專題08球體綜合問題小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍立體幾何基礎公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式已知長寬高求體對角線：已知共點三面對角線求體對角線：棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.沖刺訓練沖刺訓練一、單選題1．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據球與圓錐的表面積計算公式，建立方程，可得答案.【詳解】設圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，球的半徑為，則，即，，球的表面積，圓錐的表面積，則.故選：B.2．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學?？既＃┮粋€圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺的上底面為底面，挖去一個半球，則剩余部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得到圓臺和半球的體積，即可求解．【詳解】，，剩余部分幾何體的體積為．故選:C3．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學?？寄M預測）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，設三棱錐外接球的半徑為，再根據結合球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，則，所以，設外接圓的半徑為，則，所以，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，由平面，得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.4．（2023·廣東·校聯考模擬預測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點均在球的表面上可得四點共圓，先證明平面，得出二面角的平面角為，可計算出，再利用勾股定理可得出四邊形外接圓的直徑為，則，最后利用外接球的表面積公式代入即可得出答案.【詳解】因為，所以，因為點均在球的表面上，所以四邊形內接于圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因為，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因為平面，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.

故選：B.5．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）已知圓錐PO的高及底面圓直徑均為2，若圓錐PO在球內，則球的體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，可得球的體積最小時，圓錐PO為球的內切圓錐，再求出球半徑作答.【詳解】依題意，當球的體積最小時，圓錐PO為球的內切圓錐，因此圓錐PO的軸截面三角形外接圓是球的大圓，設圓錐PO的軸截面等腰三角形底角為，而腰長為，則，因此球的半徑，所以球的體積的最小值為.故選：A6．（2023·黑龍江大慶·統考二模）如圖，邊長為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得到平面ABEF，進一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．【詳解】由可知，，，可求，，，因為平面平面ABEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．7．（2023·遼寧·校聯考三模）在三棱錐中，，平面經過的中點，并且與垂直，當截此三棱錐所得的截面面積最大時，此時三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取靠近的四等分點，的中點，截此三棱錐所得的截面為平面，當時截面面積最大，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，由求得外接球的半徑進而求得球的表面積.【詳解】

如圖所示取靠近的四等分點，的中點，連接，，.由，可知.同理可知.又，所以平面，所以平面即為平面.又易知，所以截此三棱錐所得的截面面積為，當時，取得最大值，設為外接球球心，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，所以四邊形為正方形，且，，，∴.故選：D.8．（2023·河北·統考模擬預測）在正四面體中，為的中點，點在以為球心的球上運動，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得出在處到平面的距離最遠，即三棱錐的體積最大，利用等體積法即可得出正四面體邊長，即可得外接正方體的邊長，然后利用正方體外接球體積公式求解即可.【詳解】由題知，為的中點，點在以為球心的球上運動，，所以都在以為球心的球上，又因，則在的中垂面上，如圖，

連接，都為正三角形，且為的中點，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以點在平面與以為球心，為半徑的球的交線上，即在以為圓心，為半徑的平面內的圓上，取中點，連接，延長至點，使，作在平面內，以為圓心，為半徑的圓，則圓上的點到平面的距離最遠，故在處，設，則，，平面，平面，,,,在中，，點到平面的距離，所以，解得，

如圖則其外接正方體的邊長為，所以正四面體外接球即為邊長為正方體的外接球，故外接球半徑，所以外接球體積.故選：A【點睛】關鍵點睛：本題考查三棱錐的體積問題，三棱錐的外接球問題，運動變化思想的應用，方程思想，屬于難題.9．（2023·浙江·校聯考模擬預測）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中點M，可得即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內，它們的交點就是球心O，在平面ABC內，設，然后表示出外接球的半徑，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求得答案.【詳解】當D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內，設，則，，因為，所以，所以，所以

令，則，所以，當且僅當時取等，故選:B【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了三棱錐外接球的求法、三角函數的最值問題，解題的關鍵是根據題意找出外接球的球心位置，考察學生的空間想象能力和邏輯思維能力，考查學生的推理運算能力，屬于難題.10．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）如圖，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點達到P點位置，且二面角的余弦值為，當三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時，三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作平面，垂足為，作，垂足為，連接，則為二面角的補角，為的中點，設，根據二面角的余弦值可求得，再根據三棱錐的體積取得最大值結合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，根據球的體積公式即可得解.【詳解】過點作平面，垂足為，作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，則為二面角的補角，故，因為，所以為的中點，設，則，在中，，則，，由，得當取得最大值時，三棱錐的體積取得最大值，，當且僅當時，取等號，所以，解得，則，設三棱錐外接球的球心為，則平面，設，由得，解得，則三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為.故選：D.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可；④坐標法：建立空間直角坐標系，設出外接球球心的坐標，根據球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.二、多選題11．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學校?？寄M預測）已知三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，.若點O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長為D．球O的表面積為【答案】AC【分析】根據球的性質可判斷為直棱柱，即可判斷A，由內切球的性質，結合三棱柱的特征即可判斷B，由勾股定理以及等邊三角形的性質可判斷CD.【詳解】選項A，三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，根據球的對稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.選項B：因為，所以.因為點O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內切球與外接球的球心重合.設該三棱柱的內切球的半徑為r，與底面以及側面相切于,則,由于為矩形的對角線交點，所以，而三角形為等邊三角形，所以,所以，所以，因此B錯誤.

選項C：由，可知，解得（負值已舍去），則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長為，因此C正確.選項D：三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯誤.故選：AC12．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）如圖，棱長為2的正四面體中，，分別為棱，的中點，為線段的中點，球的表面正好經過點，則下列結論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過點與直線，所成角均為的直線可作4條【答案】ABD【分析】設分別為的中點，連接，根據線面垂直的判定定理可判斷A；求出球的半徑，計算球的體積，進而判斷B；求出球O被平面截得的截面圓的半徑，可求得截面面積，進而判斷C；通過平移與補形法，通過角平分線的轉化尋找平面進而找出直線，從而可判斷D.【詳解】設分別為的中點，連接，

則,故，則四邊形為平行四邊形，故交于一點，且互相平分，即O點也為的中點，又，故,平面，故平面，由于平面，則平面，故，結合O點也為的中點，同理可證,平面，故平面，A正確；由球O的表面正好經過點M，則球O的半徑為,棱長為2的正四面體中，，M為的中點，則，故,則，所以球O的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長交平面于G點，則平面，垂足G落在上，且G為正的中心，故，所以，故球O被平面截得的截面圓的半徑為，則球O被平面截得的截面圓的面積為，C錯誤；由題意得，正四面體可以放入正方體內，如下圖所示，將平移至正方體的底面內，過和的角平分線作垂直于底面的平面，即平面，在平面內一定存在過O點的兩條直線使得該直線與直線，所成角均為，同理可知，過和的角平分線作垂直于底面的平面也存在兩條直線滿足題意，所以過點與直線，所成角均為的直線可作4條，D正確.

故選：ABD【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何的綜合問題.要結合圖形的特點，作出適合的輔助線，要善于觀察圖形特點，放入特殊圖形中從而快速求解.三、填空題13．（2023·廣東潮州·統考模擬預測）已知圓柱的側面積為，其外接球的表面積為，則的最小值為．【答案】【分析】設圓柱的底面半徑為，高為，根據題意求得，利用基本不等式求得圓柱的外接球半徑，結合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，因為圓柱的側面積為，所以，得，設圓柱的外接球半徑為，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為1，所以外接球的表面積的最小值為.故答案為：．14．（2023·云南曲靖·?？既＃┮阎c均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為.【答案】【分析】依題意當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，由求出，再根據球的體積公式計算可得.【詳解】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的體積為.

