可知：*=2和工=0對應的函數值相等，從而得解.

【詳解】解：:拋物線y=a無2+/）無+c經過點（一1,0）、（3,0）,且與y軸交于點（0,-5）,

c=-5

a-b+c=0，

9a+3b+c=0

解方程組得《a=5,

【T

???拋物線解析式為y=Jo

當x=2時，y=1x4——x2—5=-5.

故選擇A.

解法二：拋物線y=a/+bx+c經過點（一1,0）、（3,0）,

???拋物線的對稱軸為：x=三中=1,

又?.?等=1,

??.；＜=2和％=0的函數值相等，即均為一5,

故選擇A.

【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，和函數值，掌握系數法求拋物線解析式方法和函數值求法

是解題關鍵.同時利用數形結合思想和對稱性解題會起到事半功倍的效果.

2.（2022?山東泰安?統考中考真題）拋物線y=。/+匕％+6：上部分點的橫坐標工，縱坐標），的對應值如

下列結論不正確的是（）

A.拋物線的開口向下B.拋物線的對稱軸為直線x=9

C.拋物線與x軸的■個交點坐標為（2,0）D.函數y="+c的最大值為彳

【答案】C

【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項即可

4Q-2b+c=0

【詳解】解：由題意得Q—匕+c=4

c=6

a=-1

解得b=1,

c=6

2

???拋物線解析式為、=一/+%+6=-（％-3）+個，

???拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線％=4,該函數的最大值為B，故A、B、D說法正確，不符合題

意；

令、=0,則―/+%+6=0,

解得％=3或%=—2,

???拋物線與工軸的交點坐標為（-2,0）,（3,0）,故C說法錯誤，符合題意;

故選c.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵.

3.（2022?浙江紹興?統考中考真題）已知函數丫=-/+bx+c（b,c為常數）的圖象經過點（0,-3）,

（-6?-3）.

（1）求b,c的值.

⑵當-4<x<0時。，求y的最大值.

（3）當時，若），的最大值與最小值之和為2,求〃?的值.

【答案】（1）〃=-6,。=-3

（2口=-3時，y有最大值為6

（3>=-2sJc-3-x^lO

【分析】（1）把（0,-3）,（-6,-3）代入），=-/+b%+c,即可求解;

（2）先求出拋物線的頂點生標為（-3,6）,再由-4夕50,可得當工=-3時，），有最大值，即可求解；

（3）由（2）得當x>-3時，y隨x的增大而減小；當g-3時，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況：當

-3<怔0時，當〃右-3時，即可求解.

【詳解】（1）解：把（0,-3）,（-6,-3）代入y=-/+bx+c,得：

fc=~3&，解得：”一？；

（2）解：由（1）得：該函數解析式為丁=一/一6%-3=-（X+3）2+6,

???拋物線的頂點坐標為（-3,6）,

V-K0

工拋物線開口向下，

又；4SW0,

，當x=-3時，y有最大值為6.

（3）解：由（2）得：拋物線的對稱軸為直線尸-3,

???當x>-3時，y隨x的增大而減小；當爛-3時，y隨x的增大而增大,

①當-3V〃?4時，

當上=0時，y有最小值為-3,

當工=/"時，y有最大值為——6m—3,

-m2-6m-3+（-3）=2,

「?，〃=-2或〃?=-4（舍去）.

②當w<-3時，

當工=-3時，y有最大值為6,

??j的最大值與最小值之和為2,

???)：最小值為-4,

4-3)2+6=4

ni=-3—J10或m=-3+V10(舍去).

綜上所述，〃?=-2或一3-同.

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，并利用分類討論思想

解答是解題的關鍵.

題型04利用待定系數法求二次函數的解析式(頂點式)

I.(2023?江蘇泰州?校考三模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為(4,-3),

該圖象與x軸相交于點A、8,與1y軸相交于點C,其中點A的橫坐標為1.

(I)求該二次函數的表達式；

⑵求tanz/BC.

