3-1設系統的微分方程式如下:

(1)0.2c(0=2r(0

(2)0.04c(0+0.24c(r)+c(r)=r(r)

試求系統閉環傳遞函數①(s),以及系統的單位脈沖響應g(t)和單位

階躍響應C(t)O已知全部初始條件為零。

解：

(1)因為0.2sC(s)=2R(s)

閉環傳遞函數①⑸==—

單位脈沖響應：C(5)=10/5/>(/)=10/>0

單位階躍響應c(t)C(5)=10/52C⑺=10/r>()

R(s)

(2)(0.04/+024S+1)C(S)=R(S)C(s)=

0.04?+0.245+1

閉環傳遞函數，(s)=C")=------!------

R(s)0.04/+0.24.9+1

1

單位脈沖響應:C(5)=g(t)=—e~3/sin4r

0.04?+0.245+1

25_1s+6

h(t)C(5)=

單位階躍響應4(5+3)2+161-7-(5+3)2+16

cQ)=1-e~yicos4f--sin4r

4

3-2溫度計的傳遞函數為用其測量容器內的水溫，1min

75+1

才能顯示出該溫度的98%的數值。若加熱容器使水溫按109C/min的

速度勻速上升，問溫度計的穩態指示誤差有多大

解法一依題意，溫度計閉環傳遞函數

①(s)=——

7\+1

由一階系統階躍響應特性可知：c(4T)=98%,因此有4T=1min,得

出T=0.25mino

視溫度計為單位反饋系統，則開環傳遞函數為

0(5)1K=}/T

G(s)=

1-<D(5)-TsV=1

用靜態誤差系數法當?)=10.￡時,4=107=2.5。。。

解法二依題意，系統誤差定義為e⑺=%)-?),應有

1_Ts

⑸嘲一冊Ts+1~Ts+\

Ts10

=lims①,.(s)R(s)=lims10T=2.5℃

h+1T7

STO$->0

3-3已知二階系統的單位階躍響應為

c(t)=10-12.5/5Sin(1.6r+53.1°)

試求系統的超調量。％、峰值時間tp和調節時間ts。

解：c(f)=1--j-----產'sin(Jl-，26V+P)

713.5

P=arccost^cr%=。一名

菽

q=cos/=cos53.I°=0.6

b%='"Y2=6-無。心川i-os?_^-^o.6/Vi-o.62_95%

/4—=-1.96(5)

JL6

3535

—=—=2.92(5)

口L2

或：先根據c（t）求出系統傳函，再得到特征參數，帶入公式求解指

標。

3-4機器人控制系統結構圖如圖所示。試確定參數值，使

系統階躍響應的峰值時間乙,=0.5S,超調量o%=2%。

的&a”

-la+1p-

圖習題3-4圖

解依題，系統傳遞函數為

K、

①⑶=s（s+1）=_________5

]I&（右+1）$2+（]+K|K”+K152+2死5+@；

5(5+1)

t=,n=0.1

p<=0.33

由'V?二？口”聯立求解得,

①“=33.28

==33.3%

K、=比=1108

由式(1)

a=2初”=22

另外c(8)=lims①(s)?-=lim———!---=K、=3

10ss+as+K]

3-6已知單位反饋隨動系統如圖所示，K=16s，T二,試求:

(1)特征參數4和％;

(2)計算。％和ts；

(3)若要求。％=16%,當T不變時K應當我何值

圖習題3-6圖

【解】：(1)求出系統的閉環傳遞函數為:

~、KK/T

①⑸=—:------=-----:-------

Ts+s+KJ+L+K/T

T

=8(5~*),<=—=—^==0.25

因此有:2"2y/KT

5

(2)b%=e必x100%=44%

44

?——=------=2(5)(A=2%)

勿〃0.25x8

(3)為了使。％=16%,由式o%=eGxl00%=16%可得"05,當T不變

肱=唯；=_!_=----!----=4(尸)

*2<26T2x0.5x0.25

K=Ta)：=42x0.25=4(/)

3-7系統結構圖如圖所示。已

知系統單位階躍響應的超調量

cr%=16.3%,峰值時間/"1s。

圖習題3-7圖

(1)求系統的開環傳遞函數G(s);

(2)求系統的閉環傳遞函數①(s);

(3)根據已知的性能指標0%、確定系統參數K及工；

(4)計算等速輸入r(0=1.5/(°)A時系統的穩態誤差。

10

解(1)G(s)=K=—"一

［十,0r5Ls(s+10r+l)

s(s+1)

