第8章氣體的一元流淌

一、學習的目的和任務

1.把握可壓縮氣體的伯努利方程

2.理解聲速和馬赫數這兩個概念

3.把握一元氣體的流淌特性，能分析流速、流通面積、壓強和馬赫數等參數的相互關系

4.把握氣體在兩種不同的熱力管道（等溫過程和絕熱過程）的流淌特性。

二、重點、難點

1.重點：聲速、馬赫數、可壓氣體的伯努利方程、等溫管道流淌、絕熱管道流淌

2.難點：聲速的導出、管道流淌參數的計算

由于氣體的可壓縮性很大，尤其是在高速流淌的過程中，不但壓強會變化，密度也會

顯著地變化。這和前面爭論液體的章節中，視密度為常數有很大的不同。

氣體動力學爭論又稱可壓縮流體動力學，爭論可壓縮性流體的運動規律及其應用。其

在航天航空中有廣泛的應用，隨著爭論技術的日益成熟，氣體動力學在其它領域也有相應

的應用。本章將簡要介紹氣體的一元流淌。

8.1氣體的伯努利方程

在氣體流淌速度不太快的狀況下，其壓力變化不大，則氣體各點的密度變化也不大，

因此可把其密度視為常數，即把氣體看成是不行壓縮流體。這和第四章爭論抱負不行壓縮

流體相像，所以抱負流體伯努利方程完全適用，即

—+Zj+—=—（8.1-1）

Pg2gpg-2g

-L式中化，〃2——流體氣體兩點的壓強；

如“2一一流淌氣體兩點的平均流速

在氣體動力學中，常以夕g乘以上式（8.1-1）后氣體伯努利方程的各項表示稱壓強的

形式，即

pu：pu\

Pl+夕gZ[+3-=〃2+。爐2(8.1-2)

由于氣體的密度一般都很小，在大多數狀況下夕gZ|和夕gZ2很相近，故上式(8.1-2)就

可以表示為

QU；pid

月+宅=〃2+彳(8.1-3)

前面已經提到，氣體壓縮性很大，在流淌速度較快時，氣體各點壓強和密度都有很大

的變化，式(8.1-3)就不能適用了。必需綜合考慮熱力學等學問，重新導出可壓縮流體的

伯努利方程，推導如下。

如圖8-1所示，設一維穩定流淌的氣體,

在上面任取一段微小長度ds,兩邊氣流斷

面1、2的斷面面積、流速、壓強、密度和

溫度分別為A、〃、p、p、T；A+dA.

u+du>p+dp、p+dp>T+dT0

取流段1-2作為自由體，在時間力內，

這段自由體所作的功為

W=pAudt+dp)(A+dA)(u+力(8.1-4)

依據恒流源的連續性方程式，有夕比4=C(常數)，所以上式(8.1-4)可寫成

由于在微元內，可認為「和夕+d夕很相近，則上式可化簡為

W=(p_p_dp)cd［二一迎Q//(8.1-5)

PP

又對,1-2自由體進行動能分析，其動能變化量為

101

AE=—(8.1-6)

m2(u+du)~--孫〃~

同樣地依據恒流源的連續性方程式夕〃A=。(常數)，故有町

上式就可以寫成

AE=—Cdt(2udu)=Cudtdu(8.1-7)

依據功能原理有W=AE，化簡得

—+wJw=0(8.1-8)

P

該式就是一元氣體恒定流的運動微分方程

對上式(8.1-8)進行積分，就得一元氣體恒定流的能量方程

得+5-

式中C為常數。上式表明白氣體的密度不是常數，而是壓強(和溫度)的函數，氣體

流淌密度的變化和熱力學過程有關，對上式的爭論取要用到熱力學的學問。下面簡要介紹

工程中常見的等溫流淌和絕熱流淌的方程。

(1)等溫過程

等溫過程是保持溫度不變的熱力學過程。因￡=^/?7，其中7=定值，則有￡=C(常

pP

數)，代入式(8.1-9)并積分，得

p,u~~

一InpH---=C(8.1-10)

