專題14.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養學生的創造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件。當我們要解決有關角度、長度問題時，通常可以連接半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的性質、勾股定理及圓中的相關定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個端點，根據圓周角的性質可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題例1．（2023·陜西初三一模）如圖，已知△ABC是圓O的內接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，點C是弧BD的中點，連接CD，則∠ACD的度數是例2.（2022?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°例3．（2023·重慶九年級一模）如圖，⊙O1的半徑是⊙O2的直徑，⊙O1的半徑O1C交⊙O2于B，若的度數是48°，那么的度數是______．例4．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，是的內接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．模型2、遇弦作弦心距（解決有關弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量。一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。例1．（2023年湖南省永州市中考數學真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

例2．（2023年四川省廣安市中考數學真題）如圖，內接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為．

例3．（2021·湖北中考真題）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點為運行軌道的最低點，則點到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米例4．（2023·廣東廣州·九年級校考自主招生）如圖所示，圓的直徑與弦相交于點．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4模型3、遇求角可構造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點，點C是圓上一動點，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，點A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，則∠α度數為（

）A．160o B．120o C．100o D．80o例3．（2022春·黑龍江哈爾濱·九年級校考開學考試）如圖，內接于，，，則的半徑為（

）

A．4 B．8 C． D．例4．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關問題中注意90o的圓周角的構造。例1．（2023·遼寧營口·統考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點E，連接，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．例2．（2022春·廣東廣州·九年級校考開學考試）如圖，在中，弦的長為10，圓周角，則這個圓的直徑為．

例3．（2023·四川瀘州·統考中考真題）如圖，在中，，點在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點，與相交于點，連接．若，，則的長是（）

A． B． C． D．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營口·統考中考真題）如圖，點A，B，C，D在上，，則的長為（

）A． B．8 C． D．4例2．（2023·四川達州·統考二模）如圖，半徑為的經過原點O和點，B是y軸左側優弧上一點，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2022·四川涼山·統考中考真題）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（

）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2模型6、遇切線連圓心和切點（構造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構造直角三角形，再利用直角三角形的有關性質解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，如圖，、分別切于點、，點為優弧上一點，若，則的度數為（）

A． B． C． D．例2．（2023·湖北武漢·九年級統考自主招生）如圖，在中，，點在上，以點為圓心，為半徑的剛好與相切，交于點．若，則的面積是（

）A． B． C． D．例3．（2023秋·廣東·九年級專題練習）如圖，點是半徑為的外一點，，分別切于，點，若是邊長為的等邊三角形，則（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點連圓心：當直線和圓的公共點已知時，聯想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省阜新市中考數學真題）如圖，是的直徑，點C，D是上異側的兩點，，交的延長線于點E，且平分．(1)求證：是的切線．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．

例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

模型8、遇三角形的內切圓，連內心與頂點（切點）當遇到三角形內切圓，連接內心到三角形各頂點，或連接內心到各邊切點（或做垂線）。利用內心的性質可得一內心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內心到三角形三邊的距離相等。例1．（2020·青海·統考中考真題）如圖，在中，，，，則的內切圓半徑．例2．（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）已知的周長為，其內切圓的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．例3．（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數學真題）如圖，在中，的內切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

課后專項訓練1．（2023秋·湖北武漢·九年級期中）如圖，為直徑，弦于點，，，則長為（）

A．10 B．9 C．8 D．52．（2022·湖北武漢·校考一模）如圖，是的直徑，D為上一點，A為的中點，于H并交于點E，若，，則的半徑長為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，是的弦，連接，若，則的度數為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級重慶市第七中學校校考階段練習）如圖，已知與相切于點A，是的直徑，連接交于點D，E為上一點，當時，的度數是（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，的半徑，，則（

）

A． B． C． D．7．（2022·廣東茂名·統考二模）如圖，在中，點是的中點，點在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．8．（2023秋·成都·九年級專題練習）如圖，在中，是弦，是切線，過B點作于D，交于E點，若平分，則的度數是（）A． B． C． D．9．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，是以原點為圓心、半徑為4的圓，已知有一條直線與有兩個交點、，則弦長的最小值為（

）

A．4 B． C．8 D．10．（2023春·廣東深圳·九年級校考自主招生）如圖，已知半徑為10，割線交于點B，，點O到的距離為6，則．

11．（2023秋·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，內接于，，．若，則的長為．

12．（2022秋·廣東深圳·九年級校考自主招生）如圖，在直角中，，，．圓與邊和相切，圓與邊和相切，圓與圓相外切，設圓心距的最小值為m，則．

13．（2022秋·吉林四平·九年級統考階段練習）如圖，是的弦，是的切線，為切點，經過圓心．若，則．

14．（2023秋·九年級課時練習）如圖，已知的內接五邊形，連接，，若，，則的度數為．

15．（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形，是的直徑，，則的度數是．16．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點．連接，過點的切線與的延長線交于點．若，則°．

17．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為．

18．（2023·四川成都·統考中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出．（取3.14，取1.73）

19．（2023·安徽宿州·統考模擬預測）如圖，有一個半徑為的圓形鐵皮，要從中剪出一個圓心角為的扇形，其中、、都在圓上，則被剪掉陰影部分的面積是．

20．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點在第一象限內，與軸相切于點，與軸相交于點，．連接，．(1)求點的坐標；(2)求的值．

21．（2022·四川雅安·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點E和點D．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△A