【答案】(1)該二次函數解析式為y=g(工一4/一3；

(2)tan乙4BC=

3

【分析】(1)由題意可設拋物線解析式為：y=a(x-4)2-3,將4(1,0)代入解析式來求。的值;

(2)由銳角三角函數定義解答.

【詳解】(1)解：由題意可設拋物線解析式為：y=a(x-4)2-3,(a00).

把8(1,0)代入，得0=履1-4)2-3,

解得Q=p

故該二次函數解析式為y=l(x-4)2-3：

(2)解：令3=0,則y=〃0—4)2—3=4則。。=4

333

因為二次函數圖象的頂點坐標為(4,-3),4(1,0),則點4與點A關于直線％=4對稱，

所以8(7,0).

所以。8=7.

7

所以tan乙4BC=器=.=/即tan〃BC=￡

【點睛】考查了拋物線與.1軸的交點，二次函數的性質，待定系數法確定函數關系式以及解直角三角

形.解題時，充分利用了二次函數圖象的對稱性質.

2.(2023?河北廊坊?校考三模)如圖，二次函數的圖象經過點頂點坐標為(2,3).

⑴求這個二次函數的表達式；

(2)當0<%<3時，y的取值范圍為」

(3)直接寫出該二次函數的圖象經過怎樣的平移恰好過點(0,-4),且與、軸只有一個公共點.

【答案】(1?=-0-2)2+3

(2)-1<y<3

(3)該二次函數的圖象向下平移3個單位長度或向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度恰好經過

點(0,-4),且與x軸只有一個公共點

【分析】(1)由題意設二次函數的頂點式，代入(0,-1)進行計算即可得到答案；

(2)由函數表達式可知：二次函數y=-(％-2)2+3的圖象有最高點(2,3),對稱軸是直線x=2,從而

可得此時y的取值范圍；

(3)該二次函數的圖象平移后的頂點在x軸上，設它的表達式為y=-(工一九尸，再把點(0,-4)代入，

求出力的值，即可得出結論.

【詳解】(1)解：???二次函數的圖像經過點(0,-1),頂點坐標為(2,3),

二設這個二次函數的表達式為：y=a(x-2)2+3(a*0),

把(0,-1)代入得：

-l=a(0-2)2+3,,

解得：。=一1,

二這個二次函數的表達式為：y=-(x-2)2+3；

(2)解：二次函數的表達式為y=-(％-2)2+3,

二二次函數y=-(x-2)2+3的圖象有最高點(2,3),對稱軸是直線x=2,

當x=0時，y=—(0—2尸+3=-1,

當《=3時，y=-(3-2)2+3=2,

的取值范圍為：一1工7工3,

故答案為：-1WyW3；

(3)解：???該二次函數的圖象經過平移后，與x軸只有一個公共點，

二該二次函數的圖形平移后的頂點在工軸上，設它的表達式為y=-(x-/i)2,

?.?該二次函數的圖像經過怎樣的平移恰好過點(0,-4),

-4=—(0—h)2,

解得：h=±2,

即該函數的圖象平移后的表達式為：y=-(x-2)2或y=-(X+2)2,

二該二次函數的圖象向下平移3個單位長度或向左平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度恰好經過

點(0,-4),且與x軸只有一個公共點.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、求二次函數的函數值的取值范圍、二次函數圖

象的平移，熟練掌握二次函數的圖象與特征是解題的關鍵

題型05利用待定系數法求二次函數的解析式(交點式)

1.(20237T蘇揚州?統考二模)已知：二次函數的圖象經過點(TO"(工①和(0,幻,當

x=2時，y的值為.

【答案】3

【分析】根據題意可得交點式y=QQ—3)a+l),然后把(0,3)代入求出。值，即可求出二次函數表達

式.

【詳解】解：?.?二次函數y=Q/+必+c的圖象經過點(一1,0)、(3,0)

???拋物線的解析式為y=a(x-3)(%十1),

把(0,3)代入得：-3a=3,解得：a=-1,

???函數的解析式為y=-(x-3)。+1),

即)，=一%2+2%+3,

?,?當％=2時，y=-22+2x2+3=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法求函數解析式是解題關鍵.