故答案為：15．（2023·全國·模擬預測）已知在三棱錐中，是面積為的正三角形，平面平面，若三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為．【答案】1【分析】首先根據已知可推得，當為的中點時，三棱錐的高的值最大.然后由以及確定球心位置.進而根據已知，求出，即可得出答案.【詳解】第一步：找到三棱錐的體積最大時點的位置過點作于點.因為平面平面，平面平面，面，所以平面，所以，所以要使三棱錐的體積最大，則需的值最大．易知點在同一個圓上，則當為的中點時，的值最大，此時為等腰三角形，且．第二步：利用外接球球心的位置構造矩形如圖，設外接球的球心為，，的外接圓圓心分別為，連接，易知分別在線段上，連接.顯然，平面，平面.因為是的中點，是面積為的正三角形，所以.因為平面平面，平面，平面平面，所以，平面.因為平面，所以.又平面，所以，所以.同理可得，，所以四邊形為平行四邊形.又，所以四邊形為矩形.第三步：求出，即可得解由，得，得，所以，則．設球的半徑為，則由已知可得，，所以．連接，則，則，所以，從而．【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質求解.16．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學校考模擬預測）已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的體積為．【答案】【分析】將三棱錐補成直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進而求得三棱錐外接球半徑，即可得答案.【詳解】因為，，所以在中，根據余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是頂角為120°的等腰三角形．由題意將三棱錐補成如圖所示的直三棱柱，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點上．設外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱錐外接球的體積為，故答案為：17．（2023·浙江·校聯考三模）將兩個形狀完全相同的正三棱錐底面重合得到一個六面體，若六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1，則六面體外接球的體積為．【答案】/【分析】根據正三棱錐的幾何性質，確定其形成六面體的外接球球心的位置及半徑的長，從而列式求得半徑，即可得六面體外接球的體積.【詳解】如圖所示，記兩個形狀完全相同的正三棱錐為三棱錐和三棱錐設點A在面上的投影為點O，則、O、A三點共線．在三棱錐和中，到幾何體各頂點距離相等的點分別在和上若組合后的六面體存在外接球，則O為外接球的球心，設，則，因為O為的中心，所以即，所以，解得所以球的體積為.故答案為：.18．（2023·全國·模擬預測）已知一個圓臺內部的球與圓臺的上、下底面以及每條母線均相切，設球與圓臺的表面積分別為，，體積分別為，，若，則．【答案】【分析】找到球半徑與圓臺上、下底面半徑之間的關系，用，表示出圓臺和球的表面積，由條件求出，之間的關系，結合球的體積公式求.【詳解】第一步：找到球半徑與圓臺上、下底面半徑之間的關系設圓臺的母線長為，高為，上、下底面圓心分別為，，半徑分別為，，球的球心為，半徑為，作出該組合體的軸截面如圖所示，連接，易知點為的中點，則．設為球與圓臺側面的一個切點，連接，根據切線長定理可得，（切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等）所以（勾股定理的應用）所以，第二步：用，表示出圓臺和球的表面積則，，（圓臺的表面積公式）第三步：根據得到，之間的關系故，第四步：求出所以．故答案為：.19．（2023·山東淄博·統考二模）在三棱錐中，底面為的中點.若三棱錐的頂點均在球的球面上，是該球面上一點，且三棱錐體積的最大值是，則球的表面積為.【答案】【分析】首先證明的中點為三棱錐外接球球心，到平面的距離為，到平面的距離的最大值為，而三棱錐體積的最大值是，由棱錐體積公式列方程求得，從而得球半徑后可得球表面積．【詳解】由且是中點得,又平面,平面,所以,同理,，而,平面,所以平面,又平面,所以,設中點為,則到四點距離相等,即為三棱錐的外接球的球心,三棱錐體積的最大值是，是中點,則三棱錐體積的最大值是，又由平面（即平面），設是中點，連接，則，所以平面，所以到平面的距離為，，即球的半徑為，所以到平面的距離的最大值為，而，所以，解得，所以球的半徑為，表面積為．故答案為：．20．（2023·浙江金華·?？既＃┰谒睦忮FP－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，點M是矩形ABCD內（含邊界）的動點，滿足MA等于M到邊CD的距離.當三棱錐P－ABM的體積最小時，三棱錐P－ABM的外接球的表面積為．【答案】【分析】根據拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線位于矩形內的一部分，找到三棱錐P－ABM的體積最小時的點F，然后利用補體法求出外接球的半徑，即可求出表面積.【詳解】由拋物線定義可知：點位于底面矩形內以點A為焦點，為準線的拋物線上，記點的軌跡為曲線，在矩形內以點為坐標原點，為軸，過點作垂線為軸建立如圖示平面直角坐標系，由AD=p=4知拋物線的標準方程為：，又AB=，所以，所以，當點位于時，面積最小，又平面ABCD，此時三棱錐的體積最小，三棱錐的外接球與以PA，AB，BF為長寬高的長方體的外接球相同，由長方體外接球模型可知，三棱錐外接球球心為的中點，此外接球的半徑為：，所以．故答案為：21．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點到該截面圓心的最大距離為．【答案】3【分析】先求出球心到平面的距離為，再求點到該截面圓的最大距離.【詳解】設截面圓的半徑為，球的半徑為，球心到平面的距離為，則，因為球的體積為所以因為截面圓的面積為，所以，故，所以，所以球面上的點到該截面圓圓心的最大距離為，故最大距離為.故答案為:.22．（2023·海南海口·統考模擬預測）在正三棱錐中，，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】畫出正三棱錐，設出球心，由勾股定理建立等量關系求得外接球半徑，由球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖：在正三棱錐，.在等邊三角形中，為中點，，所以，在直角三角形中，，設三棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，.由勾股定理得：，解得：，所以該三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：.23．（2023·山東淄博·統考三模）已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其內切球的表面積之比為.【答案】【分析】由已知先計算圓錐母線與底面圓半徑的關系，再確定其內切球半徑，最后由圓錐的側面積與球的表面積公式計算即可.【詳解】

