經歷菱形判定定理的探究過程，掌握菱形的判定定理．會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的定義：一組鄰邊相等平行四邊形菱形邊對角線角菱形的性質菱形的兩條對角線互相平分.菱形的兩組對邊平行.菱形的四條邊相等.菱形的兩組對角分別相等.

菱形的鄰角互補.菱形的兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.

矩形

菱形定義有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.具有平行四邊形的一切性質性質邊角對角線四個角都是直角相等互相垂直且平分每一組對角判定有一角是直角的平行四邊形對角線相等的平行四邊形三個角都是直角的四邊形四條邊都相等

你的想法正確嗎？如何證明你的猜想？

根據菱形的定義,可得菱形的第一個判定的方法.∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD∴四邊形ABCD是菱形幾何語言：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.還有其它方法嗎?先畫兩條等長的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點C，連接BC、CD，就得到了一個四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？說出你的理由.猜想：有四條邊相等的四邊形是菱形.ABCDO命題：有四條邊相等的四邊形是菱形.已知：在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證：四邊形ABCD是菱形證明：∵AB=CD,AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形.AB=BC=CD=DAABCD菱形ABCD∵在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形四邊形ABCDABCD幾何語言用一長一短兩根細木條,在它們的中點處固定一個小釘,做成一個可以轉動的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個四邊形.轉動木條,這個四邊形什么時候變成菱形?猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：在

中，AC⊥BD.ABCDABCD求證：是菱形.ABCDO∟證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵AC⊥BD;∴BA=BC∴ABCD是菱形菱形的判定2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.AC⊥BD∵在□ABCD中，AC⊥BD∴□ABCD是菱形ABCD菱形ABCDABCD□ABCD幾何語言:1.判斷下列三個圖形是菱形嗎?5534345555有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.有四條邊相等的四邊形是菱形.3344┍2.判斷下列說法是否正確？為什么？(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；（

）(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；（

）(3)對角線互相垂直,且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；（）(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．（）

╳√

╳

╳

∟ADBC∟ABCD例1如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∴四邊形ABCD是菱形.例2如圖,矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.證明：∵∠1=∠2,又∵AE=AC,AD=AD,∴△ACD≌△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS).∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,∴四邊形ABCD是菱形.例3如圖,在△ABC中,AD是角平分線,點E、F分別在AB、

AD上,且AE=AC,EF

=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.例4如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.將△ABC沿射線BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是D，E，F，連接AD.求證：四邊形ACFD是菱形．證明：由平移變換的性質得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四邊形ACFD是菱形．【點睛】四邊形的條件中存在多個關于邊的等量關系時，運用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便．HGFEDCBA證明：連接AC、BD.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵點E、F、G、H為各邊中點，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形.例5如圖，順次連接矩形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是菱形.CABDEFGH如圖，順次連接對角線相等的四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：四邊形EFGH是菱形.又∵AC=BD,∵點E、F、G、H為各邊中點，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形.【點睛】順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點，得到四邊形是菱形.理由如下：連接AC、BDABCDEFGH拓展1

如圖，順次連接平行四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？解：連接AC、BD.∵點E、F、G、H為各邊中點，∴四邊形EFGH是平行四邊形.拓展2

如圖，若四邊形ABCD是菱形，順次連接菱形ABCD各邊中點，得到四邊形EFGH是什么四邊形？四邊形EFGH是矩形.例6如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形；(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為，∴菱形的面積為.(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．【點睛】判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以先嘗試證出這個四邊形是平行四邊形．1.已知□

ABCD的對角線AC、BD相交于點O,分別添加下列條件：（1）∠ABC=900（2）AC⊥BD（3）AB=BC（4）AC平分∠BAD（5）AO=DO使得四邊形ABCD是菱形的條件的序號有_________.2.下列條件中,不能判定四邊形ＡＢＣＤ為菱形的是（）Ａ.AC⊥BD，AC與BD互相平分Ｂ.AB=BC=CD=DAＣ.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDＤ.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD(2)(3)(4)CBOADC

3.□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，

（1）若AB=AD，則□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，則□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，則□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是

形.ABCDO矩菱矩菱4.下列命題中正確的是（

）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個角相等的四邊形是菱形C5.對角線互相垂直且平分的四邊形是（

）

A.矩形B.一般的平行四邊形

C.菱形D.以上都不對C6.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（

）A.AC⊥BD,AC與BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC

24㎝2菱形7.一邊長為5cm平行四邊形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個平行四邊形為______，其面積為_________.ABCDEF

8.如圖在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD則CE____CF，BE____DF.＝＝9.如圖

ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=5，AC=8，DB=6.求證:四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴四邊形ABCD是菱形.∴OA=OC=4OB=OD=3證明:又∵AB=5∴AC⊥BD∴∠AOB=90°又∵四邊形ABCD是平行四邊形∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB2