3.4公因數(shù)與最大公因數(shù)1．自然數(shù)甲的質(zhì)因數(shù)包含兩個3和一個5。自然數(shù)乙的質(zhì)因數(shù)包含一個3和兩個5。它們的最大公因數(shù)是（

）。A．3 B．5 C．15 D．452．A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因數(shù)是（

）A．7 B．14 C．42 D．703．有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種（

）棵樹。A．7 B．14 C．18 D．244．一張長24厘米，寬18厘米的長方形紙，要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余，最少可以分成（

）個。A．6 B．7 C．12 D．135．把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最后沒有剩余。每個正方形的邊長最大是（

）厘米。A．2 B．4 C．8 D．66．學(xué)校買來40箱垃圾袋和20個垃圾桶，平均分給五年級各個班，結(jié)果垃圾袋多4箱，垃圾桶少4個。五年級最多有()個班。7．王阿姨把50塊巧克力和35塊奶糖平均分給舞蹈隊的小朋友，要求盡可能分完，分完發(fā)現(xiàn)巧克力多了2塊，奶糖少了5塊，舞蹈隊有()個小朋友。8．學(xué)校為舉辦運動會布置場地，如圖，在長方形操場每條邊上以相等的距離插上彩旗（四個角上都要插），要求兩面彩旗之間的距離盡可能長。請你幫總務(wù)處王老師算一算：每隔()米要插一面彩旗，一共需要準(zhǔn)備()面彩旗。

9．有兩根圓木，一根長12米，另一根長30米。要把它們截成同樣長的小段，且沒有剩余，每小段圓木最長()米。10．洪灣小學(xué)組織學(xué)生植樹，其中五（1）班有42人，五（2）班有48人，將兩個班分成人數(shù)相等的幾個小組，每組最多()人，兩個班共分成()個這樣的小組。11．找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。16和32

