探究一三角函數式的最值或范圍提高探究一三角函數式的最值或范圍【方法儲備】求三角函數式的最值或范圍問題(1)把三角函數式正確地化簡成單一函數形式；(2)根據所給自變量的范圍正確地確定ωx＋φ的范圍，從而根據三角函數的單調性求范圍.(3)有時需要借助基本不等式求范圍或最值.【典例精講】 例1.(2023·廣東省廣州市·模擬題)已知扇形POQ的半徑為2，∠POQ=π3，如圖所示，在此扇形中截出一個內接矩形ABCD(點B，C在弧PQ上)，則矩形ABCD面積的最大值為

．例2.(2023·北京市市轄區·模擬題)函數fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,0<φ<π(1)求fx(2)設gx=f(x-π12)2，求函數【拓展提升】練11.(2023·江蘇省南京市·模擬題)已知函數f(x)=2sinωx+π6，其中ω>0.若x1，x2是方程f(x)=2的兩個不同的實數根，且|x1-x2|的最小值為練12.(2023·江蘇省南京市·模擬題)已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示，則滿足條件f(x)-f-7π4探究二與三角函數性質有關的參數范圍【方法儲備探究二與三角函數性質有關的參數范圍與三角函數性質有關的參數問題，主要分為三類，其共同的解法是將y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一個整體，結合正弦函數的圖象與性質（對稱性、奇偶性或單調性）進行求解.考向1:由最值(或值域)求參數的范圍考向2:由單調性求參數的范圍考向3:由對稱性求參數的范圍考向4:由函數的零點求參數的范圍【典例精講】例3.(2023·湖北省三市聯考)已知函數f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2(0<θ<π2A.5π6 B.2π3 C.5π12例4.(2023·廣東省揭陽市·模擬題)已知函數f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在區間[0,π4]上的最大值為A.1 B.2 C.3 D.4例5.(2023·全國·模擬題)(多選）設函數g(x)=sinωx(ω>0)向左平移π3ω個單位長度得到函數f(x)，若f(x)在0,2π3上恰有2個零點，3A.gx在π12,π6上單調遞減

B.ω的取值范圍為134,4

C.若g(x)的圖象關于直線x=2π【拓展提升】練21.(2023·海南省海口市·模擬題)已知x1，x2是函數f(x)=tanωx-φω>0,0<φ<π的兩個零點，且x1-x2的最小值為π3，若將函數f(x)的圖象向左平移πA.3π4 B.π4 C.7π8練22.(2023·山東省菏澤市·模擬題)已知函數f(x)=3sinωx-cosωx(ω>0)在區間-2π5,A.23,83 B.23,練23.(2023·河北省·模擬題)（多選）已知函數f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期為T，且滿足5π6<T<4π3，f13π6-x=-f(x)，A.-32 B.32 C.3探究探究三三角形中有關量的最值或范圍【方法儲備】三角形中的最值、范圍問題的解題策略：(1)定基本量：根據題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.(2)構建函數：根據正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數形式.(3)求最值：利用基本不等式或函數的單調性等求函數的最值.【典例精講】例6.(2023·北京市·模擬題)在△ABC中，若3cos2A-B2+5cosA.-34 B.-43 C.例7.(2023·湖南省·模擬題)在ΔABC中，sinBsin(1)判斷ΔABC的形狀；(2)求sinA+sin【拓展提升】練31.(2023·安徽省安慶市·模擬題)在△ABC中，BC=2,AB=2AC,D為BC

的中點，則tan∠ADC的最大值為

．練32.(2023·江西省宜春市期末考試)（多選）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c-b=2bcosA，則下列結論正確的有(

)A.A=2BB.B的取值范圍為(0,π4)

C.ab的取值范圍為【答案解析】例1.解：作∠POQ的角平分線OE，交AD于F，BC于E，連接OC，

根據題意可知△AOD為等邊三角形，則E為BC的中點，F為AD的中點，

設∠COE=α，α∈(0,π6)，

CE=OCsinα=2sinα，則AD=BC=2CE=4sinα，

則OF=32AD=23sinα，

OE=OCcosα=2cosα，則AB=2cosα-23sinα，

所以矩形ABCD的面積S=AB?BC=4sinα(2cosα-23sinα)

=4sin2α+4例2.解：(1)由圖知A=2，T4=π6-(-π6)=π3，則2πω=4×π3，

∴ω=32，∴fx=2sin32x+φ，

∴2sin32×π6+φ=2，

∴sinπ4+φ=1，

練11.解：∵x1，x2是方程f(x)=2的兩個不同的實數根，且|x1-x2|的最小值為π，

由f(x)=2，得2sin(ωx+π6)-2=0，即sin(ωx+π6)=1，

∴ωx1+π6=2k1π+π2或ωx2+π6=2k2π+π2，

k1練12.解：34T=13π12-π3=34π,可得T=π,ω=2.

