第10講直線與圓的位置關系【題型歸納目錄】題型一：不含參數的直線與圓的位置關系題型二：含參數的直線與圓的位置關系題型三：由直線與圓的位置關系求參數題型四：求直線與圓的交點坐標題型五：求過圓上一點的切線方程題型六：求過圓外一點的切線方程題型七：求切線長題型八：已知切線求參數題型九：求弦長問題題型十：已知弦長求參數題型十一：切點弦問題題型十二：最值問題題型十三：三角形面積問題【知識點梳理】知識點一：直線與圓的位置關系1、直線與圓的位置關系：（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相離，沒有公共點．2、直線與圓的位置關系的判定：（1）代數法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點．有兩組實數解時，直線與圓C相交；有一組實數解時，直線與圓C相切；無實數解時，直線與圓C相離．（2）幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關系判斷：當時，直線與圓C相交；當時，直線與圓C相切；當時，直線與圓C相離．知識點詮釋：（1）當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理．（3）當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數形結合來解決．知識點二：圓的切線方程的求法1、點在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2、點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識點詮釋：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．常見圓的切線方程：（1）過圓上一點的切線方程是；（2）過圓上一點的切線方程是．知識點三：求直線被圓截得的弦長的方法1、應用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．2、利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．【典例例題】題型一：不含參數的直線與圓的位置關系【例1】（2023·新疆喀什·高二校考期末）直線與圓的位置關系為（

）A．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【對點訓練1】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學校考期中）直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷題型二：含參數的直線與圓的位置關系【例2】（2023·內蒙古巴彥淖爾·高二校考階段練習）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【對點訓練2】（2023·安徽亳州·高二統考開學考試）設，則直線：與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【對點訓練3】（2023·安徽·高二合肥市第八中學校聯考開學考試）直線l：與圓C：的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的值有關題型三：由直線與圓的位置關系求參數【例3】（2023·浙江嘉興·高二統考期末）直線與曲線的交點個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【對點訓練4】（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期中）圓上到直線距離為的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個【對點訓練5】（2023·高二單元測試）直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或題型四：求直線與圓的交點坐標【例4】（2023·江蘇宿遷·高二統考期中）直線與曲線的交點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【對點訓練6】（2023·高二課時練習）給定四條曲線：①，②，③，④，其中與直線僅有一個交點的曲線是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④題型五：求過圓上一點的切線方程【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青區楊柳青第一中學校考階段練習）過點作圓的切線，則切線的方程為__________.【對點訓練7】（2023·云南昆明·高二統考期末）圓在點處的切線方程為____________.【對點訓練8】（2023·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學校校考期末）圓的過點的切線方程為___________.題型六：求過圓外一點的切線方程【例6】（2023·北京·高二北京一七一中校考階段練習）過點的圓的切線方程為_________________．【對點訓練9】（2023·高二單元測試）經過點作圓的切線，則切線的方程為_______.【對點訓練10】（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學校考階段練習）過點做圓的切線l，則l的方程為________．題型七：求切線長【例7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為______.【對點訓練11】（2023·上海楊浦·高二校考期中）由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為______．【對點訓練12】（2023·河北邢臺·高二統考期中）過點作圓的一條切線，切點為，則___________.【對點訓練13】（2023·四川綿陽·高二校考期中）已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為______________．題型八：已知切線求參數【例8】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學校考期中）若直線與曲線有且只有一個公共點，則實數m的取值范圍是______．【對點訓練14】（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學校考期中）若A為射線上的動點，B為x軸正半軸上的動點．若直線AB與圓相切，則的最小值為________．【對點訓練15】（2023·高二單元測試）已知圓與直線相切，則___________.【對點訓練16】（2023·福建漳州·高二校聯考期中）已知過點的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實數a的值為___________.題型九：求弦長問題【例9】（2023·江蘇揚州·高二統考開學考試）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為______．【對點訓練17】（2023·山東菏澤·高二統考期末）以點為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點，則的取值范圍為________.【對點訓練18】（2023·高二課時練習）直線：被圓截得的弦長是______．【對點訓練19】（2023·湖南永州·高二統考期末）已知直線與圓交于，兩點，則__________．【對點訓練20】（2023·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習）已知過點的直線l被圓所截得的弦長為8，則直線l的方程為______.題型十：已知弦長求參數【例10】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學校考期中）設直線與圓相交所得弦長為，則_____【對點訓練21】（2023·高二單元測試）過圓內一點的最短的弦所在的直線方程是________.【對點訓練22】（2023·高二課時練習）直線截圓所得弦長為2，則的最小值為______．題型十一：切點弦問題【例11】（2023·全國·高二專題練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．【對點訓練23】（2023·江蘇揚州·高二校考開學考試）已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．【對點訓練24】（2023·江蘇·高二專題練習）過直線l：上任一點P向圓C：作兩條切線，切點分別為A、B兩點，線段AB的中點為Q，則點Q的軌跡方程為________________【對點訓練25】（2023·高二單元測試）過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是________．【對點訓練26】（2023·高二校考單元測試）已知點P是直線上一點，過點P作圓的兩條切線，切點分別為A和B．若圓心O到直線的距離的最大值為，則實數m=________．題型十二：最值問題【例12】（2023·山東聊城·高二校考期末）已知圓經過點，且圓心在直線上，(1)求圓的方程.(2)點在圓上，求的最大值.(3)直線當為何值時，圓上恰有3個點到直線的距離都等于3.【對點訓練27】（2023·浙江杭州·高二期末）已知圓C的方程為．(1)直線l過點，且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；(2)點為圓上任意一點，求的最大值和最小值．【對點訓練28】（2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學校考階段練習）已知圓C經過點和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點P為圓C上的任意一點，求點P到直線距離的最大值和最小值．【對點訓練29】（2023·高二課時練習）若點在圓上運動，求：(1)的最大值；(2)的最值．【對點訓練30】（2023·江蘇鎮江·高二江蘇省揚中高級中學校考期末）已知圓，點.(1)求過點的圓的切線方程；(2)求的最小值.題型十三：三角形面積問題【例13】（2023·浙江·高二校聯考階段練習）已知圓經過，，三點，且交直線于，兩點.(1)求圓的標準方程；(2)求的面積.【對點訓練31】（2023·湖南岳陽·高二校聯考期中）已知直線交圓于兩點.(1)當時，求直線的斜率；(2)當的面積最大時，求直線的斜率.【對點訓練32】（2023·浙江杭州·高二統考期中）已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為(1)求圓C方程;(2)過點的直線l與圓C交于M、N兩點，且的面積是為坐標原點，求直線l的方程.【對點訓練33】（2023·遼寧·高二校聯考期中）已知圓，直線過點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點，求面積的最大值，并求此時直線的斜率.【對點訓練34】（2023·安徽亳州·高二校聯考期末）已知圓，直線l過原點．(1)若直線l與圓M相切，求直線l的方程；(2)若直線l與圓M交于P，Q兩點，當的面積最大時，求直線l的方程．【過關測試】一、單選題1．（2023·重慶·高二統考學業考試）直線被圓截的的弦長為（