P2

(2)絕熱過程

絕熱過程是指與外界沒有熱交換的熱

力學過程?？赡?、絕熱過程稱為等熔過程。

絕熱過程方程2=C(常數),代入式(8.1-9)

P,

jT+"?T

cdt

并積分，得

—=C(8.1-11)

7-1P2

式中7為絕熱指數。

8.2聲速和馬赫數

圖8-2微小擾動波的傳播

8.2.1聲速

微小擾動波在介質中的傳播速度稱為聲速。如彈/琴弦，使弦振動了空氣，其壓強和

密度都發生了微弱的變化，并以波的形式在介質中傳播。由于人耳能接收到的振動頻率有

限，聲速并不限于人耳能接收的聲音傳播速度。凡在介質中的擾動傳播速度都稱為聲速。

如圖8-2所示，截面面積為4的活塞在布滿靜止空氣的等徑長管內運動，"=0時

(1=0),管內壓強為〃，空氣密度為夕，溫度為八若以微小速度力，向右推動時間力，

壓縮空氣后，壓強、密度和溫度分別變成了〃+切，夕+。夕和T+dT。活塞從右移動

了d〃龍，活塞微小擾動產生的聲速傳播了cd"c就為聲速。

取上面的掌握體，列連續性方程得

pcdtA=(p+dp)(c-du)dtA(8.2-1)

化簡并略去高階無窮小項，得

pda=ct/p(8.2-2)

又由動量定理，得

pA-(p+dp)A=℃A[(c-du)-c](8.2-3)

同樣化簡并略去高階無窮小項，得

dp=pcdu(8.2-4)

聯立式(8.2-2)和式(8.2-4),得

上式就為聲速方程式的微分形式。

密度對壓強的變化率也反映了流體的壓縮性，生越大，則也越小，聲速C也越

dpdpdp

?。环磩t聲速C越大。由此可知，聲速。反映了流體的可壓縮性，即聲速C越小，流體越

簡單壓縮；聲速C越大，流體也越不易壓縮。

由于微小擾動波的傳播速度很快，其引起的溫度變化也很微弱，在爭論微小擾動時，

可認為其壓縮或膨脹過程是絕熱且可逆的，這就是熱力學中的等第i過程。則有絕熱方程為

—=C(常數)(8.2-6)

P,

式中/為絕熱指數。

可寫為

p=Cp，(8.2-7)

上式兩邊對夕求導，得

半=Cyp—=—YpY~[=7—(8.2-8)

dpP'P

又由抱負氣體狀態方程"二尺7和上式(8.2-8)、式(825)聯立，得

P

c=="RJ(829)

綜合上述分析，有

(1)由式(8.2-5)得，密度對壓強的變化率迎反映了流體的壓縮性，絲越大，則也

dpdpdp

越小，聲速c也越??；反則聲速c越大。由此可知，聲速。反映了流體的可壓縮性，即聲

速。越小，流體越簡單壓縮；聲速C越大，流體也越不易壓縮。

(2)特殊的，對于空氣來說，y=1.4,4=287.1J/(Zg,K),則空氣中的聲速為

c=20.05/mts(8.2-10)

(3)從式(8.2-9)可看出，聲速。不但和絕熱指數?有關，也和氣體的常數人和熱力學

溫度7有關。所以不同氣體聲速一般不同，相同氣體在不同熱力學溫度下的聲速也不同。

8.2.2馬赫(Ma)數

為了爭論的便利，引入氣體流淌的當地速度〃與同地介質中聲速c的比值，稱為馬赫

數，以符號“4表示

Mtz=-(8.2-10)

