2025年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽（CMO）模擬試卷（組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階）——競(jìng)賽備考秘法解析一、數(shù)論1.設(shè)\(n\)為正整數(shù)，證明：若\(n\)是4的倍數(shù)，則\(n^2\)也是4的倍數(shù)。2.已知\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a^2+b^2=2015\)，求\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)。3.設(shè)\(p\)和\(q\)是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，證明：\(p^2+q^2\)不是4的倍數(shù)。4.已知\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)能被4整除，證明：\(n^2-1\)能被4整除。5.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)能被4整除，證明：\(n^3-n\)能被4整除。二、組合數(shù)學(xué)1.有5個(gè)不同的球，分別放入3個(gè)不同的盒子中，求所有可能的放法。2.有5個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，求所有可能的放法。3.有5個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，求所有可能的放法。4.有5個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有兩個(gè)球，求所有可能的放法。5.有5個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有兩個(gè)球，求所有可能的放法。三、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.設(shè)\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(a^2+b^2=2015\)，求\(a\)和\(b\)的所有可能的值。2.有5個(gè)不同的球，分別放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，求所有可能的放法。3.設(shè)\(n\)是正整數(shù)，且\(n\)能被4整除，證明：\(n^2-1\)能被4整除。4.有5個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，求所有可能的放法。5.設(shè)\(p\)和\(q\)是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，證明：\(p^2+q^2\)不是4的倍數(shù)。四、數(shù)論應(yīng)用1.設(shè)\(m\)和\(n\)是正整數(shù)，且\(m>n\)，證明：\(m!+n!\)不能被\(m-n\)整除。2.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(ab\)。3.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(a^b+b^a\)。4.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(a^b-b^a\)。5.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(a^b\cdotb^a\)。五、組合數(shù)學(xué)應(yīng)用1.有7個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，求所有可能的放法。2.有7個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，求所有可能的放法。3.有7個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有兩個(gè)球，求所有可能的放法。4.有7個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有兩個(gè)球，求所有可能的放法。5.有7個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子中球的數(shù)目互不相同，求所有可能的放法。六、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.設(shè)\(m\)和\(n\)是正整數(shù)，且\(m\)和\(n\)互質(zhì)，證明：\(m^n+n^m\)不是任何質(zhì)數(shù)的冪。2.有6個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，求所有可能的放法。3.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(a^b\cdotb^a-a^b+b^a\)。4.有6個(gè)不同的球，將它們放入3個(gè)不同的盒子中，使得每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，求所有可能的放法。5.設(shè)\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(a\)和\(b\)是正整數(shù)，且\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，證明：\(p\)不整除\(a^b+b^a+1\)。本次試卷答案如下：一、數(shù)論1.解析：由于\(n\)是4的倍數(shù)，可以表示為\(n=4k\)，其中\(zhòng)(k\)是正整數(shù)。那么\(n^2=(4k)^2=16k^2\)，顯然\(n^2\)也是4的倍數(shù)。2.解析：由于\(a^2+b^2=2015\)，可以推斷出\(a\)和\(b\)的奇偶性相同，因?yàn)槠鏀?shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)。2015是奇數(shù)，所以\(a\)和\(b\)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)。最大公約數(shù)可以通過(guò)試除法得到，最終\(a\)和\(b\)的最大公約數(shù)為1。3.解析：設(shè)\(p=2\)和\(q=3\)，都是質(zhì)數(shù)，\(p^2+q^2=2^2+3^2=4+9=13\)，13不是4的倍數(shù)，所以\(p^2+q^2\)不是4的倍數(shù)。4.解析：由于\(n\)能被4整除，可以表示為\(n=4k\)，那么\(n^2-1=(4k)^2-1=16k^2-1=4(4k^2-1)\)，顯然\(n^2-1\)能被4整除。5.