將x=π3代入f(x)=2cos例3.解：f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2

=8×cos?(x-θ+π3+x-θ-π3)+cos?(x-θ+π3-x+θ+π3)2+2

=4cos2x-2θ

因為f(x)=8cos(x-θ+π3)cos(x-θ-π3)+2(0<θ<例4.解：函數f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在區間[0,π4]上的最大值為ω3，

當ωπ4-π6>π2，即ω>83時，f(x)的最大值為1=ω3，解得ω=3；

當ωπ4-π6≤π2，即0<ω≤83時，f(x)的最大值為sin(ωπ4-π6)=ω3，

令g(ω)=sin(ωπ例5.解：由題意f(x)=sin[ω(x+π3ω)]=sin?(ωx+π3)，

當x∈0,2π3，π3<ωx+π3<2π3ω+π3，

fx在0,2π3上恰有2個零點，3個極值點，

則52π<2π3ω+π3?3π，解得：134<ω?4，故B正確；

當ω=4時，若x∈π12,π6，則ωx∈π3,2π3，結合正弦函數單調性，

可知函數g(x)在π12,π6上不單調，故A錯誤；

對于C，若gx的圖象關于直線x=2π3對稱，

則2π3ω=kπ+π練21.解：由題意知函數fx的最小正周期T=π3，則πω=π3，得ω=3，

∴fx=tan3x-φ．

將函數fx的圖象向左平移π12個單位長度，得到y=tan3x+π12-φ=tan3x+π4-φ的練22.解：由f(x)=3sinωx-cosωx=2sinωx-π6，

當x∈0,π時，ωx-π6∈-π6,ωπ-π6，

由f(x)在區間[0，

π]上只取得一次最大值，

所以

π2≤ωπ-π6<5π2，得23≤ω<

83練23.解：因為5π6<T<4π3，所以5π6<2πω<4π3，得32<ω<125，

因為f(13π6-x)=-f(x)，所以x=13π12為f(x)的零點，

即13π12ω+φ=k1π，k1∈Z，

因為f(-π6-x)=f(-π6+x)，所以x=-π6為f(x)圖象的一條對稱軸，

即-π6ω+φ=π2+k2π，k2∈Z，

所以54ω=-12+(k1-k2)，k1-k2∈Z例6.解：在△ABC中，∵3cos2A-B2+5cos2C2=4，即3×1+cos(A-B)2+5×1+cosC2=4，

化簡可得3cos(A-B)+5cosC=0，

∴(3cosAcosB+3sinAsinB)-(5cosAcosB-5sinAsinB)=0，

∴-2cosAcosB+8sinAsinB=0，

∴4sinAsinB=cosAcosB，

∴tanAtanB=14．

很明顯，tanA、tanB同號，又tanA、tanB最多有一者小于0故答案選：B．例7.解：(1)因為

sinBsinC=cos2A所以

2sinBsinC=1+cosA=1-cos因為

B,C∈(0,π)

，即-π<B-C<π，

所以

B-C=0

，即B=C，則ΔABC為等腰三角形；(2)因為

sin設

f(C)=sin2C+2sinC當

C∈(0,π3)

時，

f'(C)>0

，

f(C)

單調遞增；

當

C∈(π3,π2所以，當

C=π3

時，

f(C)

最大，最大值為

練31.解：設

AC=x

，則

AB=2x

，因為D

為BC

的中點，

BC=2

，所以

BD=DC=1

，由三角形三邊關系，可知

2x+x>2

且

2x-x<2

，解得

23<x<2在

△ABD

中，由余弦定理，得

cos∠ADB=A在

△ACD

中，由余弦定理，得

cos∠ADC=A因為

∠ADB+∠ADC=π

，

所以

cos∠ADB=cos所以

AD2+1-(2x)22AD則

cos∠ADC=5令

52x2-1=t

，則則

cos∠ADC=310當且僅當

t=1t

，即t=1

時，等號成立，此時

52x2-1=1因為

cos∠ADC≥35>0

，所以因為

y=cosx

在

0,π2

上單調遞減，

y=tanx所以當

cos∠ADC

取得最小值時，

tan∠ADC此時

sin∠ADC=1-cos2∠ADC所以

tan∠ADC

的最大值為

43

．

故答案為：

4練32.解：∵c-b=2bcosA，

∴由正弦定理可得sinC-sinB=2sinBcosA，

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，