c

馬赫數是氣體動力學中最采納的參數之一，它也反映了氣體在流淌時可壓縮的程度。

馬赫數越大，表示氣體可壓縮的程度越大，為可壓縮流體；馬赫數越小，表示氣體可壓縮

性小，當達到肯定程度時，可近似看作不行壓縮流體。

依據馬赫數版的取值，可分為

(1)u=c,即=l時，稱為聲速流淌；

(2)U>C,即欣7>1時，稱為超聲速流淌；

(3)即M7<1時，稱為亞聲速流淌。

圖8-3微小擾動傳播規律圖

下面爭論微小擾動波的傳播規律，可分為四種狀況：

(1)如圖8-3(。)所示，〃二(),擾動源靜止。擾動波將以聲速向四周對稱傳播，波面

為一同心球面，不限時間，擾動波布滿整個空間。

(2)如圖8-3(〃)所示，u〈c，擾動源以亞聲速向右移動。擾動波以聲速向外傳播，

由于擾動源移動速度小于聲速，只要時間足夠，擾動波也能布滿整個空間。

(3)如圖8-3(。)所示，w=c,擾動源以聲速向右移動。由于擾動源移動速度等于聲

速，所以擾動波只能傳播到擾動源的下游半平面。

(4)如圖8-3(d)所示，u>c,擾動源以超聲速向右移動。由于擾動源移動速度大于

聲速，擾動波的球形波面被整個地帶向擾動源的下游，所以擾動波只能傳播到擾動源的下

游區域，其區域為-?個以擾動源為頂點的圓錐面內。稱該圓錐為馬赫錐。錐的半頂角。稱

為馬赫角，從圖中可以看出

sin<9=-=—(8.2-11)

uMa

上面分析了擾動源分別在靜止以及亞聲速、聲速和超聲速從右移動時，微小擾動波的

傳播規律。由此可知，0W欣，<1,即在振源靜止或以亞聲速移動的狀況下，擾動波能傳

播到整個空間；而旅721,即在振源以聲速或超聲速移動時，擾動波只能傳播到半空間

或一圓錐面內。

8.3一元氣流的流淌特性

在引入了聲速和馬赫數的概念后，對于可壓縮氣體的流淌有一些自己的特性。這里我

們介紹兩個重要特性。

氣體流速與密度的關系

由第一節的式(8.1-7)和第兩節的式(825),得

〃%=-蟲=-包蟲=-/吻("I)

Pdppp

將馬赫數=四代入上式，有

c

dp-du

—=-Mcr2—(8.3-2)

pii

上式表明白密度相對變化量和速度相對變化量之間的關系。從該式可以看出，等式中

有個負號，表示兩者的相對變化量是相反的。即加速的氣流，密度會減小，從而使壓強降

低、氣體膨脹；反則，減速氣流，密度增大，導致壓強增大、氣體壓縮。馬赫數為兩

者相對變化量的系數。因此，當Ma>1時，即超聲速流淌，密度的相對變化量大于速度

的相對變化量；當Mac1時，即亞聲速流淌，密度的相對變化量小于速度的相對變化量。

以下再分析流速與斷面積的關系

氣體流速與流道斷面積的關系

對一元氣流得連續性方程夕=C(常數)兩邊取對數，得

對上式微分，得

dpdu(1A

或r上=---------(8.3-3)

puA

將式(8213)代入上式，得

dA…2,、du…

—={Mcr—1)—(8.3-4)

Au

從上式我們可以看到，歷。=1是一個臨界點。下面爭論其在亞聲速和超聲速流淌下

的狀況。

(1)亞聲速流淌時，即面積相對變化量和速度相對變化量反向進展，說明白

氣體在亞聲速加速流淌時，過流斷面漸漸收縮；減速流淌時，過流斷面積漸漸擴

大。

(2)超聲速流淌時，即以。＞1。這種狀況正好和亞聲速流淌相反，沿流線加速時，過

流斷面漸漸擴大；減速流淌時，過流斷面漸漸收縮。上式就表明，亞聲速和超聲

速流淌在加速或減速流淌的狀況截然相反。

8.4氣體在管道中的等溫流淌

實際工程中，很多工業輸氣管道，如自然氣、煤氣等管道，管道很長，且大部分長

期暴露在外界中，管道中的氣體能和外界進行充分的熱交換，所以其溫度基本與周邊環境

一樣。該類氣體管道可視為等溫管道。

基本方程

氣體在實際管道中流淌要受到摩擦阻力，故存在流程損失，但在流淌中，氣體壓強、

密度都有所轉變，所以不能直接應用達西公式，只能在微小ds段上應用。即

?cdsii2

dhf=A------(8.4-1)

fD2

對于前面推導出的可壓縮流體方程式(8.1-7),在工業管道中加上摩擦損失后就可以寫

成

dp..u2,八八

----Fudu+A,ds—0(8.4-2)

p---------2D

式中/I為沿程阻力系數，上式就是氣體運動微分方程。

依據連續性方程，有「陽A=夕2〃2A2=夕，必對于等徑管道因4=A2=A.得

UP，八

-=3(8.4-3)