G(s)\0K7

(2)①(s)=練

1+G(s)52+(10r+l)5+10^S2+2^O?S+^

0%=產問=16.3%”0.5

(3)由聯立解出“”=3.63

T=0.263

由(2)10K=刃；=3.63?=13.18,付出K=1.318o

10K13.18

(4)K、=limsG(s)==3.63

$f01Or+110x0.263+1

A_1.5

%^-163=0.413

3-8已知單位反饋系統的單位階躍響應為+代，求

(1)開環傳遞函數G(s)；

⑵GG。％4；

(3)在/。)?2+2?作用下的穩態誤差。爾。

3-9已知系統結構圖如圖所示,G(s)

K_________

G(s)=

5(0.15+1)(0.255+1)

試確定系統穩定時的增益K的取值范圍。

圖習題3-9圖

解:

D(s)=0.02551+0.35s?+s+k=0

510.025I

530.35k

列勞斯灰：O.O25A-035

s-------------------

0.35

53k

根據勞斯判據，系統穩定的充要條件是：

k>0

0.025Ar-0.35八〉

------------------->0

035

=>0<Jt<14

3-10已知單位反饋系統的開環傳遞函數為

7($+1)

s(s+4)(s~+25+2)

試分別求出當輸入信號r(r)=l(r),，和/時系統的穩態誤差。

s(s+4)($2+2s+2)

由靜態誤差系數法

r(t)=1(0時,葭=0

?/)二f時,

?/)=/時,

3-11已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為

G(S)=--------------------

5(0.15+1)(0.254-1)

若r(t)=2t+2時，要求系統的穩態誤差為，試求K應取何值。

3-12設系統結構圖如圖所示,

圖習題3T2圖

(1)當Ko=25,K：=O時，求系統的動態性能指標0%和(；

(2)若使系統，二，單位速度誤差4.=0.1時，試確定Kg和K/值。

(T%=25.4%(5分)

(1)(2)Ko=100,K,=6(5分)

ts=1.75

3-13已知系統的特征方程,試判別系統的穩定性，并確定在右半s

平面根的個數及純虛根。

(1)D(s)=s5+2s44-2s34-452+115+10=0

(2)D(s)=?+3/+121+24s2+325+48=0

(3)D(5)=?+2./-5-2=0

(4)。⑸=?+2s4+24/+48s2-255-50=0

角單(1)D(s)=s5+2s4+253+452+115+10=0

Routh:S51211

S424

S3￡6

S24e-12/e10

S6

S010

第一列元素變號兩次,有2個正根。

(2)D(5)=/+354+121+24/+325+48=0

Routh:S5112

32

324

48

32x3-48入

S33生一---------------=160

33

4x24-3x16—1,O_

S2一iz48

4

12x16-4x48八

S-----------=00輔助方程

12

12?+48=0,

S24輔助方

程求導：24s=0

so48

系統沒有正根。對輔助方程求解，得到系統一對虛根”2=±〃。

(3)D(.s)=s5+2s4-s--2=0

Routh:S510-1

S420-2輔

助方程2s4-2=0

S380輔

助方程求導8s3=0

S2￡-2

S16/E

so-2

第一列元素變號一次，有1個正根；由輔助方程2--2=0可解出：

2/-2=2(5+1)(5-1)(5+J)(5-J)

D(s)=s'+2—-S—2=(s+2XS+1)(5—l)(s+j)(s-j)

(4)D(s)=55+2s4+24s3+48s2-255-50=0

Routh:S5124-25

S4248-50輔助方程

2s4+48/-50=0

S3896輔助方程求

導8/+96s=0

S224-50

S338/3

s°-50

第一列元素變號一次，有1個正根；由輔助方程2s4+48s2-50=0可解

出：

2s4+48s2_50=2(5+])(s-l)(s+j5)(s-J5)

D(s)=s5+2s4+24s3+48/一/-50=(s+2)(5+1)(5-IXs+J5)(s-;5)

3-14某控制系統方塊圖如圖所示，試確定使系統穩定的K值范

圍。

圖習題3-14圖

解由結構圖，系統開環傳遞函數為：

K(41+25+1)［開環增益A；=K/4

s(5--s+4)系統型別v=3

D(s)=s'+/+41+4Ks2+2Ks+K=0

Routh:S5142K

S414KK

S3KnK<\

S2(15—16K)KK

4(1-K)

n/C>16/15=1.067

S-32K2+47K-16

4(1-K)

n0.536</C<0.933

soKnK>0

，使系統穩定的K值范圍是：0.536<AT<0.933o

3-15單位反饋系統的開環傳遞函數為

?、K

G(s)=

s(s+3)(s+5)

