專題L3展開與折疊?重難點題型

【北師大版】

。*甲一反三

【知識點1正方體的表面展開圖】

正方體是特殊的棱柱，它的六個面都是大小相同的正方形，將一個正方體的表面展開，可以得到11種不同

的展開圖，把它歸為四類：一四一型有6種；二三一型有3種；三三型有1種；二二二型有一種.

正方體展開圖口訣：

①一線不過四;田凹應棄之；

②找相對面：相間，“Z”端是對面：

③找鄰面：間二，拐角鄰面知.

【題型1正方體的表面展開圖】

【例1】（2020秋?太原期末）小穎在研究無蓋的正方體盒子的展開圖時，畫出下面4個展開圖，其中符合

【解題思路】由平面圖形的折疊及正方體的表面展開圖的特點解題.

【解答過程】解：由四棱柱四個側面和上下兩個底面的特征可知，第1個、第2個和第3個圖形可以拼

成一個無蓋正方體；而第4個圖形不能折成正方體，故不是正方體的展開圖.

???符合要求的共有3個，

故選：c.

【變式1-1］（2021春?三元區校級月考）下列圖形中，是正方體平面展開圖的圖形的個數是（)

【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【解答過程】解：第一個圖形、第二個圖形都是正方體的展開圖；

第三個圖形：“田”字格，不能折成正方體.

第四個圖形："凹”字格，不能折成正方體.

綜上所述，是正方體平面展開圖的圖形的個數是2個.

故選：C.

【變式1-2］（2021?邢臺期中）把如圖所示的正方體展開，得到的平面展開圖可以是）

D.

【解題思路】在驗證立方體的展開圖時，要細心觀察每一個標志的位置是否一致，然后進行判斷.

【解答過程】解：把四個選項的展開圖折疊，能復原的是叢

故選:B.

【變式1-3］（2020秋?香洲區期末）如圖，選項中哪一個圖形是如圖正方體的展開圖（）

0

71

匚三刁

C.—

【解題思路】依據幾何體中兩個陰影長方形以及一個陰影三角形的位置，即可得出結論.

【解答過程】解：A.折疊后可得到圖中的正方體，符合題意；

B.折疊后兩個陰影長方形有一個公共點，不合題意；

C.折疊后兩個陰影K方形的長邊互相平行，不合題意：

D.折疊后陰影長方形與陰影三角形一邊完全重合，不合題意；

故選：A.

【題型2正方體展開圖的相對面】

【例2】（2021春?鄲都區校級期中）病毒無情人有情，2020年初很多最美逆行者不顧自己安危奔赴疫情前

線，我們內心因他們而充滿希望.小明同學在一個正方體每個面上分別寫一個漢字，組成“全力抗擊疫

情”.如圖是該正方體的一種展開圖，那么在原正方體上，與漢字“力”相對的面上所寫漢字為（）

全|力|抗

擊疫情

A.共B.同C.疫D.情

【解題思路】根據正方體的表面展開圖的特征進行判斷即可.

【解答過程】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，

“全”與“抗”是對面，

“力”與“疫”是對面，

“擊”與“情”是對面，

故選：C.

【變式2-1］（2020秋?常州期末）圖1是一個小正方體的展開圖，小正方體從圖2的所示位置依次翻到第

1格，第2格，第3格，這時公正方體朝上一面的字是（）

【變式2-3］（2020秋?溫縣期中）有一個正六面體骰子放在桌面上，將骰子如圖所示

順時針方向滾動，每滾動90°算一次，則滾動第7（）次后，骰子朝下一面的數字是（)

D.5

【解題思路】觀察圖形知道第一次點數五和點二數相對，第二次點數四和點數三相對，第三次點數二和

點數五相對，第四次點數三和點數四相對，第五次點數五和點二數相對，且四次一循環，從而確定答案.

【解答過程】解：觀察圖形知道第一次點數五和點二數相對，第二次點數四和點數三相對，第三次點數

二和點數五相對，第四次點數三和點數四相對，第五次點數五和點二數相對，且四次?循環，

V70：4=17…2,

???滾動第70次后與第二次相同，

，朝下的數字是4的對面3,

故選：B.

【題型3正方體展開圖的相對面】

［例3］（2020秋?海陵區期末）如圖，紙板上有19個無陰影的小正方形，從中選涂1個，使它與圖中5

個有陰影的小正方形一起能折疊成一個正方體紙盒，一共有種選法.

【解題思路】利用正方體的展開圖即可解決問題.

