IB課程SL數學2024-2025年模擬試卷：統計與概率題庫深度解析一、選擇題（共10題，每題2分，共20分）1.若事件A與事件B相互獨立，則下列結論正確的是（）A.P(A)=P(B)B.P(A∩B)=P(A)+P(B)C.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)D.P(A|B)=P(A)2.拋擲一枚公平的六面骰子，事件“出現偶數”的概率是（）A.1/3B.1/2C.2/3D.13.若一組數據的平均數為10，方差為16，則這組數據的標準差為（）A.2B.4C.8D.164.設函數f(x)=2x-3，若事件A：f(x)>1，則事件A的概率為（）A.1/2B.1C.3/2D.25.若兩個相互獨立的事件A和B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，則事件A和B同時發生的概率為（）A.0.24B.0.26C.0.28D.0.306.從一副52張的撲克牌中隨機抽取一張牌，事件“抽到紅桃”的概率為（）A.1/4B.1/2C.1/3D.1/57.在一組數據1,3,5,7,9中，中位數為（）A.3B.5C.7D.98.若一組數據的眾數為5，則這組數據中至少有一個數是（）A.4B.5C.6D.79.拋擲一枚公平的硬幣三次，事件“至少出現一次正面”的概率為（）A.1/8B.1/4C.3/8D.1/210.在一個班級中，有30名男生和20名女生，隨機選取一名學生，事件“選到的學生是男生”的概率為（）A.1/2B.3/5C.2/5D.1/3二、填空題（共10題，每題2分，共20分）1.拋擲一枚公平的骰子，事件“出現奇數點數”的概率為______。2.設事件A的概率為0.6，則事件A的補集的概率為______。3.一組數據的方差為25，則這組數據的標準差為______。4.拋擲一枚公平的硬幣兩次，事件“至少出現一次正面”的概率為______。5.在一組數據2,4,6,8,10中，眾數為______。6.設事件A的概率為0.3，事件B的概率為0.5，且事件A和B相互獨立，則事件A和B同時發生的概率為______。7.從一副52張的撲克牌中隨機抽取一張牌，事件“抽到黑桃”的概率為______。8.在一個班級中，有40名學生，其中男生占比60%，則隨機選取一名學生，事件“選到的學生是男生”的概率為______。9.拋擲一枚公平的骰子，事件“出現1或6點數”的概率為______。10.一組數據的平均數為10，中位數為8，則這組數據的標準差為______。三、解答題（共3題，共30分）1.（10分）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生。現從該班級中隨機選取3名學生，求以下事件的概率：（1）選取的3名學生都是男生；（2）選取的3名學生中有1名男生和2名女生。2.（10分）某班有20名學生，他們的成績分布如下：成績：60-6970-7980-8990-100人數：4655求該班學生的平均成績和標準差。3.（10分）已知某事件A的概率為0.7，事件B的概率為0.4，且事件A和B相互獨立，求以下事件的概率：（1）事件A發生但事件B不發生；（2）事件A和事件B至少有一個發生。四、應用題（共2題，共20分）4.（10分）某商店在促銷活動中，顧客購買商品后可以參加抽獎，獎品分為一等獎、二等獎和三等獎，中獎概率分別為0.05、0.1和0.2。若顧客購買的商品價格為100元，求顧客購買商品并中獎的期望收益。五、證明題（共1題，共10分）5.（10分）證明：若事件A和事件B相互獨立，則事件A的補集與事件B的補集也相互獨立。六、計算題（共1題，共10分）6.（10分）某班學生參加數學競賽，成績分布如下：成績：60-6970-7980-8990-100人數：58107求該班學生的平均成績和方差。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)解析：根據概率的加法公式，兩個事件A和B的并集的概率等于它們各自概率的和減去它們的交集概率。2.B.1/2解析：六面骰子有3個偶數點數（2,4,6），所以出現偶數的概率是3/6，即1/2。3.B.4解析：標準差是方差的平方根，方差為16，所以標準差為√16=4。4.A.1/2解析：函數f(x)=2x-3，當x>1時，f(x)>1，而x>1的概率是1/2。5.A.0.24解析：兩個獨立事件A和B同時發生的概率是它們各自概率的乘積，即0.4*0.6=0.24。6.A.1/4解析：一副撲克牌中有13張紅桃，共52張牌，所以抽到紅桃的概率是13/52，即1/4。7.B.5解析：中位數是將一組數據從小到大排列后位于中間的數，這組數據的中位數是5。8.B.5解析：眾數是一組數據中出現次數最多的數，既然眾數是5，那么至少有一個數是5。9.C.3/8解析：至少出現一次正面的概率是1減去三次都是反面的概率，即1-(1/2)^3=3/8。10.D.1/3解析：男生占比60%，女生占比40%，所以隨機選取一名學生是男生的概率是60/100，即3/5。二、填空題1.1/2解析：骰子有3個奇數點數（1,3,5），所以出現奇數的概率是3/6，即1/2。2.0.4解析：事件A的補集的概率是1減去事件A的概率，即1-0.6=0.4。3.5解析：標準差是方差的平方根，方差為25，所以標準差為√25=5。4.3/4解析：至少出現一次正面的概率是1減去兩次都是反面的概率，即1-(1/2)^2=3/4。5.8解析：眾數是一組數據中出現次數最多的數，這組數據的眾數是8。6.0.15解析：兩個獨立事件A和B同時發生的概率是它們各自概率的乘積，即0.3*0.5=0.15。7.1/4解析：一副撲克牌中有13張黑桃，共52張牌，所以抽到黑桃的概率是13/52，即1/4。8.0.6解析：男生占比60%，所以隨機選取一名學生是男生的概率是60/100，即3/5。9.1/2解析：骰子有2個奇數點數（1,3,5,7,9），所以出現1或6的概率是2/6，即1/2。10.2解析：標準差是方差的平方根，方差為4，所以標準差為√4=2。三、解答題1.（10分）（1）選取的3名學生都是男生的概率是C(30,3)/C(50,3)。（2）選取的3名學生中有1名男生和2名女生的概率是C(30,1)*C(20,2)/C(50,3)。2.（10分）平均成績=(60*4+70*6+80*5+90*5)/20=75標準差=√[(4*(60-75)^2+6*(70-75)^2+5*(80-75)^2+5*(90-75)^2)/20]=7.53.（10分）（1）事件A發生但事件B不發生的概率是P(A)*(1-P(B))。（2）事件A和事件B至少有一個發生的概率是P(A)+P(B)-P(A)*P(B)。四、應用題4.（10分）期望收益=P(一等獎)*獎金+P(二等獎)*獎金+P(三等獎)*獎金=0.05*100+0.1*50+0.2*20=5+5+4=14五、證明題5.（10分）證明：P((A')∩(B'))=P(A')*P(B')由于A和B相互獨立，P(A')=1-P(A)，P(B')=1-P(B)所以P((A')∩(B'))