/P

又由熱力學等溫過程方程K=c即0=。7〃和回=。一力，有

p

或也和〃=也

(8.4-4)

Pip

將式(8.4-4)代入式(8.4-2)并改寫為

pdpdu.ds八八

"1+—+2—=0(8.4-5)

PiPM；u2D

如圖8-3所示，設在等溫管道中，取

一微小流段4s,在1?2段對上式(8.4-5)進

行定積分，得

圖8-3微元管流

上式積分得

2221n竺十乂

P1一〃2=P夕必(8.4-6)

/D)

若管道較長，且氣流速度變化不大，則可以認為21n殳＜＜且,略去對數項，上式可寫成

w,D

2心八

Pl={P1-P\P\U\［石'(847)

(8.4-8)

質量流量公式為

25

7VD-\p^D、八

(8.4-9)

卜面各項就是計算等溫管道用強、流速和流量的計算公式c

流淌特征分析

前面已經給出了氣體連續性方程p〃A=C,其中八不變，則有夕〃=C',對該式取對

數并積分，得

dpdu八

----1---=0(8.4-10)

由熱力學方程K=RT=C,積分得

P

dpdp

—=—(8.4-11)

PP

聯立上面兩式(8410)和(8411),以及聲速公式c=馬赫數MQ=巳并整理。得

duyMa~Ads

—=------；-----(8.4-11)

u(\-yMcr)2D

從上式我們可以看出，假如即1一7欣/<0,ds>。,則力，<0；

乂對于大多數氣體的指數常數/>1,且實際工程等溫管道中氣流的速度不行能無限增大,

1-yMa2不行能等于或小于0,所以只有Ma/時，計算式才有效；兌時,

只能按=(極限值)計算，該極限值計算的管長又稱為最大管長，即實際管長

超過最大管長時，進口斷面的流速將受到阻滯，必需減小管長。

8.5氣體在絕熱管道中的流淌

在實際的氣體輸送管道中，經常在管道外面包有良好的隔熱材料，管內氣流與外界不

發生熱交換，這樣的管道可以當作絕熱管流來處理。

基本方程

和分析等溫管道一樣的，引入連續性方程和運動微分方程，并結合絕熱過程方程

-勺=。進行分析％改寫運動微分方程式(8.4-2)為

P1

dpdu「ds八

—4-4--+2——=0(8.5-1)

piru2D

由2=C（常數）和連續性方程夕〃=C（常數）（面積4不變）得

P

2=懣二3(8.5.2)

PP

代入上式得

p[;)dpduds

-7-=+—+2—=0(8.5-3)

p；"u：u2D

對如圖8-3所示在1-2間對上式定積分

1”2i/,「“2duA,,八

—：------p!,vdp+|----1-----[A=0(8.5-4)

冰夕必4人u20J。

可得

三手Yy2/+l(i外力)

〃i-Pi=P\P^\-----In—+—(8.5-5)

YI%2D)

考慮到管道較長，流速變化也不大，In上<<，，略去對數項，可寫成

%2D

1=請-請(8.5-6)

y2D

%(8.5-7)

質量流量為

y+i

JVD2

萬力/〃2/

。〃=0M丁8"/+1”向I-(8.5-8)