2.(2022?山東威海?統考一模)如圖I,在平面直角坐標系xO)，中，拋物線尸療+法+c與x釉分別相交于

A、B兩點,與)，軸相交于點C,下表給出了這條拋物線上部分點(x,)，)的坐標值：

X???-10123???

y???03430???

則這條拋物線的解析式為.

【答案】y=-x2+2x+3

【分析［根據表格可得到點(-1,0)、(0,3)、(3,0),設拋物線的解析式為y=。(％+1)(%-3),將(0,

3)代入解析式即可得到。的值，再帶回所設解析式化為一般式即可.

【詳解】根據表格可得到點(-1,0)、(0,3)、(3,0)

設拋物線的解析式為y=a(x+l)(x-3)

將(0,3)代入解析式得3=-3々

解得Q=-1

二解析式為y=-(%+1)(%-3)=-x2+2x+3

故答案為：y=-x24-2x+3.

【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式，熟練掌握待定系數法求解析式的步驟是解題的關鍵.

題型06根據二次函數解析式判斷其性質

1.(2022?廣東江門?鶴山市沙坪中學校考模擬預測)關于二次函數y="2+2%-8,下列說法正確的是

()

A.圖象的對稱軸在)，軸的右側

B.圖象與y軸的交點坐標為(0,-9)

C.圖象與x軸的交點坐標為(一2,0)和(4,0)

D.y的最小值為一9

【答案】D

【分析】把二次函數的解析式化成頂點式和交點式，再利用二次函數的性質就可以判斷各個選項中的結論

是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】解：???二次函數y=x2+2x-8=(x+I)2-9=(x4-4)(x-2),

,該函數的對稱軸是直線％=-1,在>，軸的左側，故選項A錯誤；

當x=0時，y=-8,即該函數與)，軸交于點(0,-8),故選項B錯誤；

當y=0時，%=2或%=-4,即圖象與x軸的交點坐標為(2,0)和(一4,0),故選項C錯誤；

當《二-1時，該函數取得最小值丁二-9,故選項D正確.

故選：D

【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，把二次函數解析式化為頂點式和交點式是解題的關鍵.

2.(2023?遼寧阜新?阜新實驗中學校考二模)對十二次函數y=-12+2X+1的性質，卜列敘述止確的是

()

A.當x>0時，y隨x增大而減小B.拋物線與直線y=x+2有兩個交點

C.當％=2時，y有最小值3D.與拋物線y=-1/形狀相同

【答案】D

【分析】將該拋物線表達式化為頂點式，記錄判斷A、C;聯立/=%+2和曠=一；*2十2%十1,得到方程

0=-：％2+%―1,各級一元二次函數根的判別式，即可判斷&根據二次函數平移的性質，即可判斷

D.

【詳解】解：??1=-3/+2%+1=一1%-2)2+3,

，該二次函數的對稱軸為直線x=2,

a=-^<0,函數開口向下，

???當》>2時，y隨x增大而減小，故A錯誤，不符合題意；

B、當y=x+2時，x+2=-1%2+2x4-1,

整理得：0=-27+%-1

2

:?N=b2-4ac=l2—4x0x(—1)=—1<0>

???方程》+2=-3工2+2》+1無實數根，則拋物線與直線y=x+2沒有交點，故B錯誤，不符合題意；

C、Yy=-/x-2尸+3,a=<0,函數開口向下，

，當％=2時，y有最大值3,故C錯誤，不符合題意；

D、??]=一式％-2）2+3可由丫=一3/向右平移2個單位長度，向上平移3個單位長度得到，

.??），=—：*2+2%+1與拋物線y=—形狀相同，故D正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握、=0-h）2+憶的對稱軸為工二九，頂

點坐標為（h,k）；Q>0時，函數開口向上，在對稱軸左邊，y隨尤的增大而減小，在對稱軸右邊，），隨工的

增大而增大，a<0時，函數開口向下\在對稱軸左邊，），隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，），隨x的增

大而減小.

