專題五曲線運動中的臨界問題考點一拋體運動的臨界問題1．平拋運動的臨界問題有兩種常見情形（1）物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；（2）物體的速度方向恰好達到某一方向。2．臨界點的確定（1）若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點；（2）若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些“起止點”往往就是臨界點；（3）若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點也往往是臨界點。（多選）刀削面是西北人喜歡的面食之一，全憑刀削得名。如圖所示，將一鍋水燒開，拿一塊面團放在鍋旁邊較高處，用刀片飛快地削下一片片很薄的面片兒，面片便水平飛向鍋里，若面團到鍋上沿的豎直距離為0.8m，面團離鍋上沿最近的水平距離為0.4m，鍋的直徑為0.4m。若削出的面片能落入鍋中，則面片的水平初速度可能是（g＝10m/s2）（）A．0.8m/s B．1.2m/s C．1.8m/s D．3.0m/s如圖所示，水平屋頂高H＝5m，圍墻高h＝3.2m，圍墻到房子的水平距離L＝3m，圍墻外空地寬x＝10m，為使小球從屋頂水平飛出落在圍墻外的空地上，g取10m/s2。求：（1）小球離開屋頂時的速度v0的大小范圍；（2）小球落在空地上的最小速度。求解平拋運動中臨界問題的一般思路：（1）找出臨界狀態對應的臨界條件。（2）作草圖，畫出臨界軌跡。確定物體的臨界位置，標注速度、高度、位移等臨界值。（3）分解速度或位移。（4）利用平拋運動對應的位移規律或速度規律進行求解。1．如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6m，豎直墻的厚度d＝0.4m，某人在距離墻壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m處的P點，將可視為質點的小物件以垂直于墻壁的速度v水平拋出，要求小物件能直接穿過窗口并落在水平地面上，不計空氣阻力，g＝10m/s2。則可以實現上述要求的速度大小是（）A．2m/s B．4m/s C．8m/s D．10m/s2．（多選）（2024·河北省滄州市·聯考題）如圖所示，每一級臺階的高為l，寬為2l，小李同學用發射器（忽略大小）從第4級臺階某處斜向左上方發射一個可以看作質點的小球，要求小球能水平且貼著臺階而射到第1級臺階上，則落在第1級臺階的速度大小v可能是（）A． B． C． D．考點二圓周運動的臨界問題一、水平面內圓周運動的臨界問題1．題型簡述：在水平面內做圓周運動的物體，當轉速變化時，會出現繩子張緊、繩子突然斷裂、靜摩擦力隨轉速增大而逐漸達到最大值、彈簧彈力大小方向發生變化等，從而出現臨界問題。2．兩類典型題型（1）圓錐擺的臨界問題，主要與彈力有關的臨界問題①繩子松弛的臨界條件是：繩恰好拉直且沒有彈力；繩子斷開的臨界條件是：繩上的拉力恰好達最大值。②兩物體接觸或脫離的臨界條件是：兩物體間的彈力恰好為零。③對于半圓形碗內的水平圓周運動，有兩類臨界情況：摩擦力的方向發生改變、恰好發生相對滑動。（2）水平轉盤上圓周運動的臨界問題，主要涉及與摩擦力和彈力有關的臨界極值問題①如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力Fm＝，方向指向圓心。②如果水平方向除受摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體在水平面上轉動，其臨界情況要根據題設條件進行判斷，如判斷某個力是否存在以及這個力存在時的方向（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。二、豎直平面內圓周運動的臨界問題1．題型簡述：豎直方向上圓周運動的臨界問題，主要涉及到重力提供向心力的相關臨界極值問題。2．兩類模型的對比輕“繩”模型輕“桿”模型情境圖示彈力特征彈力只能向下或為0彈力可能向下，可能向上，也可能為0力學方程mg＋FT＝mg±FN＝臨界特征FT＝0，即mg＝，得v＝v＝0，即FN＝0，此時FN＝mg模型關鍵（1）“繩”只能對小球施加向下的力（2）小球通過最高點的速度至少為（1）“桿”對小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力（2）小球通過最高點的速度最小可以為0三、斜面上圓周運動的臨界極值問題1．題型簡述在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制等，物體的受力情況和所遵循的規律也不相同。2．