<A>

流淌特征分析

和等溫管流相像的推導，可以得到

以上各式就是絕熱管流的壓強、速度和流量等計算公式。同樣地，與等溫管流一樣，

假如時，可直接用公式計算；否則時，實際流淌只能按=l來計算。

M〃二l計算得出的管長稱為絕熱管流的最大管長，照實際管長大于最大管長，流淌

將發生阻滯，必需較小管長。

8.6氣體的兩種狀態

8.6.1滯止參數

在氣體流淌的計算中，一般都是由一個已知斷面上的參數,求出另一個斷面上的參數。

為了計算的便利,我們假定在流淌過程中的某個斷面，氣流的速度以無摩擦的絕熱過程（即

等端過程）降低至零，該斷面的氣流狀態就稱為滯止狀態，相應的氣流參數稱為滯止參數。

如氣體從大容器流入管道，由于容器斷面相對于管道斷面大很多，可認為容器中的氣流速

度為零，氣流參數可認為是滯止參數，或氣體繞過物體時，駐點的速度也為零，駐點處的

流淌參數也可認為是滯止參數。滯止參數常用下標“0”標識，如p0，A，”分別表示滯止

壓強、滯止密度、滯止溫度。

由絕熱過程方程式（8.1-11）,按滯止參數的定義，可得滯止參數和某一斷面的運動參

數間的關系為

〃

yp°_一十Y/(8.6-1)

/-IPoP2

又由完全氣體狀態方程“二寵7得，上式可寫為

P

(8.6-2)

即

(8.6-3)

T2RTy

乂聲速c=[yRT

上式改寫成馬赫數的形式為

(8.6-4)

上式就是滯止溫度和斷面上的溫度參數的計算式。由絕熱過程方程《=C（常數）

P1

和完全氣體狀態方程R=代入上式就可以導出斷面上的壓強、密度和滯止壓強、滯

P

止密度的關系如下

/、工

(y—1V-1

包=田r-i9

1十2—Ma2(8.6-5)

(8.6-6)

在等烯條件下溫度降到肯定零度時，速度達到最大（《用）的狀態，稱為最大速度

狀態。由于在地面上不行能制造肯定零度的環境，最大速度狀態只具有理論意義，反映氣

流的總能量大小。將7=0代入式（8.6-2）得

%=廬甲（86-7）

V/T

式中c0=J醞稱為滯止聲速，上式表示了極限流速和滯止聲速的關系。

依據上面的式子，只需已知滯止參數和某一斷面的馬赫數，就可以求該斷面的運動參

數。

例題：

8.6.2臨界狀態參數

氣體從當地狀態等烯地轉變速度達到聲速時（即林7=1）,所具有的狀態稱為與該當

地狀態對應的臨界狀態，相應的狀態參數稱為臨界參數，與滯止狀態一樣，臨界狀態可以

是流淌中實際存在的，也可以是假想的狀態。臨界狀態參數常用下標“*”表示。如7；、

P.分別稱為臨界溫度、臨界壓強等。在等端流中全部的臨界參數都是常數，因此可作為

參考狀態參數。

依據臨界狀態的定義，=1代入式(8.6-5),得臨界溫度比為

/-1_/4-1

(8.6-8)

TT~

代入式(8.6-5),就可以得出臨界壓比、臨界密度比為

(8.6-9)

Po(8.6-10)

A

從上面公式可以看出，對于肯定的氣體,臨界狀態參數與滯止參數的比值是定值。空氣

7=1.4,則二=0.8333、&=0.5283、2=0.6339。依據這些臨界比值就可以推斷

PoPo

流場中是否在臨界截面。

臨界微而上的聲速稱為臨界聲速c…由式(8.6-7)和邑='=

7+1

或C*=府T=、削石(8612)

上式(8.6-11)為臨界聲速仁和極限速度/皿的關系式，從式(8.6-12)可以看出，對于肯

定的氣體，臨界聲速C*打算于總溫。式中的臨界聲速G即是癡=1時的當地聲速。是爭

論氣體流淌中的一個重要參數。

【例8-1］空氣在管道中作絕熱無摩擦流淌，某截面上的流淌參數為7=333K,

p=207KPa,w=1522/71/5,試求臨界參數式、p.,p..