解析：由于\(n\)能被4整除，可以表示為\(n=4k\)，那么\(n^3-n=(4k)^3-4k=64k^3-4k=4(16k^3-1)\)，顯然\(n^3-n\)能被4整除。二、組合數(shù)學(xué)1.解析：使用隔板法，將5個(gè)球看作5個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，所以有\(zhòng)(C(5+2,2)=C(7,2)=21\)種放法。2.解析：每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，可以將5個(gè)球先放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，剩下的2個(gè)球可以自由分配，所以有\(zhòng)(C(5+2,2)\cdot2=42\)種放法。3.解析：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，可以將5個(gè)球看作5個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，但是不能有兩組為空，所以有\(zhòng)(C(5+2,2)-2=19\)種放法。4.解析：每個(gè)盒子至少有兩個(gè)球，可以將5個(gè)球分為2、2、1的三組，再分配到3個(gè)盒子中，所以有\(zhòng)(C(5,2)\cdotC(3,2)\cdotC(1,1)\cdotC(3,1)=30\)種放法。5.解析：每個(gè)盒子至多有兩個(gè)球，可以將5個(gè)球分為1、1、3的三組，再分配到3個(gè)盒子中，所以有\(zhòng)(C(5,1)\cdotC(4,1)\cdotC(3,1)\cdotC(3,2)=90\)種放法。三、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.解析：由于\(a^2+b^2=2015\)，可以推斷出\(a\)和\(b\)的奇偶性相同，因?yàn)槠鏀?shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)。2015是奇數(shù)，所以\(a\)和\(b\)都是奇數(shù)或都是偶數(shù)。通過(guò)試除法，可以得到\(a\)和\(b\)的可能值，如\(a=45\)，\(b=28\)或\(a=28\)，\(b=45\)等。2.解析：使用隔板法，將5個(gè)球看作5個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，所以有\(zhòng)(C(5+2,2)=C(7,2)=21\)種放法。3.解析：由于\(n\)能被4整除，可以表示為\(n=4k\)，那么\(n^2-1=(4k)^2-1=16k^2-1=4(4k^2-1)\)，顯然\(n^2-1\)能被4整除。4.解析：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，可以將5個(gè)球看作5個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，但是不能有兩組為空，所以有\(zhòng)(C(5+2,2)-2=19\)種放法。5.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)，\(p\)不整除\(a\)和\(b\)，所以\(p\)不整除\(ab\)，因此\(p^2+q^2\)不可能是4的倍數(shù)。四、數(shù)論應(yīng)用1.解析：如果\(m\)和\(n\)互質(zhì)，那么它們的最大公約數(shù)為1，所以\(m!+n!\)不能被\(m-n\)整除，因?yàn)閈(m!\)和\(n!\)的最大公約數(shù)為1。2.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)且不整除\(a\)和\(b\)，那么\(p\)不整除\(ab\)，因?yàn)槿绻鸤(p\)整除\(ab\)，那么\(p\)也會(huì)整除\(a\)或\(b\)，這與假設(shè)矛盾。3.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)且不整除\(a\)和\(b\)，那么\(p\)不整除\(a^b+b^a\)，因?yàn)槿绻鸤(p\)整除\(a^b+b^a\)，那么\(p\)也會(huì)整除\(a^b\)和\(b^a\)，這與假設(shè)矛盾。4.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)且不整除\(a\)和\(b\)，那么\(p\)不整除\(a^b-b^a\)，因?yàn)槿绻鸤(p\)整除\(a^b-b^a\)，那么\(p\)也會(huì)整除\(a^b\)和\(b^a\)，這與假設(shè)矛盾。5.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)且不整除\(a\)和\(b\)，那么\(p\)不整除\(a^b\cdotb^a\)，因?yàn)槿绻鸤(p\)整除\(a^b\cdotb^a\)，那么\(p\)也會(huì)整除\(a^b\)和\(b^a\)，這與假設(shè)矛盾。五、組合數(shù)學(xué)應(yīng)用1.解析：使用隔板法，將7個(gè)球看作7個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，所以有\(zhòng)(C(7+2,2)=C(9,2)=36\)種放法。2.解析：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球，可以將7個(gè)球看作7個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，但是不能有兩組為空，所以有\(zhòng)(C(7+2,2)-2=31\)種放法。3.解析：每個(gè)盒子至少有兩個(gè)球，可以將7個(gè)球分為2、2、3的三組，再分配到3個(gè)盒子中，所以有\(zhòng)(C(7,2)\cdotC(5,2)\cdotC(3,3)\cdotC(3,1)=630\)種放法。4.解析：每個(gè)盒子至多有兩個(gè)球，可以將7個(gè)球分為1、1、5的三組，再分配到3個(gè)盒子中，所以有\(zhòng)(C(7,1)\cdotC(6,1)\cdotC(5,2)\cdotC(3,2)=3150\)種放法。5.解析：每個(gè)盒子中球的數(shù)目互不相同，可以將7個(gè)球分為1、2、4的三組，再分配到3個(gè)盒子中，所以有\(zhòng)(C(7,1)\cdotC(6,2)\cdotC(4,4)\cdotC(3,1)=315\)種放法。六、組合數(shù)學(xué)與數(shù)論綜合1.解析：由于\(m\)和\(n\)互質(zhì)，那么它們的最大公約數(shù)為1，所以\(m^n+n^m\)不是任何質(zhì)數(shù)的冪，因?yàn)槿绻琴|(zhì)數(shù)的冪，那么\(m\)或\(n\)必須能整除質(zhì)數(shù)。2.解析：使用隔板法，將6個(gè)球看作6個(gè)相同的球，插入2個(gè)隔板分成3組，所以有\(zhòng)(C(6+2,2)=C(8,2)=28\)種放法。3.解析：由于\(p\)是質(zhì)數(shù)且不整除\(a\)和\(b\)，那么\(p\)不整除\(a^b\cdotb^a-a^b+b^a\)，