3.（2023?廣東深圳?校考三模）關于二次函數y=-2（%-1）2+6,下列說法正確的是（）

A.圖象的對稱軸是直線％=-1B.圖象與x軸沒有交點

C.當％=1時，，y取得最小值，且最小值為6D.當％>2時，y的值隨x值的增大而減小

【答案】D

【分析】對于二次函數y=。（無一九）2+依〃，h,A為常數，QWO）,當Q>0時，拋物線開口向上，在對稱

軸的左側y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，此時函數有最小值；當。<0時，拋

物線開口向卜，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側），隨x的增大而減小，此時函數有

最大值.其頂點坐標是（兒左），對稱軸為直線％=力.根據二次函數y=a。一九產+k的性質解答即可.

【詳解】解：???拋物線y=-2（%-+6,

???該拋物線的圖象開口向下，對稱軸是直線%=1,故選項A錯誤，不符合題意；

???頂點坐標為（1,6）,

???當x=l時，函數取得最大值6>0,故選項C錯誤，不符合題意；

又1?拋物線的圖象開口向下，

???圖象與尤軸有2個交點，

故選項B錯誤，不符合題意；

當欠>2時，y隨x的增大而減小，故選項D正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，熟練掌握二次函數、=研尤-九）2+目的性質是解答本題的關

鍵.

題型07將二次函數的一般式化為頂點式

1.（2023?浙江?模擬預測）要得到丫二一2/-12%-19圖象，只需把拋物線y=-2%2-4%-1圖象如何變

換得到（）

A.向左平移2個單位、向上平移2個單位B.向左平移2個單位、向下平移2個單位

C.向右平移2個單位、向上平移2個單位D.向右平移2個單位、向下平移2個單位

【答案】B

【分析［將二次函數解析式化為頂點式，再根據圖象平移規則“左加右減，上加下減”求解即可.

【詳解】解：?.3二一2/一12%-19=-2（%+3）2-1,y=-2x2-4x-1=-2（x+I）2+1,

工將拋物線丫二-2（無+1）2+1向左平移2個單位、向下平移2個單位y=-2（x+l+2）2+l-2,即、二

-2（x+3）2-1,

故選:B.

【點睛】本題考查二次函數圖象的平移，熟練掌握函數圖象平移的規則是解答的關鍵.

2.（2023?陜西渭南?統考二模）將拋物線〉=aM+bx-2（a、》是常數，aH0）向下平移2個單位長度

后，得到的新拋物線恰好和拋物線y=3/+x-4關于y軸對稱，則〃、〃的值為（）

A.a=-l，b=-2B.a=「"-1C.a=^b=-AD.a=l,b=2

【答案】C

【分析】先求出拋物線y=：/+%—4關于），軸對稱的拋物線為y=；（x—l）2—（再根據拋物線平移的

2

性質得出拋物線y=Q/+hx-2向下平移2個單位長度后為y=ax+bx-4,即可得出a和h的值.

【詳解】解：??3=：/+%-4=/%+1）2-（

???拋物線y=^x2+x-4關于y相對稱的拋物線為y=|（x-l）2-支

:拋物線y=ax2+bx-2向下平移2個單位長度后為y=ax2+bx-4,

Vy=ax2+bx-4與y=^x2+x-4關于），軸對稱，

/.>?=ax2+Z?x-4=^（x-l）2-p

整理得：y=ax2+bx-4=1x2-x-4,

??a=-2>b=—1,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次函數的平移規律，解題的關鍵是掌握將二次函數化為頂點式的方法和步驟，

以及二次函數的平移規律：上加下減，左加右減.

3.（2021?陜西西安?西北工業大學附屬中學校考模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線y=好-2mx+

mz+2m+1的頂點一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】把函數解析式整理成頂點式形式，再根據m的取值范圍，分類討論，即可判斷頂點所在的象限.

