PAGEPAGE12（全國卷Ⅲ）2024年高考數學壓軸卷文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（）A． B． C． D．2．設，則（）A．2 B．3 C．4 D．53．設等差數列的前項和為，若，，則（）A．20 B．23 C．24 D．284．若，那么的值為（）A． B． C． D．5．設，滿意約束條件，則的最大值是（）A．1 B．16 C．20 D．226．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線異面且夾角成的直線的條數為（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．9．過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為、，若，則實數（）A．2 B．3 C．4 D．910．執行如圖所示程序框圖，輸出的（）SS＝S＋8起先否T>S？結束是S＝1，T=0,n=0 n=＝0n＝n+2輸出ST＝T+2nA．25B．9 C．17D．2011．已知，分別是橢圓的上下兩個焦點，若橢圓上存在四個不同點，使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．在邊長為2的等邊中，是的中點，點是線段上一動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．某校高三科創班共48人，班主任為了解學生高考前的心理狀況，將學生按1至48的學號用系統抽樣方法抽取8人進行調查，若抽到的最高校號為48，則抽到的最小學號為________．14．若，滿意，則的最大值為______．15．設函數，若，則實數的取值范圍是______．16．直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，，，，則此球的表面積等于______．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分12分）在中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）已知外接圓半徑，且，求的周長．18．(本小題滿分12分）某中學為了豐富學生的課外文體活動，分別開設了閱讀、書法、繪畫等文化活動；跑步、游泳、健身操等體育活動．該中學共有高一學生300名，要求每位學生必需選擇參與其中一項活動，現對高一學生的性別、學習主動性及選擇參與的文體活動狀況進行統計，得到數據如下：（1）在選擇參與體育活動的學生中按性別分層抽取6名，再從這6名學生中抽取2人了解家庭狀況，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有的把握認為學生的學習主動性與選擇參與文化活動有關?請說明你的理由．附：參考公式：，其中．19．(本小題滿分12分）如圖，多面體中，底面是菱形，，四邊形是正方形，且平面．（1）求證：平面；（2）若，求多面體的體積．20．(本小題滿分12分）已知橢圓經過點，且右焦點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點，當最大時，求直線的方程．21．(本小題滿分12分）已知．（1）求在處的切線方程；（2）求證：當時，．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．(本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】在平面直角坐標系中，曲線：（為參數），在以平面直角坐標系的原點為極點、軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標系取相同單位長度的極坐標系中，曲線：．（1）求曲線的一般方程以及曲線的平面直角坐標方程；（2）若曲線上恰好存在三個不同的點到曲線的距離相等，求這三個點的極坐標．（2）∵圓心到曲線：的距離，23．(本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】若，，且．（1）求的最小值；（2）是否存在，，使得的值為？并說明理由．2024全國卷Ⅲ高考壓軸卷數學文科（三）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】C【解析】，故選C．2．【答案】B【解析】，則，故，故選B．3．【答案】D【解析】由于數列是等差數列，故，解得，，故．故選D．4．【答案】D【解析】由題意可得，故選D．5.【答案】B【解析】由題可知，再畫出約束條件所表示的可行域，如圖所示，結合圖象可知當平移到過點時，目標函數取得最大值，又由，解得，此時目標函數的最大值為，故選B．6．【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體由兩個同底的圓錐拼接而成，圓錐的底面半徑，高，所以該幾何體的體積為，故選B．7．【解析】在正方體的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線異面且夾角成的直線有：，，，，共4條．故選B．8．【答案】B【解析】，，故，故選B．9．【答案】A【解析】如圖所示，取圓上一點，過作圓的兩條切線、，當時，，且，；，則實數．故選A．10．【答案】C【解析】依據程序框圖依次執行為，，；，，；，，，退出循環，輸出．故選C．11．【答案】A【解析】由題知，，，設橢圓的右頂點為，的面積為，∴的面積的最大值時為，，，∴，∴，故選A．12．【答案】B【解析】畫出圖像如下圖所示，以，分別為，軸建立平面直角坐標系，故，，設，所以，依據二次函數的性質可知，對稱軸，故當或時取得最大值為0，當時取得最小值為，故的取值范圍是．故選B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】6【解析】由系統抽樣方法從學號為1到48的48名學生中抽取8名學生進行調查，把48人分成8組，抽到的最高校號為48，它是第8組的最終一名，則抽到的最小學號為第一組的最終一名6號．故答案為6．14．【答案】【解析】由，滿意，作出可行域如圖，聯立，解得，函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，的最大值為1．故答案為．15．【答案】【解析】如圖所示：可得的圖像與的交點分別為，，∴，則實數的取值范圍是，可得答案．16．【答案】【解析】如圖，在中，，，，由勾股定理可得，可得外接圓半徑，設此圓圓心為，球心為，在中，可得球半徑，∴此球的表面積為．故答案為．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分12分）【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，即，，又，．（2），，，∴由余弦定理可得，，∴，∵，所以得，∴周長．18．(本小題滿分12分）【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1）由題意知參與體育活動的學生中，男生人數為60人，女生人數為30人，按性別分層抽取6名，則男生被抽取的人數為，女生被抽取的人數為，記4名男生分別為，，，，2名女生為，，則從這6名學生中抽取2人的狀況有，，，，，，，，，，，，，，，一共15種狀況，2人中至少有1名女生共有9種狀況，概率為．（2）列聯表為：學習主動性高學習主動性不高總計參與文化活動18030210參與體育活動603090總計24060300，∴有的把握認為學生的學習主動性與選擇參與文化活動有關．19．(本小題滿分12分）【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）證明：∵是菱形，∴，又平面，平面ADE，∴平面．又是正方形，∴．∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∴平面．（2）解：連接，記．∵是菱形，，且．由平面，平面，．∵平面，平面，，∴平面于，即為四棱錐的高．由是菱形，，則為等邊三角形，由，則，，，，．20．(本小題滿分12分）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設橢圓的左焦點，則，又，所以橢圓的方程為．（2）由，設，，由，且，，．設，則，，當，即時，有最大值，此時．21．(本小題滿分12分）【答案】（1）；（2）見解析．【解析】（1），故，故切線方程是．（2）令，，令，解得，令，解得，故在遞減，在，故，故，∵，∴，故時，．請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．(本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數方程】【答案】（1），；（2），，．【解析】（1）由消去參數得，即曲線的一般方程為，又由得，即為，即曲線的平面直角坐標方程為．（2）∵圓心到曲線：的距