）A． B． C．2．（2023·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習）如圖，從外一點引圓的切線和割線，已知，，的半徑為4，則圓心到的距離為（

）

A． B． C． D．3．（2023·高二課時練習）過三點的圓交于軸于兩點，則＝（

）A． B．8 C． D．104．（2023·高二課時練習）若直線與圓相交，則（

）A． B． C． D．5．（2023·高二校考課時練習）若點在圓的內部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學校考期中）圓上到直線距離為的點有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．無數個7．（2023·高二單元測試）直線與圓的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不確定8．（2023·上海寶山·高二統考期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·湖北·高二校聯考期中）在平面直角坐標系中，已知定點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，直線，則下列結論中正確的是（

）A．曲線的方程為 B．直線與曲線的位置關系無法確定C．若直線與曲線相交，其弦長為4，則 D．的最大值為310．（2023·貴州·高二校聯考階段練習）已知圓的方程為，則關于圓的說法正確的是（

）A．圓心的坐標為B．點在圓內C．直線被圓截得的弦長為D．圓在點處的切線方程為11．（2023·山東日照·高二校考階段練習）實數x，y滿足，則的值可能為（）A． B．C． D．12．（2023·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學校考期中）已知圓，直線為直線上的動點，過點作圓的切線，切點為，則下列各選項正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．四邊形面積的最大值為8C．當最大時，D．當最大時，直線的方程為三、填空題13．（2023·上海靜安·高二統考期末）過點的直線與圓相切，則直線的斜率為______.14．（2023·高二課時練習）已知圓關于直線成軸對稱，則的取值范圍是____．15．（2023·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知直線與圓，則圓上的點到直線的距離的最小值為__________.16．（2023·遼寧朝陽·高二校聯考階段練習）以原點O為圓心作單位圓O，直線l與直線平行，且過點，P為直線l上一動點，過點P作直線與圓O相切于點B，則面積的最小值為____________．四、解答題17．（2023·浙江·高二校聯考階段練習）圓經過點，和直線相切，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求圓在軸截得的弦長．18．（2023·安徽·高二池州市第一中學校聯考階段練習）已知圓過三個點，過點引圓的切線，求：(1)圓的一般方程；(2)圓過點的切線方程.19．（2023·高二單元測試）已知點在圓上．(1)求該圓的圓心坐標及半徑長；(2)過