（詳解】解：（1）Vy=x2-2mx+m24-2/n+1=（x-/n）2+2m+1,

，頂點坐標為（m,27n+1）,

???當m<—：時，m<0,2m+1<0,頂點在第三象限；

當-1<ni<0時，m<0,2m4-1>0,頂點在第二象限；

當n>0時，m>0,2m+1>0f頂點在第一象限；

綜上所述，拋物線y=x2-2mx+m2+2血+1的頂點一定不在第四象限，

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數解析式的轉化，坐標軸上點的性質，熟悉相關性質是解題的關鍵.

題型08利用五點法繪二次函數圖象

1.（2022?安徽合肥?統考二模）在函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合圖形研

究函數性質及其應用的過程，以下是研究三次函數y=ax3+\2（aH0）的性質時，列表和描點的部分過

程，請按要求完成下列各小題.

X???-6-5-4-3-2-101???

252757

y???0mn0???

~8~888

(1)表格中〃?=，*,并在給出的坐標系中用平滑

的曲線畫出該函數的大致圖象；

(2)結合圖象，直接寫出3工。/+]/的解集為：______.

24

【答案】(1)4,2

(2)-6<x<-2或X>2.

【分析】(1)把把％=1,y=泉弋入y=。先求解再把％=一%%=-2代入解析式即可

得到答案；再畫函數圖象即可；

(2)先判斷y=：x+3過(一6,0),(—2,2),(2,4),再結合函數圖象可得答案.

【詳解】(1)解：把x=l,y=9代入y=。/十3%2(。中0)可得：

84

.37

???a+Z-

.??a=/

函數解析式為：y=jx3+：一,

當x=-4時，m=：x(一4T+：x(-4)2=4,

當x=-2時，n=^x(一2尸+：x(-2)2=2.

當x=2時，y=lx23+-x22=1+3=4.

畫圖如下:

y

X

（2）解：對于y=：%+3,

當x=0時，y=3,當y=0時，x=-6,

當x=2時，y=4,當％=-2時，y=2,

所以y=3%+3過（。,3）與（一6,0）,還過（2,4）,（-2,2）,

結合函數圖象可得：；工+3工。/+：工2的解集為：一6工工工一2或%22.

24

【點睛】本題考查的是畫函數圖象，利用函數圖象解不等式，探究函數的性質，掌握“數形結合的方法”是

解本題的關鍵.

2.（2022.廣東深圳?統考二模）小明為了探究函數M：y=-i+4W|-3的性質,他想先畫出它的圖象，

然后再觀察、歸納得到，并運用性質解決問題.

(I)完成函數圖象的作圖，并完成填空.

①列出y與x的幾組對應值如下表：

X?.?-5-4-3-2-1012345???

y???-8-3010-3010a-8???

表格中，a-：

②結合上表，在下圖所示的平面直角坐標系xQy中，畫出當￡>0時函數M的圖象；

③觀察圖象，當尸時，y有最大值為;

(2)求函數M：y=—產+4|劃一3與直線/：y=2x-3的交點坐標；

(3)已知P(小，%),Q(m+1,y2)兩點在函數M的圖象上，當y1<y2時，請直接寫出機的取值范圍.

【答案】⑴①?3；②見解析；③2或-2,I

(2)(-6,-15),(0,-3),(2,1)

(3)?n<-2.5或一0.5<m<1.5

【分析】(1)①觀察表格，根據對稱性直接求得a的值：

②根據描點連線畫出函數圖象也可根據對稱性畫出函數圖象；

③根據函數圖像直接求解；

(2)分x>0,x<0兩種情況聯立解方程求解即可；

(3)根據函數圖象選取函數圖象中y隨尤增大而增大的部分的白變量取值范圍即可求解

【詳解】(1)①根據表格數據可知y與x的幾組對應值關于％=0對稱，

當％=4與x=-4的函數值相等，則a=-3

故答案為：一3

②畫圖如下，

③觀察圖象，當戶2或-2時，y有最大值為1：

故答案為：2或-2,1

(2)由、=一/+4氏|-3,

當xNO時，y=-%2+4%-3

(y=-x24-4%-3

Iy=2x-3

當力<0時，y=-x2—4x—3

(Xt=0(X2=-6

tyi=-3'ly2=T5

綜上所述,交點坐標為(6?15),(0,-3),(2,1)；

(3)觀察函數圖像可知，當％V-2以及0V%<2時，y隨％增大而增大

VP(m,yjQ(/77+1,丫2)兩點在函數M的圖象上，力〈九，

.(m<-2成［0<m<2

F+1<-2Vm+1V2'

解得,m<-3或0<m<l?