要求系統特征根的實部不大于-1,試確定開環增益的取值范圍。

解系統開環增益Kk=K/\5o特征方程為：

D(5)=53+852+155+A：=0

做代換s=s'-1有：

O(s')=(s'—1)3+8(5-I)2+15(丁-1)+K=s'3+5/2+2s'+(K-8)=0

Routh:S312

S25K-8

S18—K

nK<18

~T~

S°K—8nK>8

使系統穩定的開環增益范圍為:8“K18

—<Kk=—<—o

15人1515

3-16單位反饋系統的開環傳遞函數為

K(s+1)

G(s)=

s(n+1)(25+1)

試確定使系統穩定的T和K的取值范圍。

解特征方程為:

D(5)=2753+(2+7>2+(l+K)s+K=0

Routh:S32T1+K=T>0

S22+TKnT>-2

4

S\+K-^~nT<2+------

2+TK-\

s0KnK>()

綜合所得，使系統穩定的參數取值=7<2+］匚，k>0

K—\

3-17船舶橫搖鎮定系統方塊圖如圖所示，引入內環速度反饋是

為了增加船只的阻尼。

圖習題377圖

(D求海浪擾動力矩對船只傾斜角的傳遞函數烏L；

MN(S)

(2)為保證為單位階躍時傾斜角夕的值不超過，且系統的阻尼比

為，求/2、&和K3應滿足的方程;

(3)取《二1時，確定滿足(2)中指標的《和值。

解(1)

0.5

。⑸=______7"+0.2s+l________=________________05

2

MN。)-1+0.5K2K3s+()5KK~s+(0.2+0.5K2K3)s+(]+0.5K]K2)

S2+0.2s,4-1524-0.25+1

人nt\v/、例s)1-I0S)0.5

(2)令:0(8)=limsMN(s)-------=lims----------=-----------<0.1

-。MiV(s)1。s%(s)1+0.5KK

例=J1+0.5K陷

得28。由瑞有:匕().2+().5除降八v，可得

c.=------------=().5

2?

0.2+0.25K2K、=J1+0.5KK

(3)K2=1時，AT>8,0.2IO.25K3>x/5,可角平出K3>4.072w

3-18系統方塊圖如圖所示。試求局部反饋加入前、后系統的靜

態位置誤差系數、靜態速度誤差系數和靜態加速度誤差系數。

圖習題378圖

解：局部反饋加入前，系統開環傳遞函數為

10(2s+1)

G⑸=

521>+1)

K=limG(s)=co

P

K—limsG(s)—oc

v5-^0

(融2G(s)=l°

局部反饋加入后，系統開環傳遞函數為

10

?、2s+1s(s+D1()(25+1)

G(s)=-----------------TT—=——---------------

s?+20s(5~+s+20)

(5+1)

K=limG(s)=oo

Pns->0

=limsG(s)=0.5

5->0

2

Ka=limSG(S)=0

STO

3-19系統方塊圖如圖所示。已知%)=〃](f)=%(/)=l?),試分別

計算廠⑺,勺⑺和附⑺作用時的穩態誤差，并說明積分環節設置位置對減

小輸入和干擾作用下的穩態誤差的影響。

圖習題379圖

K

解G(s)=

s((s+1)W$+1)v=1

r(r)=l(r)時,

S(T2S4-1)-(4+1)

op(5)-______=___________二________=________：________

s一乂")—1+K-s(7>+1)((5+1)+K

5(7>+l)(TjTl)

%(0=KO時，e=lims①(5)N、(s)=lims①(s)[二-

1s->0rST。I§

1

小/、E(s)(T2S+1)-S(T]S+1)

sN,s)]?KS(T}S+[)(T2S+\)+K

s(T1s+1)(T25+1)

%a）=1（，）時，essn2=lims①叫（s）N2（s）=lims①/（s），=0

'>ss

在反饋比較點到干擾作用點之間的前向通道中設置積分環節，可

以同時減小由輸入如干擾因引起的穩態誤差。

3-20系統方塊圖如圖所示。

網》&($)

—*0—*

?(0k+1)(02s+1)

圖習題3-20圖

(1)為確保系統穩定，如何取K值

(2)為使系統特征根全部位于s平面$=-1的左側，K應取何值

(3)若中)=2/+2時，要求系統穩態誤差分K0.25,K應取何值

50K

解G(s)二K

s(s+10)(s+5)v=1

(1)D(s)=/+15/+50s+50K

d150

521550K

Routh:50(15-K)

8--------->八<1D

15

s°50KtK>0

系統穩定范圍：0<K<15

(2)在Q(s)中做平移變換：s=s-1

O(s')=(s'-1尸+15(s'-l)2+50(-—1)+50K

=s'3+\2s,2+23s'+(50K-36)

