PAGEPAGE1第3課時圓錐曲線中的定點定值、最值范圍問題課后訓練案鞏固提升一、A組1.(改編題)若直線y=x+m與橢圓x24+y22A.±6 B.±6 C.±3 D.±4解析:由x24+y22=1,y=x+m,消去因此有Δ=-8m2+48=0,解得m=±6.答案:B2.(2024山東淄博高二檢測)直線y=2x與雙曲線x24-y2=1公共點的個數為(A.0 B.1 C.2 D.4解析:雙曲線x24-y2=1的漸近線方程為y=±12x,焦點在x軸上,由圖形知,直線y=2答案:A3.(2024河南平頂山高二月考)過雙曲線x2-y2=1的一個頂點分別作其漸近線的垂線,則兩條垂線段與漸近線圍成矩形的面積等于()A.12 B.22 C.1 D解析:因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等,故可取雙曲線的一個頂點為(1,0),取一條漸近線為y=x,所以點(1,0)到直線y=x的距離為22,所以圍成矩形的面積是2答案:A4.(2024河北正定高二月考)F1,F2分別為橢圓x22+y2=1的左、右焦點,點P(x,y)是直線x+y-2=0(x≠2,x≠±1)上的動點,直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,則1kA.2 B.3C.-2 D.隨點P的位置而改變解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),則有k1=yx+1,k2=因此1k又因為P(x,y)在直線x+y-2=0上,所以1k1-答案:A5.設橢圓C:x24+y23=1的長軸兩端點為M,N,P是橢圓C上隨意一點,則PM解析:M(-2,0),N(2,0),設P(x0,y0),于是kPM·kPN=y=34(4答案:-36.已知斜率為1的直線l過橢圓x24+y2=1的右焦點,交橢圓于A,B兩點,則弦AB的長度等于解析:橢圓右焦點為(3,0),所以y=x-3,x2+4y2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=答案:87.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)經過點A(2,1),離心率為22(1)求橢圓的方程;(2)若|MN|=322,求直線MN解:(1)由題意有4a2+1b2=1,e=ca=解得a=6,b=3,c=3,所以橢圓方程為x26+(2)由題易知點B(3,0)在橢圓外,又直線MN過點B且與橢圓有兩個交點,可知直線MN斜率存在,設直線MN方程為y=k(x-3),代入橢圓方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,Δ=24-24k2>0,得k2<1.設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=12k22k2+1,x|MN|=(=(=(k解得k=±22,滿意k2<故所求直線方程為y=±22(x-3)8.(2024遼寧大連高二月考)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點O(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經過A,B兩點,求橢圓E的方程解:(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離d=bcb由d=12c,得a=2b=2a解得離心率ca(2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.①依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=10.易知,AB不與x軸垂直,設其直線方程為y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1=52由|AB|=10,得10(b2-2)=故橢圓E的方程為x212+9.(2024浙江寧波高二月考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為42,其左、右頂點分別為A1(-3,0),A2(3,0),一條不經過原點的直線l(1)求橢圓C的方程;(2)若m+k=0,直線A1M與NA2的斜率分別為k1,k2.試問:是否存在實數λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.解:(1)因為橢圓C:x2a2+y2所以2c=42,解得c=22.因為橢圓的左、右頂點分別為A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,所以橢圓C的方程為x29+y2=(2)由m+k=0知直線l過定點D(1,0).設直線A1M的方程為y=k1(x+3),直線NA2的方程為y=k2(x-3).聯立方程y=k1(x+3),x29+y2=1,消去y得(1+解得點M的坐標為3-同理,可解得點N的坐標為27k由M,D,N三點共線可得6k11+9k123-27k121+9k12-由題設可知k1與k2同號,所以k2=2k1,即k1+-12k2即存在λ=-12,使得k1+λk2=0二、B組1.已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M(-2,2),過點F且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若MA·MB=0,則k=(A.2 B.22C.12 D.解析:過點F(2,0)且斜率為k的直線的方程為y=k(x-2),設點A(x1,y1),B(x2,y2),則MA·MB=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y1-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y1=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.①由y消去y并整理得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1+x2=4k2+8k2,x1x消去x并整理得:ky2-8y-16k=0,∴y1+y2=8k,y1y2=-16.③將②,③代入①并整理得:k2-4k+4=0,∴k=2.答案:D2.已知F是雙曲線x23a2-y2a2=1(a>0)的右焦點,O為坐標原點,設P是雙曲線A.15° B.25° C.60° D.165°解析:該雙曲線焦點在x軸上,漸近線方程為y=±a3ax,即y=±3因此兩條漸近線的傾斜角分別為30°,150°,當P在右支上時,∠POF的取值范圍是[0°,30°),當P在左支上時,∠POF的取值范圍是(150°,180°],因此∠POF的大小不行能為60°.答案:C3.(2024云南昆明高二月考)拋物線y2=2px(p>0)焦點為F,O為坐標原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為43,則拋物線方程為.

解析:依題意Fp2所以|MF|=4|OF|=4·p2=2p由拋物線的定義知M點的橫坐標為2p-p2因此其縱坐標y0滿意y02=2p·3p2=故|y0|=3p,而△MFO的面積為43,所以12·p2·3p=故拋物線方程為y2=8x.答案:y2=8x4.(2015陜西高考)如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1((1)求橢圓E的方程;(2)經過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P,Q(均異于點A),證明直線AP與AQ的斜率之和為2.解:(1)由題設知ca=2結合a2=b2+c2,解得a=2.所以橢圓的方程為x22+y2=(2)由題設知,直線PQ的方程為y=k(x-1)+1(k≠2),代入x22+y2得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知Δ>0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,則x1+x2=4k(k-1)1+2k從而直線AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=y=k=2k+(2-k)1x1+1x2==2k+(2-k)4k(k-1)2k(5.導學號59254063已知橢圓C:x29+y2b2=1(b>0)上的動點(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l和橢圓C交于M,N兩點,A為橢圓的右頂點,AM·AN=0,求△AMN解:(1)由已知得a=3,a-c=3-22,所以c=22,b=1,故橢圓C的方程為x29+y2=(2)設直線AM的方程為y=k(x-3),不妨設k>0.因為AM·AN則直線AN的方程為y=-1k(x-3)由y可得(9k2