由對稱性可知：當-0.5,1.5時，丫1二力，

當一34m<一2.5時，ji<y2i當一0.5Wm<0.5時，當<%；當IKmV1.5時,<y2;

因此，當月<%時，加的取值范圍是：mV-2.5或一0.5Vm<1.5.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與一次函數交點問題，根據二次函數的增減性判斷取值范

圍，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵.

題型09二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質

1.（2021?湖北武漢?統考中考真題）已知拋物線y=a/+bx+c（a,b,c是常數），a+b+c=0,下列

四個結論：

①若拋物線經過點（一3,0）,則b=2a；

②若b=c,則方程ex?+人工+a=0一定有根％=-2；

③拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；

④點4a1，乃），8（%2，丫2）在拋物線上，若。VaVc,則當<不<1時，Xi>72-

其中正確的是（填寫序號）.

【答案】①②④

【分析】①將（-3,0）代入解析式即可判定；②由8=c,可得。=-2c,cf+A+D可得cf+cx-2c=0,則原方

程可化為f+.i2=0,則一定有根A=-2：③當心4a$0時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于a,

b,c的方程,故存在。、〃、c使y4"兇），故③錯誤；④若（Xa<c,則有b<0且階>|琲>同,\b\>2\a\f所

以對稱軸一2>1，因為。>0在對稱軸左側，函數單調遞減，所以當*<X2<I時，w22,故④正確.

【詳解】解：???拋物線經過點（-3,0）

.*.0=（-3）2。-3b+c,即9a-3b+c=0

:a+b+c=0

:.b=2a

故①正確；

V/?=c?a+b+c=0

:.a=-2c,

*.*cr+bx+a^

?\cr+cx-2c=0,即丁+?2=0

,一定有根x=-2

故②正確；

當/4/cWO時，圖像與x軸少于兩個公共點，只有一個關于。、仄c的方程，故存在服b、c使廿-

4ac<0,故③錯誤；

若0VKC,則有X0且⑶>|c|>同，\b\>2\a\,所以對稱軸一;>1,因為〃>0在對稱軸左側，函數單調遞減，

所以當Xi<X2<1時，｝7>3,2，故④正確.

故填：①②④.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖像與性質以及二元一次方程，靈活運用二次函數的圖像與性質成為解

答本題的關鍵.

2.（2021?湖北武漢?統考二模）拋物線），=加+樂+。（小b,c是常數，?<0）經過A（0,3）,B（4,3）.

下列四個結論：

①4。+力=0；

②點B5,w），P2（小”）在拋物線上，當田-25咫-2|>0時,yi>y2i

③若拋物線與x軸交于不同兩點C,D,且CH6,則〃〈一去

④若34",對應的>'的整數值有3個，則-1Vd一；.

其中正確的結論是—（填寫序號）.