如圖所示圓錐IF，設其底面圓心為F，半徑為r，內切球球心為O，半徑為R，內切球與母線IH切于點G，則由題意可知，故，易知，即，所以，圓錐的側面積為，內切球的表面積為，故.故答案為：24．（2023·福建漳州·統考模擬預測）已知正四棱臺的上底面的邊長為，下底面的邊長為，記該正四棱臺的側面積為，其外接球表面積為，則當取得最小值時，的值是.【答案】【分析】由球的表面積公式求解四棱臺的外接球表面積，并求出側面積，然后求解即可.【詳解】當取得最小值時，則球心在正四棱臺的下底面內，為上底面的中心，如圖所示，

由此可得外接球的半徑為，進而可得，進而可求側面的斜高.則側面的面積，又，所以.故答案為：.25．（2023·江蘇揚州·統考模擬預測）已知正四棱錐的側面是邊長為3的正三角形，它的側棱的所有三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為．【答案】【分析】先找出正四棱錐的側棱所有三等分點構成一個正四棱臺，即為求正四棱臺的外接球.【詳解】如圖，正四棱錐的側棱的所有三等分點構成一個正四棱臺，棱臺上底面是邊長為1的正方形，棱臺下底面是邊長為2的正方形，側棱長為1，

可求得棱臺的高為，設該棱臺的外接球的半徑為，球心到下底面的距離，球心到上底面的距離，①球心在兩個底面之間時，所以，因為，則，則上式無解；②球心在下底面下方時，，，兩邊同時平方：，，解得：，表面積，故答案為：.26．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）已知正方體的棱長為，點E為棱上一動點，點F為棱上一動點，且滿足，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】利用線面垂直的性質得，再求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到答案.【詳解】如圖所示：取EF的中點O，連接，由正方體的性質可得平面，又∵，∴，即同理，∴，由直角三角形的性質可得，∴O為的外接球的球心，為外接球的直徑，∵，∴的外接球的半徑恒為1，∴的外接球的表面積恒為，故答案為：.27．（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個圓錐內部，使球與圓錐底面和側面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

【答案】【分析】設圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長為，利用圓錐的軸截面得，求出圓錐的體積，令，再利用基本不等式或利用導數求最值可得答案.【詳解】依題意，得球的半徑，設圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長為，如圖是圓錐的軸截面，則軸截面的面積，即，平方整理得，則圓錐的體積，令，則，當且僅當時取得最小值，此時.[或求導：，所以，當即時，單調遞增，當即時，單調遞減，所以當時最小，且最小值為.]故答案為：.

28．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中學統考模擬預測）已知正四棱錐的各頂點都在同一個球面上.若該正四棱錐的體積為，則該球的表面積的最小值為.【答案】【分析】先由棱錐體積公式結合勾股定理表示出球的半徑，構