【解答過程】解：如圖所示：共四種.

故答案為:4.

【變式3-1］（2020秋?南海區期末）將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余卜.的部分恰好能折成一個

正方體，下列編號為1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是（填編號）.

【解題思路】根據正方體的展開圖中每個面都有唯一的一個對面進行判斷，可得答案.

【解答過程】解：由圖可得，3的唯一對面是5,而4的對面是2或6,7的對面是1或2,

所以將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一個正方體，編號為1、2、3、6的

小正方形中不能剪去的是3,

故答案為:3.

【變式3-2］（2020秋?兗州區期末）卜面四個圖形中，經過折疊能圍成如圖所示的幾何圖形的是（）

【解題思路】根據展開圖鄰面間的關系，可得答案.

【解答過程】解：由正方體圖，得

三角形面、正方形面、圓面是鄰面，故A符合題意，

故選：A.

【變式3-3］（2020秋?懷柔區期末）如圖是正方體表面展開圖，如果將其合成原來的正方體如圖時，與點

P重合的兩個點應該是（：

A.S和ZB.7和YC.7和VD.U和Y

【解題思路】本題考查了正方體的平面展開圖，與正方體的各部分對應情況，可以實際動手操作得出答

案.

【解答過程】解：結合圖形可知，圍成立方體后。與s重合.2與r重合，又丁與v重合，所以與點P

重合的兩點應該是7'和V.

故選：C.

【題型4柱體的展開與折疊】

【例4】（2020?衡陽）下列不是二棱柱展開圖的是（

可得答案.

【解答過程】解：A、C、。中間三個長方形能圍成三棱柱的側面，上、下兩個三角形圍成三棱柱的上、

下兩底面，故均能圍成三棱柱，均是三棱柱的表面展開圖.

B圍成三棱柱時，兩個三角形重合為同一底面，而另一底面沒有.故8不能圍成三棱柱.

故選:B.

【變式4-1］（2020秋?錦州期末）下列圖形經過折疊可以圍成一個棱柱的是（）

【解題思路】根據棱柱的特點進行分析即可.

【解答過程】解：A、不能圍成棱柱，底面應該在兩側，故此選項不符合題意；

B、不能圍成棱柱，側面有4個，底面是三角形，應該是四邊形才行，故此選項不符合題意：

C、能圍成三棱柱，側面有3個，底面是三角形，故此選項符合題意；

D、不能圍成棱柱，底面應該在兩側，故此選項不符合題意；

故選：C.

【變式4-2]（2020秋?碑林區校級月考?）如圖①，是一個邊長為10cm正方形，按要求解答下列問題：

（I）如圖②，若將該正方形沿粗黑實線剪下4個邊長為c〃?的小正方形，拼成一個大正方形作為

直四棱柱的一個底面，余下部分按虛線折疊成一個無蓋直四棱柱，最后把兩部分拼在一起，組成一個完

整的直四棱柱，它的表面枳等于原正方形的面枳；

（2）若該正方形是一個圓柱的側面展開圖，求該圓柱的體枳.（結果保留n）

圖①

【解題思路】（1）利用剪下部分拼成的圖形的邊長等于棱柱的底面邊長求解即可;

（2）正方形的邊長是圓柱的底面圓周長，代入圓柱的體積公式即可.

【解答過程】解：（I）設粗黑實線剪下4個邊長為.rem的小正方形,

根據題意列方程2x=10+2

解得x=2.5,

故答案為：2.5；

（2）???正方形邊長為10cm,

1015

圓柱的底面半徑是一x-=-（cm）,

n2Tt

???圓柱的體積是兀?（$2?]0=爺（5?3）.

答：圓柱的體積是史之■〃p.

71

【變式4-3]（2020秋?中牟縣期中）聰聰在學習了“展開與折疊”這一課后，明白了很多幾何體都能展開

成平面圖形，于是他在家用剪刀把一個長方體紙盒（如圖（1））剪開了，可是他一不小心多剪了一條棱,

把紙盒剪成了兩部分，即圖（2）中的①和②.根據你所學的知識，回答下列問題：

（I）若這個長方體紙盒的長、寬、高分別是&、〃?，4o〃，2cm,則該長方體紙盒的體積是多少？

（2）聰聰一共剪開了條棱；

（3）現在聰聰想將剪掉的②重新粘貼到①上去，而且經過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒,

你認為他應該將剪掉的②粘貼到①中的什么位置？請你幫助他在①上補全?種情況.