解題關鍵——重力的分解和視圖物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力相等，解決此類問題時，可以按以下操作，把問題簡化。題型一水平面內圓周運動的臨界問題—“圓錐擺”類問題（2023·德州模擬）有一豎直轉軸以角速度ω勻速旋轉，轉軸上的A點有一長為l的細繩系有質量為m的小球。要使小球在隨轉軸勻速轉動的同時又不離開光滑的水平面，則A點到水平面的高度h最大為（）A． B．ω2g C． D．題型二水平面內圓周運動的臨界問題—“轉盤”類問題（多選）如圖所示，兩個可視為質點的相同的木塊A和B放在水平轉臺上，且木塊A、B與轉臺中心在同一條直線上，兩木塊用長為L的細繩連接，木塊與轉臺的最大靜摩擦力均為各自重力的k倍，A放在距離轉軸L處，整個裝置能繞通過轉臺中心的豎直轉軸OO′轉動。開始時，繩恰好伸直但無彈力?，F讓該裝置從靜止轉動，角速度緩慢增大，則以下說法正確的是（）A．當ω＞時，A、B會相對于轉臺滑動B．當ω＞時，繩子一定有彈力C．ω在＜ω＜范圍內增大時，B所受摩擦力變大D．ω在0＜ω＜范圍內增大時，A所受摩擦力一直增大題型三豎直面內圓周運動的臨界問題如圖甲所示，小球用不可伸長的輕繩連接繞定點O在豎直面內做圓周運動，小球經過最高點的速度大小為v，此時繩子拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關系如圖乙所示，圖像中的數據a和b以及重力加速度g都為已知量，以下說法正確的是（）A．數據a與小球的質量有關B．數據b與小球的質量無關C．比值只與小球的質量有關，與圓周軌道半徑無關D．利用數據a、b和g能夠求出小球的質量和圓周軌道半徑（2024·湖南省常德市·其他類型）如圖所示。已知豎直平面內的圓形軌道半徑為R＝0.4m，且遠大于管的半徑，管內壁光滑，不計管內空氣阻力，小球質量m＝0.005kg，小球半徑略小子管的半徑，且可看做質點，重力加速度g＝10m/s2，小球從與圓心等高的A點進入軌道。下列說法正確的是（）A．若小球能到最高點C點，則小球在C點速度至少為2m/sB．若小球到最高點C點時對軌道沒有壓力，則小球在C點速度為2m/sC．若小球到最高點C點時速度為4m/s，則小球對軌道的彈力大小為0.25N，方向豎直向上D．若從A點靜止釋放小球，軌道半徑R越大，則小球到最低點B點對軌道的壓力越大題型四斜面上靜摩擦力控制下的圓周運動（多選）如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉動，盤面上離轉軸2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數為，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2，則以下說法中正確的是（）A．小物體隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到三個力的作用B．小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運動時，ω越大，小物體在最高點處受到的摩擦力一定越大C．小物體受到的摩擦力可能背離圓心D．ω的最大值是1.0rad/s題型五斜面上輕繩控制下的圓周運動如圖所示，一傾角為θ＝30°的斜劈靜置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一輕繩的一端固定在斜面上的O點，另一端系一小球。在圖示位置垂直于繩給小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圓周運動。已知O點到小球球心的距離為l，重力加速度為g，整個過程中斜劈靜止，下列說法正確的是（）A．小球在頂端時，速度大小為B．小球在底端時，速度大小為C．小球運動過程中，地面對斜劈的摩擦力大小不變D．小球運動過程中，地面對斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和題型六斜面上輕桿控制下的圓周運動如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上，有一根長為L＝0.8m的輕桿，一端固定在O點，另一端系一質量為m＝0.2kg的小球，沿斜面做圓周運動。g取10m/s2。若要小球能通過最高點A，則小球在最低點B的最小速度是（）A．4m/s B．m/s C．m/s D．m/s1．對水平面內圓周運動臨界問題的解題思路（1）若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等關鍵詞，表明題述的過程存在臨界狀態。（2）若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等關鍵詞，表明題述的過程存在著極值，這個極值點也往往是臨界狀態。