‘s"i23

s'21250K-36

Routh:|/I312-50K312

JrK<—=6.24

1250

s〃)50K-36rK〉型=0.72

50

滿足要求的范圍是：0.72<AT<6,24

(3)由靜態誤差系數法

2

當r(r)=2r+2時，令%=—W0.25

K

得K>8O

綜合考慮穩定性與穩態誤差要求可得：8<K<15

3-21宇航員機動控制系統方塊圖如因所示。其中控制器可以用

增益仁來表示；宇航員及其裝備的總轉動慣量/=25匕./。

(1)當輸入為斜坡信號4)=，m時，試確定小的取值，使系統穩

態誤差ess=lcm;

(2)采用(1)中的《值，試確定(,勺的取值，使系統超調量0%

限制在10%以內。

解(1)系統開環傳遞函數為

3

G(s)=3—-洛—=—丁

EG)s(/s+K|KK3)JKK

2JIJI1l

r(t)=tH+,令=—=/r3<0.01,可取(=0.01。

(2)系統閉環傳遞函數為

由=e-切八可￡10%,可解出:20.592。取,=0.6進行設計。

將/=25,a=0。代入4=」學=0.6表達式,可得

KK2360000

3-22大型天線伺服系統結構圖如圖所示，其中J=，^=15,廣。

（1）當干擾〃⑴=104⑴,輸入/”）=0時，為保證系統的穩態誤差小

于9,試確定K”的取值；

⑵當系統開環工作（七二0）,且輸入/⑺=（）時，確定由干擾

n（t）=10?1?）引起的系統響應穩態值。

圖習題3-22圖

解（1）干擾作用下系統的誤差傳遞函數為

①（5）=駟=_________叱S+D__________

N（s）S（TS+1）（52+2。嗎S+G；）+Ka①；

〃⑺=10”⑺時，令

=lim5?N(s)?①，”⑸=lims?3??“($)=—10<0.01

s->0.v->0

得:Ka>1000

（2）此時有

一%.A。）二，「。就__-

E(s)=-C(5)

s(s2+2自①“s+①:)$2（/+終也戶+啰：）

exs=e(8)=limsE(s)=-oo

s->0

3-23控制系統結構圖如圖所示。其中％,>0,/?>0o試分

析：

（1）.值變化（增大）對系統穩定性的影響;

（2）夕值變化（增大）對動態性能（0%,Q的影響；

（3）￡值變化（增大）對十）==作用下穩態誤差的影響。

圖習題3-23圖

解系統開環傳遞函數為

K?]K&K=K\"

G(s)=K、

S+然2SS(S+然2)v=1

①(s)=

2

s+pK2s+K,K2

2

D(s)=s+pK2s+K,K2

(1)由。⑸表達式可知,當尸=0時系統不穩定，/>0時系統

總是穩定的。

⑶吁『咤糕’

3-24系統方塊圖如圖所示

(1)寫出閉環傳遞函數中⑶表達式；

(2)要使系統滿足條件:e=0.707,外=2,

試確定相應的參數K和4;

(3)求此時系統的動態性能指標(cr%,4);

(4)r(f)=2.時，求系統的穩態誤差esx;

(5)確定G.(s),使干擾〃”)對系統輸出c⑴無影響。

圖習題3-24圖

解

(1)閉環傳遞數

K

、eC")7K心

R(s)、+鋁+號s2+Kfis+K

K=0)；=2?=4JK=4

(2)對應系數相等得V

Kp=2血=2后(/7=0.707

(3)cr%=小如九寸=4.32%

3.5_3.5

=2.475

4。“V2

K

(4)KK=MB

V=1

=26=1.414

1+必⑸

C(s)Is)5

(5)令:(D.G)二=0

△(S)

得：G“(s)=s+K夕

3-25復合控制系統方塊圖如圖所示，圖中K.K”T},心均為

大于零的常數。

（D確定當閉環系統穩定時，參數K2fr,,心應滿足的條件；

(2)當輸入”『）="時，選擇校正裝置G。⑸，使得系統無穩態誤差。

圖習題3-25圖

解（1）系統誤差傳遞函數

1---——Gc(s)

①⑺二E⑹二讓+1)'二s(不+])(7>+1)-K2G⑸(4+1)

，$一祈；儲&-S(-S+1)(〈S+1)+K|K2

5(隼+1)吟+1)

2

。⑸=草胃+但+T2)S+S+K]K2

列勞斯表

小1

2

T^T2K、K

T、+T「T北K、K?

0

T^