放縮法（2）

復習目標：掌握沒有通項公式的放縮方法

復習過程

一、典型例題

例1已知數列｛q,｝滿足q=；且%+1(neN,).

(1)證明：(〃eN*)；

%

1C1

(2)設數列以己的前〃項和為S“，證明：-------<-^<-------(neN*).

1">"2(〃+2)n2(?+1)

分析：(2)因為S”=q~+a；++a；=(q-4)+(。2-%)++(%—%+i)

1

=—'i+i

思路1：由。”+I=a”—兩邊同時除以,得--------———

區用%an+l

從而有i<-<2

q

1<-——-<2

%a2

上述〃個式子相加，得“V」——-<2n

a

?+iG

思路2：由4+]=a“-a；,得a“+i=a”Q-a“)

1111

所以,---=---------=----1------

%+i??(!-??)4,1一4

111

即

十足--------=-----+-----++-----

4川6i-q1-。21-??

因為0<%<,，所以1<-----<2

21-%

所以，n<-------<2n

思路3：由(1)得，a,I+1<an<2an+i

所以，。，“+1?W2%4+|

所以.,a“a“+i—a”—^n+\—2。,"“+]

于是得，1W」——-<2

%a?

方法總結：沒有通項公式的數列不等式的證明常可從以下幾方面入手

（1）數列的有界性（。”的范圍）、單調性；

（2）注意構造裂項相消法、累加法、累乘法的形式；

（3）注意結合單調性進行放縮或對系數進行放縮；

常見的裂項:(1)若a“+]=a”-a；，則①—=1—a“(累乘)；②片=4%;

4

?11a111

a

怎+i?乙+i4\-an

,111

(2)若a“+]=a：+a”，貝ij①-----------=--------,…

an%1+為

(3)若4m=力一。“+1，則①也匚=。“(累乘),

a-1

例2已知數列｛a“｝滿足q=g,a“+i=a“+3(neN*).證明:

(1)0<a〃<1

(2)證明：------<a<------

24nnn

例3.已知數列｛a“｝滿足q=2,a“+]-a“+1,凡eN*.

求證：（1）對于neN*恒有an+i>an成立;

11+/<].

(2)1-?

萍<7

作業

1.已知函數/(幻="一。/的最大值不大于J.,又當xej4］時，/(%)>--

26428

(I)求。的值；

1*1

(II)設Ovqv—,a=f(a),neN,證明：a<----.

2n+xn〃+1n

解：(I)

2.已知數列｛可｝滿足：q=2M“+|=aj-4,+i(〃eN*).

求證：(1)an+i>an；

1

(2)1--1-K,--1-1---F,—I---1<1.,

2"qa2an

1113

(3)+------++-------<-

4+出生+/4+4+15

3.已知數列｛”“｝滿足：q=l,a(neN*)

n+i%+2

證明：,111

---：---<---------1---------F

22n-1+12q+32a2+3

證明：由已知可得。“>0,

2。；+4q+1a+2q+1

%~an=-----------------4=------------>0

%+2%+2

%>%>%>>4=1

,I2a；+4a“+32a；+5a“+3(2a“+3)(a“+1)

又4MI1——=

4+2an+24+2

1+1+111

q+2--------d------------

%+1(2%+3)⑷+1)(2a〃+3)(a.+l)2a“+3(2a“+3)(q,+1)

12122

--------1-------------------=---------1-------------------

2aH+3(2%+3)(2。〃+2)2an+32an+22an+3

111

2%+3an+lan+i+l

1111111

--------1---------F4--------=------------=----------<一

24+32a2+32an+3a1+1。〃+1+12。什]+12

rn、H2。/+4Cl+11

另一萬面，a〃+i=-----------——=2a+------->2a

4+2n%+2tt

'M+i>2%>22%_|>>2"q=2"

iij____i_[____i

-_n>

2d+1+1>22+l2~2"-'+1

4.設數列｛4｝定義為q=a,an+i=\+------I-------.n>l.求所有實數。，使得

4+生++&一1

0<。〃<1,n>2.

〃22時，0<<1,則0<a2v1，

所以0<一9一<1,解得a<0

a-\

又由已知可得。向=4+%++%,所以％+々+

q+%++??-14+i-]

12

q+。2+…+%+a“=a“-l=a“+a“-a”

fl+aa+a2

l2++a,l+a“—l