（3）當確定了物體運動的臨界狀態或極值條件后，要分別針對不同的運動過程或現象，選擇相對應的物理規律，然后再列方程求解2．豎直平面圓周運動問題的一般解題思路3．求解斜面上圓周運動的臨界問題一般思路：與豎直面內的圓周運動類似，斜面上的圓周運動通常也是分析物體在最高點和最低點的受力情況，通過列牛頓運動定律方程解題。只是在受力分析時，一般需要進行立體圖到平面圖的轉化，這是解斜面上圓周運動問題的難點。1．（2024·江蘇省揚州市·聯考題）如圖所示，傾角為30°的傾斜圓盤繞垂直盤面的軸以角速度ω勻速轉動，盤面上有一個離轉軸距離為r、質量為m的小物體（可視為質點）隨圓盤一起轉動。PQ、MN是小物體軌跡圓互相垂直的兩條直徑，P、Q、M、N是圓周上的四個點，且P是軌跡圓上的最高點，Q是軌跡圓上的最低點，則（）A．小物體所受靜摩擦力最大值為mω2r＋B．小物體在P點最容易發生滑動C．在最高點P處，小物體所受靜摩擦力一定指向圓心D．在M處，小物體所受靜摩擦力大小mω2r2．（多選）如圖甲所示，陀螺在圓軌道外側運動而不脫離，好像被施加了魔法一樣。該陀螺可等效成一質點在圓軌道外側運動的模型，如圖乙所示，在豎直面內固定的強磁性圓軌道上，A、B兩點分別為軌道的最高點與最低點。已知該陀螺的質量為m，強磁性圓軌道半徑為R，重力加速度為g，陀螺沿軌道外側做完整的圓周運動，受到的軌道的強磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F。當陀螺以速率通過A點時，對軌道的壓力為7mg。不計一切摩擦和空氣阻力，下列說法正確的是（）A．強磁性引力F大小為8mgB．陀螺在B點的速率為C．陀螺在B點對軌道壓力為6mgD．要使陀螺不脫離強磁性圓軌道，它在B點的速率不能超過3．（多選）（2024·湖北省·聯考題）如圖所示，水平轉臺上有一個質量為m的小物塊，用輕細繩將物塊連接在通過轉臺中心的豎直轉軸OP上，OP高度為h，物塊距P點距離為R，系統靜止時細繩伸值且拉力剛好為零。物塊與轉臺間動摩擦因數μ＝0.5，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力?，F物塊和轉臺一起以相同的角速度ω繞OP軸做勻速圓周運動，重力加速度為g，下列說法錯誤的是（）A．若h＝R，當ω＝，轉臺對物塊的支持力小于重力B．若h＝R，當ω＝，摩擦力小于C．若h＝R，當ω＝，繩上拉力為D．隨著ω的取值由零逐漸增加，轉臺與物塊的摩擦力先逐漸增加后逐漸減小4．（多選）如圖所示，內壁光滑的圓形細管固定在傾角為θ的斜面上，其半徑為R，A、C分別為細管的最高點和最低點，B、D為細管上與圓心O處于同一水平高度的兩點，細管內有一直徑稍小于細管內徑的質量為m的小球，小球可視為質點。開始時小球靜止在A點，某時刻對小球施加輕微擾動，使小球自A向B沿著細管開始滑動。以過直線BOD的水平面為重力勢能的參考平面，重力加速度為g，下列說法正確的是（）A．小球不能返回到A點B．小球自A點到B點的過程中，重力的瞬時功率一直增大C．小球在C點時的機械能為2mgRsinθD．小球到達D點時，細管對小球的作用力大小為5．（2024·江蘇省連云港市·聯考題）如圖所示，水平轉盤可繞豎直中心軸轉動，盤上放著質量均為1kg的A、B兩個物塊，物塊之間用長為1m的細線相連，細線剛好伸直且通過轉軸中心O，A物塊與O點的距離為0.4m，物塊可視為質點。A、B與轉盤間的動摩擦因數均為0.1，且認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2。（1）當轉盤至少以多大的角速度勻速轉動時，細線上出現拉力？（2）當轉盤至少以多大的角速度勻速轉動時，A、B兩個物塊均會在轉盤上滑動？6．如圖所示，半徑為R＝0.5m的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺靜止不轉動時，將一個質量為2kg、可視為質點的小物塊放入陶罐內，小物塊恰能靜止于陶罐內壁的A點，且A點與陶罐球心O的連線與對稱軸OO′成θ＝37°角。重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。則：（1）當轉臺繞轉軸勻速轉動時，若物塊在陶罐中的A點與陶罐一起轉動且所受的摩擦力恰好為0，則轉臺轉動的角速度為多少？（2）若轉臺轉動的角速度為rad/s，物塊仍在陶罐中的A點隨陶罐一起轉動，則陶罐給物塊的彈力和摩擦力大小為多少？考點三平拋與圓周的雙臨界問題平拋運動與圓周運動組合中的雙臨界問題本質上是多過程運動問題，通常求解分三步：（2024·江蘇省揚州市·聯考題）小華站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m＝0.