38和57

13和512．端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗。今年端午節(jié)，小紅家包了許多粽子，媽媽先把30個肉粽平均分給幾家鄰居，接著又把18個蜜棗粽平均分給了這幾家，都正好分完。這些粽子最多分給了幾家鄰居？13．兩根電線，第一根長56米，第二根長48米，要把它們剪成同樣長的小段，而且不能有剩余，每小段最長是多少米？一共能剪成幾段？14．王老師分別將23塊橡皮和42支鉛筆平均分給打掃教室衛(wèi)生的同學(xué)，結(jié)果橡皮少一塊，鉛筆多兩支。參加打掃衛(wèi)生的同學(xué)最多有幾名？15．體育老師買來60瓶可樂和72瓶礦泉水，把它們分別平均分給了幾個訓(xùn)練小組，正好全部分完。請你算一算最多有幾個訓(xùn)練小組？每個小組分得兩種飲料各多少瓶？16．2023年4月8日郟縣姚莊櫻花節(jié)半程馬拉松賽在姚莊鄉(xiāng)開賽。右下圖是賽道的一部分，賽道在B處拐彎，根據(jù)賽會要求需要在路的一邊安排志愿者，志愿者之間的距離必須相等，而且ABC三處必須安排志愿者。這段賽道至少要安排多少名志愿者？請先算一算，并用“●”表示出志愿者的大致位置。參考答案1．C【分析】兩個數(shù)的最大公因數(shù)是這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。據(jù)此解答。【詳解】自然數(shù)甲，自然數(shù)乙所以甲乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是：故答案為：C【點睛】考查了求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù).2．B【分析】最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)的乘積；據(jù)此解答。【詳解】2×7＝14A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因數(shù)是14。故答案為：B【點睛】本題考查了最大公因數(shù)的求法，找出兩個分解質(zhì)因數(shù)里共有的質(zhì)因數(shù)是解題的關(guān)鍵。3．B【分析】求最少要種多少棵樹，就是先求這兩個樹之間的距離，也就是求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；據(jù)此求出120和48的最大公因數(shù)；要在它的四周和四角種樹，封閉圖形種樹相當(dāng)于一端植樹，一端不植樹，即間距數(shù)＝棵數(shù)；用長方形的周長÷兩棵樹的間距，據(jù)此解答。【詳解】120＝2×2×2×3×548＝2×2×2×2×3120和48的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝24兩棵樹的間距是24米。（120＋48）×2÷24＝168×2÷24＝336÷24＝14（棵）有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種14棵樹。故答案為：B【點睛】本題考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)方法以及植樹問題，掌握植樹問題的幾種情況是解題的關(guān)鍵。4．C【分析】要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余，就是小正方形的邊長是24和18的公因數(shù)，要求分的最少就是求24和18的最大公因數(shù)為小正方形的邊長，然后用長方形紙的長和寬分別除以小正方形的邊長，就是長方形紙的長邊最少可以分幾個，寬邊最少可以分幾個，最后把它們乘起來即可。【詳解】24＝2×2×2×318＝2×3×3所以24和18的最大公因數(shù)是；2×3＝6小正方形的邊長是6厘米。（24÷6）×（18÷6）＝4×3＝12（個）一張長24厘米，寬18厘米的長方形紙，要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余，最少可以分成12個。【點睛】兩個數(shù)的最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積。5．B【分析】求每個正方形邊長最大，就是求12和8的最大公因數(shù)；根據(jù)求最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】12＝2×2×38＝2×2×212和8的最大公因數(shù)是2×2＝4正方形邊長最大是4厘米。把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最后沒有剩余。每個正方形的邊長最大是4厘米。故答案為：B【點睛】熟練掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。6．12【分析】要想求獲獎的學(xué)生最多有幾人，就是求40－4＝36和20＋4＝24的最大公因數(shù)，先分別把36和24分解質(zhì)因數(shù)，把它們公有的質(zhì)因數(shù)相乘所得的積就是它們的最大公因數(shù)。【詳解】36＝2×2×3×324＝2×2×2×336和24的最大公因數(shù)是2×2×3＝4×3＝12五年級最多有12個班。【點睛】此題解答的關(guān)鍵在于求出36和24的最大公因數(shù)，進而解決問題。7．8【分析】分完發(fā)現(xiàn)巧克力多了2塊，奶糖少了5塊，則巧克力分了50－2＝48（塊），奶糖分了35＋5＝40（塊）。把48塊巧克力和40塊奶糖平均分給舞蹈隊的小朋友，則小朋友的人數(shù)是48和40的公因數(shù)。分完發(fā)現(xiàn)奶糖少了5塊，說明小朋友的人數(shù)大于5，據(jù)此分別找出48和40的公因數(shù)，再從中選出符合題意的數(shù)即是小朋友的人數(shù)。【詳解】50－2＝48（塊）35＋5＝40（塊）48的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。