_

②_

①

圖（1）圖（2）

【解題思路】（1）根據長方體的體積公式可得答案；

（2）根據平面圖形得出剪開棱的條數即可；

（3）根據長方體的展開圖的情況可知有多種情況.

【解答過程】解：（1）8X4X2=64（c/n3）

該長方體紙盒的體積是645產；

（2）聰聰一共剪開了8條棱.

故答案為：8；

（3）如圖，就是所畫的圖形（答案不唯一，有以下四種情況供參考）.

圖⑴圖2)

圖（3）圖（4）

【題型5圓柱的展開與折疊】

【例5】（2020春?密山市期末）下面各圖是圓柱的展開圖的是（）

【解題思路】根據圖形可知圓柱體的底面直徑和高，利用周長公式進行計算即可.

【解答過程】解：由圖可知，該圓柱底面直徑為6,高為4,

所以該圓柱的底面周長（圓柱惻面展開得到的長方形的長）為：

6X3.14=18.84,

故選：C.

【變式5-1］（2020秋?秦淮區期末）如圖，已知8c是圓柱底面的直徑，A8是圓柱的高，在圓柱的側面上,

過點A,C嵌有一圈路徑最短的金屬絲，現將圓柱側面沿AB剪開，所得的圓柱側面展開圖是（）

【解題思路】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【解答過程】解：因圓柱的展開面為長方形，AC展開應該是兩線段，且有公共點C

故選：A.

【變式5-2］（2020秋?溫縣期中）（1）請寫例對應幾何體的名稱：①:②:③.

（2）圖③中，側面展開圖的寬（較短邊）為8o〃，圓的半徑為2c〃,求圖③所對應幾何體的表面積.（結

果保留TT）

【解題思路】（1）根據幾何體的展開圖，可得答案;

（2）根據圓柱的表面積公式，可得答案.

【解答過程】解：（1）請寫出對應幾何體的名稱：①圓錐；②三楂柱；③圓柱，

故答案為：圓錐，三棱柱，圓柱；

（2）圓柱的表面積為nr+nr-t-2-rtr/z=4K+4TT+32TT=40n,

故答案為：40IT.

【變式5-3]（2020秋?黃浦M期末）生活中的易拉罐、電池、圓形的筆筒等都是一種叫做圓柱體的立體圖

形（如圖I所示），當把它的上底面、下底面和側面展開后發現上底面和下底面是兩個大小相同的圓,

側面是一個長方形（如圖2所示

（I）一個圓柱體的鋁制易拉罐上、下兩個底面的半徑都是側面高為15c7〃，制作這樣一個易拉罐

需要面積多大的鋁材？（不計接縫）.

（2）如果一個圓柱體的鋁制裝飾品的高是5（7〃，而且側面的面積等于上、下兩個底面面積之和，那么底

面的半徑是cm.

（3）一張正方形的鋁材邊長是40a”，可單獨用于制作（2）題中鋁制裝飾品的側面或單獨用于制作底面,

若要使制成的側面和底面正好能成為一套完整的裝飾品，那么制作側面的鋁材張數與制作底面的鋁材張

數之比為.

【解題思路】（1）根據表面積=側面積+底面積X2,根據側面積、底面積計算方法進行計算即可；

（2）根據側面積=底面積X2,設半徑，列方程求解即可；

（3）求出利用一張正方形的紙單獨做底面的個數、單獨做側面的個數，然后做幾套的比即可.

【解答過程】解：側面積+底面積X2得，

2nX4X15+nX42X2=152n（cw2）,

答：制作這樣一個易拉罐需要面積為1521T平方厘米的鋁材；

（2）設半徑為⑷辦，由題意得，

2m這5=如/,解得，r=5,

故答案為：5.

（3）用邊長是40cm正方形上，單獨作半徑為的底面圓時，一張可以做16個圓形，8套，

用邊長是40。〃正方形上，單獨作底面半徑為5°〃，高為圓柱的側面時，一張可以做9個側面（8個

橫的，1個豎的），

因此做側面與底面張數的比為8：9.

故答案為：8：9.

【題型6圓錐、棱錐的展開與折疊】

【例6】（2021春?開福區期中）下面四個圖形中是三棱錐的平面展開圖的是（）

八

A.VB.XX

A

<L>

C.VD,M

【解題思路】根據三棱錐的四個面都是三角形,還要能圍成一個立體圖形，進而分析得出即可.

【解答過程】解：4、此圖形可以圍成三棱柱，故此選項不符合題意；

B、此