【答案】①③④

【分析】將A、B兩點坐標代入解析式可判斷結論①；拋物線開口向下，由拋物線的對稱性，絕對值的意

義，可判斷結論②；C,。為拋物線與x軸的交點，利用一元二次方程根與系數的關系，計算CH6,可以

判斷結論③；拋物線開口向下，3SW4時函數值遞減，由點B（4,3）,得到尸3時，y的取值范圍便可判

斷結論④；

【詳解】解：將A、8兩點坐標代入拋物線得：（,

（3=16a+4b+c

解得LI：?故結論①正確：

拋物線對稱軸為％=-2=2,函數開口向下，

2a

VU/-2|-|A-2-2|>0,BPPt（內，>-/）離對稱軸更遠，

.??）：/V），2，故結論②錯誤；

設C（孫0）,C（也，0）,

由根與系數的關系得：X3JC4=-r

a

22

IX3~X4\=yJ（X3+X4）-4X3-x4=J4-4x=J16_/<6,

解得:故結論③正確；

由題意知:x=4時，y=3,

V3<r<4,對應的），的整數值有3個，函數開口向下,

???丁對應的整數值為：5,4,3,

23時,對應的y值:59V6,

/.5<9?+3Z?+c<6?5W9。-12。+3<6,

解得-IVaW-j故結論④正確；

故答案為：①③④；

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，絕對值的意義，一元二次方程根與系數的關系；掌握二次函數

的圖象和性質是解題關鍵.

3.(2022?廣東珠海?統考二模)已知拋物線的解析式為y=/—(m+2)x+m+l(小為常數)，則下列說

法正確的是.

①當771=2時，點(2,1)在拋物線上；

②對于任意的實數in,X=1都是方程/一(m+2)x+7N+1=0的一個根；

③若m>0,當時，y隨x的增大而增大：

④已知點力(一3,0),8(1,0),則當一V0時，拋物線與線段有兩個交點.

【答案】②

【分析】①將點代入解析式中即可判斷；

②解方程/-(m4-2)x+m+1=0即可判斷；

③根據函數解析判斷開口方向，根據對稱軸及開口方向即可判斷；

④解方程--(m+2)x+m+l=0,根據題意，利用m的取值范圍及即可判斷.

【詳解】解：拋物線'=/一(血+2)%+血+1=(%-1)(%-加-1)(771為常數)中，

當m=2時，拋物線、="2-4%+3,若x=2,My=22-4x2+3=-1,

???點(2,1)不在拋物線上，

即①說法錯誤，不符合題意，

方程/-(m+2)x+m+l=0即(％-l)(x-m-1)=0,

x-1=0或x-m—1=0,

解得%=1,&=血+1，

???對于任意實數m，x=1■都是方程/-(TH4-2)x+m+1=。的一個根，

即②說法正確，符合題意，

拋物線丫=/一(血+2)為+771+1(771為常熟)中，1>0,開口向上，

對稱軸是直線X=等，當春時，y隨工的增大而增大,

即若m>0,X=等>1,當x>l時，），隨文的增大而增大，不一定正確,

即③說法錯誤，不符合題意，

拋物線y=/一（血+2）x+m+1=（%-l）（x-m—1）（m為常數）中，

當y=0時，x2-（?n+2）x+m+1=0,

解得力]=1，乃=7九+1，

???拋物線與％軸的交點坐標為（1,0）、（m+1,0）,

當一44m40時,-3<m+1<1,

???“④己知點4（一3,0）,8（1,0）,則當一4工m<0時，拋物線與線段有兩個交點”的說法錯誤，（因為當巾=

1時只有一個交點），不符合題意，

綜上所述，說法正確的是②，

故答案為：②.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，.主要考查了二次函數的圖象及性質，對稱的性質，靈活運用二

次函數的圖象及性質是解題的關鍵.

4.（2020?山東泰安?中考真題）已知二次函數y=a/+bx+c（a,瓦。是常數，a工0）的y與之的部分對應

值如下表：

X-5-4-202

y60—6-46

下列結論：

①a>0；

②當無=一2時，函數最小值為一6：

③若點（一8,%），點（8,2）在二次函數圖象上，則yiV%：

④方程Q/+bx+c=一5有兩個不相等的實數根.

其中，正確結論的序號是.（把所有正確結論的序號都填上）

【答案】①③④

【分析】先根據表格中的數據利用待定系數法求出拋物線的解析式，進而可直接判斷①；由拋物線的性質

可判斷②；把點（一8,%）和點（8,死）代入解析式求出刈、”即可③；當尸-5時，利用一元二次方程的根的

判別式即可判斷④，進而可得答案.