40的因數(shù)有：1、2、4、5、8、10、20、40。48和40的公因數(shù)有：1、2、4、8。因為小朋友的人數(shù)大于5，則舞蹈隊有8個小朋友。【點睛】本題考查公因數(shù)的應(yīng)用。明確“小朋友的人數(shù)是48和40的公因數(shù)，且大于5”是解題的關(guān)鍵。8．650【分析】在操場每條邊上以相等的距離插上彩旗，要彩旗之間的距離盡可能長，那么四個頂點上各有一面彩旗，而且每兩面彩旗之間的距離是長和寬的最大公因數(shù)，先求出96和54的最大公因數(shù)，然后用96除以最大公因數(shù)，求出一條長邊上可以插的面數(shù)，進而求出2條長可以插的面數(shù)；同理求出兩條寬上可以插的面數(shù)，然后把它們相加即可。【詳解】96＝2×2×2×2×2×354＝2×3×3×32×3＝6所以，96和54的最大公因數(shù)是6，每個間隔是6米。96÷6×2＝16×2＝32（面）54÷6×2＝9×2＝18（面）32＋18＝50（面）所以，每隔6米要插一面彩旗，一共需要準(zhǔn)備50面彩旗。【點睛】本題考查了根據(jù)求公因數(shù)的方法解決實際問題的能力。9．6【分析】求每段圓木最大是多少米，就是求12和30的最大公因數(shù)；根據(jù)兩個數(shù)最大公因數(shù)的求法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】12＝2×2×330＝2×3×512和30的最大公因數(shù)是2×3＝6每小段圓木最長是6米。有兩根圓木，一根長12米，另一根長30米。要把它們截成同樣長的小段，且沒有剩余，每小段圓木最長6米。【點睛】熟練掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。10．615【分析】將兩個班參加活動的同學(xué)分成人數(shù)相等的幾個小組，每組最多有多少人，只要求出兩個班人數(shù)42和48的最大公因數(shù)即可得解；用五（1）、（2）班總?cè)藬?shù)除以最大公因數(shù)即得可以分成的組數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】42＝2×3×748＝2×2×2×2×342和48的最大公因數(shù)是2×3＝6，即每組最多有6人；（42＋48）÷6＝90÷6＝15（組）每個小組最多有6人，五（1）、（2）班可以分成15個這樣的小組。【點睛】考查了求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)。11．16；19；1【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小的數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】16和3216和32是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是16；38和5738＝2×1957＝3×1938和57的最大公因數(shù)是19；13和513和5是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1。12．6家【分析】由題意“30個肉粽平均分給這幾家和18個蜜棗粽平均分給這幾家都正好分完”最多分給了幾家鄰居可知：實際上是在求30和18的最大公因數(shù)，先把30和18進行分解質(zhì)因數(shù)，根據(jù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：即這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；進行解答即可。【詳解】30＝2×3×518＝2×3×318和30的最大公因數(shù)：2×3＝6答：這些粽子最多分給了6家鄰居。【點睛】解答該題關(guān)鍵是會求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，并用它解決實際問題。13．8米；13段【分析】根據(jù)題意，可計算出56與48的最大公因數(shù)，即每小段最長的長度，然后再用56除以最大公因數(shù)加上48除以最大公因數(shù)的商，即是一共截成的段數(shù)，列式解答即可得到答案。【詳解】56＝2×2×2×748＝2×2×2×2×32×2×2＝4×2＝8所以56與48的最大公因數(shù)是8，即每小段最長是8米；56÷8＋48÷8＝7＋6＝13（段）答：每小段最長是8米，一共可以截成13段。【點睛】正確理解題意，熟練掌握最大公因數(shù)的求法，是解答此題的關(guān)鍵。14．8名【分析】23塊橡皮和42支鉛筆平均分給同學(xué)，橡皮少1塊，鉛筆多2支。要求參加打掃衛(wèi)生的同學(xué)最多有多少名，就是求和的最大公因數(shù)即可。【詳解】所以24和40的最大公因數(shù)是＝4＝8即參加打掃衛(wèi)生的同學(xué)最多有8名。答：參加打掃衛(wèi)生的同學(xué)最多有8名。【點睛】明確求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法，是解答此題的關(guān)鍵。15．訓(xùn)練小組：12個；可樂：5瓶；礦泉水：6瓶【分析】求出60和72的最大公因數(shù)，即為有幾個訓(xùn)練小組；分別用可樂和礦泉水的瓶數(shù)除以最大公因數(shù)，即可求出兩種飲料各多少瓶。【詳解】60＝2×2×3×572＝2×2×2×3×360和72的最大公因數(shù)是2×2×3＝12。60÷12＝5（瓶）72÷12＝6（瓶）答：最多有12個訓(xùn)練小組；每個小組分得可樂5瓶；礦泉水6瓶。【點睛】兩個數(shù)的最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積。16．8名；見詳解【分析】根據(jù)題意可知，AB長120米，BC長90米，在路的一邊安排志愿者，志愿者之間的距離必須相等，求出每相鄰的兩個志愿者之間的距離最長是多少米