【解】絕熱、無摩擦流淌就是等端流淌。先求馬赫數M,再求7；、心，夕.。空氣的/=14,

R=287Jfkg?K,

TT/T1+--M2

T.二To/T二2

=0.8621,(=287.08K

~11r-i

2

7

r-\

P.=0.5949,p.=123.15KPa

P

8.7噴管的計算和分析

工程中采納的噴管有兩種,一種是可

獲得亞聲速流或聲速流的收縮噴管，另一

種是能獲得超聲速的拉瓦爾噴管。本節將

以完全氣體為爭論對象，爭論收縮噴管和

拉瓦爾噴管在設計工況下的流淌問題。

圖1收縮噴管

收縮噴管

如圖所示，氣體從一大容器通過收縮噴管出流，由于容器比出流口要大得多，可將其

中的氣流速度看作零，則容器內的運動參數表示為滯止參數，分別為〃0、夕0、4，噴管

出口處的氣流參數分別為p、p、T、u。由滯止參數中得出的能量方程式(8.3?5)得

9

。_

yP一yI(8.7-1)

/-iPoy-iP2

即

2yp°iL￡1

u=(8.7-2)

7-1PolAP>

又由絕熱過程方程與=。(常數)和完全氣體狀態方程上式可寫成

p,P

]_2Po

2yp0i-(8.7-3)

/->A)

\A)7、Po)

上式就是噴管出流的速度公式，也稱圣維南(SaintVenant)定律。此式對超聲速也同

樣成立。

通過噴管的質量流量

/、1”

p

A"=(8.7-4)

q,n=Ap()u

\p。;

代入上式得

<7?,==APP(8.7-5)

P。J。，

從上面的各個公式可以看出，對于肯定的氣體，在收縮噴管出口未達到臨界狀態前，

壓降比p/p（）越大，出口速度越大，流量也越大。且收縮噴管出口處的氣流速度最高可達

到當地聲速，即出口氣流處于臨界狀態（即=此時的出口處壓強為

P=Po=P*(8.7-6)

此時氣流速度也達到極限速度

12川”

u=%=C'o=c*(8.7-7)

7+S

則流過噴管的極限質量流量為

(8.7-8)

7+1

拉瓦爾噴管

如圖8-3所示為拉瓦爾噴管，其作用是能使氣流加速到超聲速，拉瓦爾噴管廣泛應用

于蒸氣輪機、燃氣輪機、超聲速風洞、沖壓式噴氣發動機和火箭等動力裝置中。本小節將

爭論拉瓦爾噴管出口流速和流量的計算。

假定拉瓦爾噴管內的氣體作絕能等焰流淌，噴管進口的氣流處在滯止狀態。依據和收

縮噴管同樣的推導方法，推導出的噴管出口處的氣流速度同收縮噴管氣流速度式（8.7-2）,

即同樣用圣維南定律。

拉瓦爾噴管的質量流量公式也可仍舊采納式（8.7-B）,需要留意的，（8.7-8）式中的截面

積A要用喉部截面積4=4代替。即通過噴管的流量就是喉部能通過的流量的最大值

VmPb(8.7-9)

由連續性方程得

A_A些(8710)

A-Apu

式中A為噴管出口處截面積。

依據式(8.7-10)就可以在已知出口截面積A的狀況下求喉部截面積4o

【例8-2】空氣在縮放噴管內流淌，氣流的滯止參數為“0=1。6尸〃，〃=350K,出口

截面積4=0.001〃/,背壓億,=9.3x105/^。假如要求喉部的馬赫數達到M=0.6,試

求候部面積。

【解】管內為亞音速流淌，出口壓強等于背壓：〃二〃采用喉部和出口的質量流量相

等的條件確定喉部面積A10

出口參數：

T±=[p^y

TIP;=1.0210,T=324.8K

的=1+3-M=0.3240

T2

喉部參數:

+=1.072,T=326.5AT

T、2]

=|-l=1.2755,〃1=0.784x1()6網

PiUiJ

本章小結

1.視為不行壓縮氣體的伯努利方程

可壓縮一元氣體恒定流的運動微分方程

(1)等溫過程—Inp+—=C

P2

(2)絕熱過程h+/c

2.在介質中的擾動傳播速度都稱為聲速，公式為c、=J/工

P

馬赫數=州有癡=1時，稱為聲速流淌；欣?>1時，稱為超聲速流淌；Ma<\

c

時，稱為亞聲速流淌。

3.氣體流速與密度的關系女=-加“2包

pu

氣體流速與流道斷面積的關系空=(M〃2-1)也

Au

4.等溫流淌的基本方程

壓強

D.2、

速度4=-z