【詳解】解：由拋物線過點(-5,6)、(2,6)、(0,-4),可得:

25a—Sb+c=6(a=1

4Q+2b+c=6,解得：］b=3

???二次函數的解析式是y=x2+3x-4,

/.a=l>0,故①正確；

當火=一［時，有最小值一章故②錯誤；

若點(一8,%),點(8/2)在二次函數圖象上，則yi=36,y2=84,?,-y1<y2^故③正確；

2

當尸-5時，方程/+3%-4=-5即M+3X+1=0,?.為=3-4=5>0,，方程a/+hx+c=_5

有兩個不相等的實數根，故④正確；

綜上，正確的結論是：①③④.

故答案為：①③④.

【點睛】本題以表格的形式考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質以及?元二次方程的

根的判別式等知識，屬于常考題型，熟練掌握二次函數與一元二次方程的基本知識是解題的關鍵.

題型10二次函數平移變換問題

1.(2021?江蘇蘇州?統考中考真題)已知拋物線y=/+的對稱軸在y軸右側，現將該拋物線先向

右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經過坐標原點，貝抹的值是(〉

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行解答即可.

【詳解】解：函數y=/+k%-U向右平移3個單位，得：y=(x-3)2+k。-3)-攵2；

再向上平移1個單位，得：y=(x-3)2+Ar(x-3)-k2+\,

,/得到的拋物線正好經過坐標原點

/.0=(0-3)2+k(0-3)-k2+l即好+3k-10=0

解得：k=-5或k=2

:拋物線y=x2+kx-/的對稱軸在y軸右側

,?X=一5>。

：.k<0

:?k=-5

故選：B.

【點睛】此題主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.

2.（2021?貴州黔東南?統考中考真題）如圖,拋物線%、=收2+必+c（aH（））與％軸只有一個公共點，（1,

0）,與y軸交于點8（0,2）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線G，則圖中兩

個陽影部分的面枳和為（）

【答案】B

【分析】連接A&OM,根據二次函數圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉化為平行四邊形480M面積求解

即可.

【詳解】設平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點連接人氏OM.

由題意可知，AM=OB,

???4(1,0),8(0,2)

OA=1,OB=AM=2?

;拋物線是軸對稱圖形,

???圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積,

?：AM〃OB,AM=OB,

:.四邊形ABOM為平行四邊形，

:四邊形ABOM=08?。力=2x1=2，

故選：B.

【點睛】此題考查了二次函數圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關鍵是根據二次函數圖像的對稱性

轉化陰影圖形的面積.

3.(2021.山西.統考中考真題)拋物線的函數表達式為y=3(x-2/+1,若將不軸向上平移2個單位長

度，將y軸向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數表達式為()

A.y=3(x+l)2+3B.y=3(x-5)2+3

C.y=3(x-5)2-1D.y=3(%+l)2-1

【答案】C

【分析】將題意中的平移方式轉換成函數圖像的平移，再求解析式即可.

【詳解】解：若將》軸向上平移2個單位長度，

相當于將函數圖像向下平移2個單位長度，

將)，軸向左平移3個單位長度，

相當于將函數圖像向右平移3個單位長度，

則平移以后的函數解析式為：y=3。-2-3)2+1-2

化簡得：y=3(%-5)2-1,

故選：C.

【點睛】本題主要考查二次函數圖像的平移，將題意中的平移方式轉換為函數圖像的平移是解決本題的關

鍵.

4.(2022?山東聊城?統考二模)平面直角坐標系中，將拋物線y=-嚴平移得到拋物線c,如圖所示，旦拋

物線C經過點4(一1,0)和8(0,3),點尸是拋物線C上第一象限內一動點，過點尸作x軸的垂線，垂足為

Q,則。Q+PQ的最大值為.

【分析】求得拋物線。的解析式，設Q(x,0),則P(x,-f+2x+3),即可得出OQ+PQ,根據二次函數

的性質即可求得.

【詳解】解：設平移后的解析式為產4+縱+c,

;拋物線C經過點A(-1,0)和8(0,3),

.??)：=°，解得的；,

J拋物